??《漫畫傅里葉解析》作者 涉谷道雄

序章 聲波

??以香水為例，用來分析組成成分和含量的數(shù)學(xué)方法就是傅里葉解析。換成聲音，就能明白組成聲調(diào)的因素。用傅里葉變換對(duì)波進(jìn)行分析的方法就叫傅里葉解析。
??傅里葉分析不僅用于聲音，在各種波形分析中都能用到，如聲紋分析，圖像數(shù)據(jù)的壓縮技術(shù)。磁共振圖像分析。
??而且如果知道了成分，那么，根據(jù)各種成分就能制作出某種特定的聲音。合成器運(yùn)用的就是這個(gè)原理。效應(yīng)器是通過改變成分而改變聲音的特征。

第1章 通往傅里葉變換的道路

一、 聲音與頻率

1. 聲音是通過改變對(duì)空氣的壓力，以波的形式傳播的。這個(gè)壓力的變化叫聲壓。橫軸表示時(shí)間，縱軸表示聲壓，將聲音圖形化。
2. 1秒內(nèi)一個(gè)相鄰的波峰和波谷的波形往返重復(fù)的次數(shù)就叫做頻率，單位為Hz（赫茲）。
   “拉”音=440Hz 。不同的倍數(shù)得到不同聲調(diào)的“拉”?！袄币?440Hz 。不同的倍數(shù)得到不同聲調(diào)的“拉”。
   收音機(jī)中使用的叫廣播頻率，例如630kHz的電波，就表示1秒內(nèi)電波振動(dòng)了63萬次。
3. 復(fù)雜的波形其實(shí)由簡單的波形合成得到。
   構(gòu)成復(fù)雜波形的簡單波形叫做頻率成分。
4. 將各個(gè)合成頻率成分及其強(qiáng)度用圖形表示，可以得到頻率譜，簡稱譜。
5. 明白了頻率譜就能明白聲音的基本組成成分了。這就是傅里葉變換，是從波形中得到頻率譜的方法。反過來，也可從頻率譜得到波形，這叫傅里葉逆變換。
6. 用傅里葉變換研究頻率譜的特征的方法，叫做傅里葉解析。
   
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二、 橫波與縱波

1. 在電磁波中，電場和磁場的強(qiáng)度隨時(shí)間變化，且它們的方向與波的傳播方向垂直，這樣的波叫橫波。
2. 聲音是利用空氣的振動(dòng)，使空氣的密度變高變低來傳播的，波的傳播方向與振動(dòng)方向相同的波叫做縱波。
3. 具有縱波性質(zhì)的波，需要傳遞密度的變化，因此需要媒介，不能在真空中傳播?？v波，在傳播方向上使媒介的密度變高變低，因此也叫疏密波，用密度的變化把疏密波圖形化，可以得到與橫波相同的圖形。
4. 除聲音外，以波的形式傳播的還有電波和光，聲波、電波和光波都可以用波的圖形來形容。聲波、電波和光波—這些用眼睛看不到的波，可以用檢測(cè)器轉(zhuǎn)換為電信號(hào)來觀察。
5. 不論橫波還是縱波，都可以用正弦函數(shù)sin 表示。

三、波的時(shí)間變化

1. 看波紋傳播的情況，可以發(fā)現(xiàn)波峰和波谷交替前進(jìn)，而水面的某一點(diǎn)也在上下運(yùn)動(dòng)，相互保持獨(dú)立。
2. 簡單波形的合成，用來研究其中的頻率和強(qiáng)度的數(shù)學(xué)方法，就叫傅里葉變換。

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四、頻率與振幅

1. 振幅是信號(hào)的高低差，波形中相鄰的一個(gè)波峰和波谷的時(shí)間長度叫周期。頻率在波形中就是1秒鐘有多少個(gè)周期。
2. 振幅對(duì)應(yīng)聲音的強(qiáng)弱，振幅小的情況下對(duì)應(yīng)的音量也小。

3. 頻率增加，音調(diào)變高，變成高音。頻率增加，音調(diào)變高，變成高音。
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4. 從復(fù)雜波形中求出頻率譜的方法就叫傅里葉變換。
5. 看周期最大的波，它的頻率被叫做基本頻率。最大的波周期，叫基本周期。

6. 傅里葉變換步驟：復(fù)雜波形 求頻率成分 不同強(qiáng)度組合起來合成一個(gè)波形 （頻率-強(qiáng)度 –譜 ）

   
   
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五、 約瑟夫?傅里葉的發(fā)現(xiàn)

1. 傅里葉變換是1812年法國數(shù)學(xué)家約瑟夫-傅里葉（1768-1830），從研究“熱的傳導(dǎo)法則”的問題時(shí)開始用到的。
2. 熱的傳導(dǎo)是指熱量在物體中傳遞的情況，是受各種因素影響的復(fù)雜現(xiàn)象，不過，傅里葉的發(fā)現(xiàn)：再復(fù)雜的現(xiàn)象也是由簡單的現(xiàn)象組合在一起而形成的。
3. 實(shí)際上，當(dāng)時(shí)傅里葉也沒有想到波和頻率普的應(yīng)用，不過，后來傅里葉的發(fā)現(xiàn)隨著“研究波的性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法”的進(jìn)展而普及開來。
4. 不過，計(jì)算大自然中存在的復(fù)雜波形實(shí)在太麻煩。這時(shí)1965年快速傅里葉變換FFT（Fast Fourier Transform）方法被提出來了。FFT是利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)的組合，一種高效的傅里葉變換。傅里葉變換隨著FFT和計(jì)算機(jī)的普及很快在物理、工學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用開來。
5. 光、電波轉(zhuǎn)變?yōu)殡娦盘?hào)后能被檢測(cè)出來，這樣，在能檢測(cè)到信號(hào)的許多領(lǐng)域都能應(yīng)用傅里葉變換。如從聲音信號(hào)中分出有用信號(hào)和雜音，只傳遞有用信號(hào)。

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六、 傅里葉變換的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備

1. Sin cos 三角函數(shù)；
2. 函數(shù)的切線（傾斜）；
3. 積分（原函數(shù)）；
4. 定積分（面積、體積）；
5. 不定積分；
6. 函數(shù)的四則運(yùn)算；
7. 函數(shù)的積及其定積分；
8. 函數(shù)的正交；
9. 正交函數(shù)為基礎(chǔ)的函數(shù)合成；
10. 傅里葉級(jí)數(shù)；
11. 傅里葉變換。