【開(kāi)篇】抽象代數(shù)的歷史背景與內(nèi)容總覽
一、抽象代數(shù)的發(fā)展歷史
在大多數(shù)人的印象中，數(shù)學(xué)就是用來(lái)計(jì)算的，因?yàn)榇蟛糠值臄?shù)學(xué)應(yīng)用都是為了得到某個(gè)值。但如果深入到數(shù)學(xué)對(duì)象這個(gè)角度，計(jì)算有時(shí)并不是主角。最簡(jiǎn)單的例子就是大家熟悉的平面幾何，它很多時(shí)候只是在研究點(diǎn)線之間的關(guān)系。代數(shù)學(xué)剛開(kāi)始被用作計(jì)算對(duì)象的符號(hào)表示，但隨著其使用范圍的擴(kuò)大，人們發(fā)現(xiàn)它還可以表示各種各樣的關(guān)系。在集合論中，我們已經(jīng)看到過(guò)“關(guān)系”的精確定義，在這一系列我們將開(kāi)始對(duì)它的深入討論?！瓣P(guān)系”存在于非常多的應(yīng)用模型中，它們之間在本質(zhì)有著非常類(lèi)似的結(jié)構(gòu)，抽象代數(shù)就是研究這些結(jié)構(gòu)的科學(xué)。
故事還得從解方程說(shuō)起，說(shuō)到一元二次方程，想必大家不會(huì)忘記那個(gè)韋達(dá)定理。韋達(dá)率先將簡(jiǎn)潔的代數(shù)符號(hào)引入到公式的表達(dá)中，并給出了二次到四次方程解的代數(shù)式表示。你可能不知道，任意一元三次、四次方程解其實(shí)也是有完整的公式的，它們?cè)缭跉W洲中世紀(jì)末期就被完全解決了。但奇怪的是，一元五次方程或更高次的方程，人們?cè)趺磁Χ紵o(wú)法找到它們的根式解。正如“三大作圖難題”一樣，大家剛開(kāi)始還是以為我們只是沒(méi)有找到正確的方法，卻從未想過(guò)它們根本是作不出來(lái)的 ！
五次方程的解一直拖到了十九世紀(jì)，拉格朗日首先發(fā)現(xiàn)了置換在方程解的問(wèn)題中的關(guān)鍵作用，年輕的阿貝爾（Abel）沿著這條路證明了：五次方程并無(wú)一般性的根式解。而同樣年輕的伽羅瓦則走得更遠(yuǎn)，它首先提出了群的概念，并徹底給出了方程有根式解的充要條件，將這個(gè)問(wèn)題徹底解決。群的提出及伽羅瓦的理論標(biāo)志著抽象代數(shù)的誕生，它將以壓倒性的優(yōu)勢(shì)取代微積分而成為數(shù)學(xué)的支柱，它也為了近代數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的分水嶺。抽象代數(shù)是數(shù)學(xué)中的萬(wàn)能鑰匙，它的引入幾乎改變了所有數(shù)學(xué)分支的面貌，它以全新的視角重新打開(kāi)了分析、幾何、數(shù)論、拓?fù)涞葘W(xué)科。當(dāng)然，抽象代數(shù)的完全建立經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)間，是通過(guò)無(wú)數(shù)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家搭建起來(lái)的，關(guān)于它的詳細(xì)歷史概況，可參見(jiàn)互聯(lián)網(wǎng)，這里就不多說(shuō)了。關(guān)于伽羅瓦的傳奇故事以及二十幾歲就結(jié)束了自己的一生，據(jù)說(shuō)下面這個(gè)圖片是他留在世上的唯一的影像，用它鎮(zhèn)樓，哈哈 ····
抽象代數(shù)是一個(gè)應(yīng)用很廣的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方法，它不僅在純數(shù)學(xué)里起著支柱性的作用，它的思想其實(shí)有著普遍性的價(jià)值，在物理學(xué)、結(jié)晶學(xué)、密碼學(xué)里都有著用武之地。抽象代數(shù)有點(diǎn)像數(shù)學(xué)里的哲學(xué)，不斷地去思考其本質(zhì)才是最有價(jià)值的事情，它對(duì)抽象思維的鍛煉和科學(xué)方法論的建立也是有很大幫助的。
二、內(nèi)容概覽以及學(xué)科思想把握
這個(gè)系列我們將會(huì)介紹如下內(nèi)容：
- 基本代數(shù)結(jié)構(gòu)
- 群論
- 環(huán)論
- 域論
- 伽羅瓦理論
- 以及實(shí)例與應(yīng)用這幾大部分
我們知道數(shù)學(xué)中真正參與運(yùn)算的對(duì)象其實(shí)有很多，比如數(shù)、多項(xiàng)式、矩陣等等。上述三個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的出現(xiàn)是為了刻畫(huà)一些物理量和幾何量，比如長(zhǎng)度、面積、速度、物理定律、空間中點(diǎn)的位置、平面的運(yùn)動(dòng)和幾何變換等，它們的表現(xiàn)能力是很強(qiáng)的。在伽羅瓦沒(méi)有提出群的概念之前，使用數(shù)、多項(xiàng)式、矩陣足以刻畫(huà)許多我們遇到的物理量和幾何量，然而當(dāng)人們想要或者企圖刻畫(huà)<font color=red>對(duì)稱(chēng)性</font>時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)數(shù)、多項(xiàng)式、矩陣都很難以刻畫(huà)對(duì)稱(chēng)。于是為了刻畫(huà)對(duì)稱(chēng)這一概念或現(xiàn)象，人們發(fā)現(xiàn)了群?