前不久開源了一個(gè)插件化移動(dòng)端運(yùn)動(dòng)效果庫 finger-mover，說到運(yùn)動(dòng)效果，不得不提到CSS3的 transform，也就是變換。這篇文章概括了在實(shí)現(xiàn) finger-mover 時(shí)對 transform 的理解與總結(jié)。

注：文中的圖片多數(shù)截取自視頻：線性代數(shù)的本質(zhì)，也強(qiáng)烈建議大家系統(tǒng)的觀看這套視頻。另外如果文中有誤請不吝指教。

文章結(jié)構(gòu)如下：

* 矩陣
    * 概述
* 向量
    * 什么是向量
    * 基向量
* 線性變換
* 如何用數(shù)值描述線性變換？
* 回到 CSS 的 transform

我不知道大家所理解的矩陣是怎樣的，但我所理解的矩陣是：該陣法免疫法術(shù)攻擊且100%反傷對方隨機(jī)一個(gè)單位（回合制游戲）。

以上描述是在小學(xué)時(shí)代的理解，現(xiàn)在可能有所不同，慢慢說......

矩陣

概述

矩陣，是線性代數(shù)中涉及的內(nèi)容，線性代數(shù)在科學(xué)領(lǐng)域有很多應(yīng)用的場景，如下：

大部分同學(xué)在大學(xué)時(shí)期應(yīng)該都學(xué)過一本叫做線性代數(shù)的書，如果沒猜錯(cuò)的話，你們的老師在教學(xué)的時(shí)候大多都是概念性的灌輸，比如矩陣乘法如何運(yùn)算，加法如何運(yùn)算，大家只要記住就ok了，但是大部分同學(xué)都不理解，為什么矩陣的乘法要這樣算？矩陣乘法的意義是什么？，特別是我們搞計(jì)算機(jī)的，如果有做過 2D/3D 變換的同學(xué)一定聽說過矩陣，比如在前端的CSS中，使用 transform 做 2D/3D 的變換，其中就應(yīng)用到了矩陣的知識，這篇文章并不是一篇數(shù)學(xué)性質(zhì)的文章，所以大家不要看了感覺一陣眩暈，這篇文章的目的在于：從矩陣與空間之間的關(guān)系講述：為什么矩陣可以應(yīng)用在空間操作(變換)?；蛘哂靡痪浯蟀自挘?em>這玩意兒怎么就能讓div翻過來，轉(zhuǎn)過去，扭的他爹都不認(rèn)識他的。

先看一段 css 代碼：

/* 2D */
transform: matrix(1, 0, 0, 1, 0, 0);
/* 3D */
transform: matrix(1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1);

上面兩行 css 代碼其實(shí)什么變換都不會(huì)做，因?yàn)槟鞘亲儞Q的默認(rèn)狀態(tài)，即沒有變換。但是其中使用到了 matrix，翻譯成中文叫做：矩陣。如果有深入研究過 css 的同學(xué)對這兩行代碼也許不陌生，但是大多數(shù)人在使用 transform 變換時(shí)很少直接使用 matrix 矩陣，除非你不想讓人看懂你在做些什么鳥變換...，所以更多的時(shí)候，我們會(huì)使用類似如下語法：

transform: translateX(100px) rotateZ(30deg);

如上代碼所示，一目了然，要做什么變換大家一看就知道了。但其實(shí)，這只是一個(gè)語法糖，其底層依然使用的是 matrix。

如果想要理解矩陣為何可以應(yīng)用到 2D/3D 變換，那么只從數(shù)值水平的角度理解是不夠的，你需要從幾何的角度去理解矩陣，這存在著根本性的差異。而這，也就是本篇文章的真正意義。

不過，這需要我們先了解一些必要的基本概念，這些概念至關(guān)重要，首先就是向量

向量

什么是向量

既然矩陣是線性代數(shù)的一部分，那么就不得不提到 向量，因?yàn)橄蛄渴蔷€性代數(shù)最基礎(chǔ)、最根源的組成部分，所以我們要先搞清楚，向量是什么？我說過，這篇文章不會(huì)很“數(shù)學(xué)”，所以大家不要被嚇到。用一句話描述向量是什么：

向量：空間中的箭頭

這個(gè)在大家的印象里應(yīng)該很好理解，這個(gè)箭頭由兩個(gè)因素決定：方向 和 長度，我們先把目光局限在二維空間下，如圖：

上圖中，在一個(gè)坐標(biāo)系中畫了四個(gè)不同長度和方向的箭頭，每個(gè)箭頭從原點(diǎn)發(fā)出，他們代表了二維空間中的四個(gè)向量，在線性代數(shù)中，向量通常以原點(diǎn)作為起點(diǎn)。

如果你已經(jīng)理解了“向量是空間中的箭頭”這種觀點(diǎn)，下面我們再進(jìn)一步，我們重新用一句話來描述向量：

向量：是有序的數(shù)字列表

假設(shè)大家對坐標(biāo)系的概念都有所了解，我們還是把目光局限在二維空間，在坐標(biāo)系中任意選取單位長度，這樣我們就能夠使用一個(gè)一個(gè)的刻度來標(biāo)刻這個(gè)坐標(biāo)系，選取特定的方向?yàn)閤/y軸的正方向，那么不難看出，每一個(gè)向量，都可以用唯一的一個(gè)坐標(biāo)來表示，同樣的，坐標(biāo)系中的每一個(gè)坐標(biāo)都對應(yīng)著一個(gè)唯一的箭頭(向量)，如下圖：