，F(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)群是研究對(duì)稱(chēng)的有力工具。而正是因?yàn)槲覀兩畹默F(xiàn)實(shí)物理世界中存在著大量的對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，如物理、集合、數(shù)學(xué)領(lǐng)域、再如晶體群、群與量子力學(xué)，于是以群環(huán)域模為代表的代數(shù)結(jié)構(gòu)便成了人們研究對(duì)稱(chēng)時(shí)的重要工具與基礎(chǔ)。所以，我們?cè)趯W(xué)習(xí)群的概念的時(shí)候，應(yīng)該注意到群與對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。甚至有學(xué)者提出了群即對(duì)稱(chēng)的觀點(diǎn)。
- 如何理解 對(duì)稱(chēng)即群 ？
那么我們?cè)趺蠢斫?strong>對(duì)稱(chēng)即群這句話(huà)呢，除了自然界中的對(duì)稱(chēng)性外，從數(shù)學(xué)中的度量空間來(lái)說(shuō)，比如歐幾里得空間的所有剛體運(yùn)動(dòng)的集合對(duì)于線性變換（復(fù)合）的乘法構(gòu)成剛體運(yùn)動(dòng)群，因?yàn)閯傮w運(yùn)動(dòng)是等距運(yùn)動(dòng)，任何一個(gè)剛體運(yùn)動(dòng)都可以看成是歐幾里得空間的一種對(duì)稱(chēng)性，所有的對(duì)稱(chēng)性放在一起就構(gòu)成一個(gè)群。在比如歐幾里得平面，如果我們不考慮整個(gè)平面的對(duì)稱(chēng)性，只考慮一個(gè)平面圖形，在保持圖形不變的剛體運(yùn)動(dòng)也構(gòu)成一個(gè)群。比如一個(gè)普通的三角形，如果三邊都不等，我們發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)成的群只有一個(gè)元素恒等映射，如果是一個(gè)等腰三角形，發(fā)現(xiàn)構(gòu)成的群或?qū)ΨQ(chēng)性由兩個(gè)元素，除恒等映射外還有等腰對(duì)折。如果是等邊三角形，構(gòu)成的群為 ，以此類(lèi)推，正多邊形，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)群越來(lái)越大，即對(duì)稱(chēng)性越來(lái)越多。如果是圓的話(huà)，就是無(wú)窮多種對(duì)稱(chēng)性了。即<font color=red>群越大代表著的對(duì)稱(chēng)性越多，即群可以度量對(duì)稱(chēng)的對(duì)少</font>。再比如有限維的線性空間所有的可逆線性變換也構(gòu)成一個(gè)群。雖然它沒(méi)有度量，但可以看成是這個(gè)線性變換本身具有的對(duì)稱(chēng)性。在比如數(shù)域的本身對(duì)稱(chēng)性與伽羅瓦解高次方程導(dǎo)出來(lái)的伽羅瓦群。而在根式解中，如韋達(dá)定理，
其中關(guān)于
也是具有對(duì)稱(chēng)性的，即通過(guò)上述的公式，我們是不能區(qū)分
背后到底對(duì)應(yīng)著哪一個(gè)特定的解的，比如，3, 5 我們不知道誰(shuí)是 3 ，誰(shuí)是 5。實(shí)際上都可以。但我們可以通過(guò)加約束條件后就能區(qū)分了，比如說(shuō)通過(guò)構(gòu)造
后，就打破了這種對(duì)稱(chēng)性，而我們要求根式解的過(guò)程，就是要打破這種對(duì)稱(chēng)性，我們才能區(qū)分出解，得到根式解。
正如上所述，數(shù)學(xué)中的基本對(duì)象除了數(shù)外，還有向量、力以及多項(xiàng)式、函數(shù)、矩陣和線性變換。數(shù)的基本運(yùn)算是加減乘除。雖然上面提到的其他對(duì)象不是數(shù)，但它們也可以像數(shù)那樣來(lái)運(yùn)算，雖然這些對(duì)象千差萬(wàn)別，各有特點(diǎn)。但是我們從運(yùn)算的角度看時(shí)，它們卻有很多共同的性質(zhì)。從一般集合出發(fā)研究各種運(yùn)算性質(zhì)便是抽象代數(shù)的任務(wù)。一個(gè)抽象集合，如果有一種或數(shù)種代數(shù)運(yùn)算，就稱(chēng)為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。由于集合和運(yùn)算都是抽象的，故也將近世代數(shù)稱(chēng)為抽象代數(shù)。
三、推薦書(shū)籍與資料
【參考資料】
[1] 《近世代數(shù)》，（3nd）楊子胥，2010
一本不錯(cuò)的國(guó)內(nèi)教材，內(nèi)容全面，結(jié)構(gòu)清晰。習(xí)題具有啟發(fā)性。非常適合入門(mén)選用。
[2] 《代數(shù)學(xué)引論》（2nd)，聶靈紹，2009
介紹了抽象代數(shù)的重要結(jié)論，取材廣泛而深入，表達(dá)嚴(yán)謹(jǐn)而精煉，有大量的習(xí)題，部分高級(jí)內(nèi)容較難。
若讀者有相關(guān)需求，可掃描左端二維碼關(guān)注公眾號(hào)后，說(shuō)明來(lái)意。我可分享電子版。僅供個(gè)人學(xué)習(xí)使用。