在坐標(biāo)系中，由于坐標(biāo)通常用來標(biāo)示一個(gè)點(diǎn)，如 P(2, 8) 表示點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (2, 8)，為了區(qū)分點(diǎn)和向量，在表示向量時(shí)，我們通常把坐標(biāo)豎著寫，然后用一對兒中括號來描述，如上圖中的：

在三維空間也是一樣的道理，如下圖，我就不做重復(fù)的解釋，唯一不同的是，每一個(gè)向量由 x/y/z 三個(gè)數(shù)字組成的坐標(biāo)來表示：

對于向量，你只需要知道它是“空間中的箭頭”或者“有序的數(shù)字列表”這就足夠了，怎么樣？不難理解吧，我們繼續(xù)往下看，在坐標(biāo)系中存在一種特殊的向量，我們稱之為 基向量。

基向量

基向量，也叫單位向量，是單位長度為1的向量，如下圖中：i帽 和 j帽 就是這個(gè)二維坐標(biāo)系的基向量：

對于向量，我們就先介紹到這里，這已經(jīng)足夠了。除了向量，還有一個(gè)概念需要大家了解，即線性變換。

線性變換

“變換”本質(zhì)上是“函數(shù)”的一種花哨的叫法，玩編程的都知道函數(shù)，與在數(shù)學(xué)中的概念類似，函數(shù)接收輸入的內(nèi)容，并輸出對應(yīng)的結(jié)果，如圖：

變換也是同樣的道理，只不過接收向量作為輸入，并輸出變換后的向量：

既然 “變換” 與 “函數(shù)” 本質(zhì)相同，那么為什么叫變換而不叫函數(shù)呢？這實(shí)際上就暗示了我們，你可以把這個(gè)輸入輸出的過程，看做一個(gè)向量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的一個(gè)變化過程，如下圖：

現(xiàn)在，我們把情況宏觀一下，目前只討論一個(gè)向量的變換，我們知道，二維空間的一整個(gè)平面，可以看做是由無數(shù)個(gè)向量組成(或者無數(shù)個(gè)點(diǎn)組成，因?yàn)槊恳粋€(gè)點(diǎn)唯一標(biāo)識一個(gè)向量，所以這里說平面由無數(shù)個(gè)向量組成)，假如這無數(shù)個(gè)向量同時(shí)做相同的變換，那其實(shí)就可以看做是平面的變換，如下圖：

變換前：

變換后：

不過，并非所有變換都叫做線性變換，線性變換必須要滿足下面兩個(gè)條件：

• 1、直線在變換后仍然為直線，不能有所彎曲
• 2、原點(diǎn)不能移動(dòng)

如下變換，就不是一個(gè)線性變換，因?yàn)橹本€變成了曲線：

如何用數(shù)值描述線性變換？

在上一小節(jié)中我們知道，空間的變換也可以說是向量的變換，而向量在空間中，可以用一組有序的數(shù)字列表來表示(即向量的坐標(biāo))，所以向量變換前后，必然會(huì)引起“有序數(shù)字列表的變換”，那么我們是否可以用數(shù)字去描述變換呢？

之前在向量一節(jié)中，我們了解過基向量，單位長度為1，其實(shí)空間中的任意一個(gè)向量我們都可以看做是：基向量變換后的和向量，如下圖：

向量 <b>v</b> 的坐標(biāo)是

了解了這些，我們現(xiàn)在就通過一個(gè)例子，來認(rèn)識一個(gè)至關(guān)重要的事實(shí)，假如我們有向量 <b>v</b> = -1<b>i</b> + 2<b>j</b>，如下圖：

此時(shí)，基向量 <b>i</b> 的坐標(biāo)是 (1, 0)【注意：為了方便，這里就用圓括號代表向量的坐標(biāo)，下同】，基向量 <b>j</b> 的坐標(biāo)是 (0, 1)，假設(shè)經(jīng)過了某些變換之后，基向量 <b>i</b> 的坐標(biāo)變?yōu)?(1， -2)，基向量 <b>j</b> 的坐標(biāo)變?yōu)?(3， 0)，如下圖：

那么變換后的向量 <b>v</b> 依然滿足 <b>v</b> = -1<b>i</b> + 2<b>j</b>，如下：

以上例子所描述的事實(shí)，實(shí)際上是線性變換的性質(zhì)的推論，該性質(zhì)可以從幾何角度表述為：線性變換后的網(wǎng)格平行且等距。

既然線性變換前后都滿足該線性關(guān)系：<b>v</b> = -1<b>i</b> + 2<b>j</b>

那么很容易根據(jù)變換后 i帽 和 j帽 的坐標(biāo)推算出變換后 <b>v</b> 的坐標(biāo)：

也就是 (5, 2)，即：

那么我們是否可以認(rèn)為，給定任意一個(gè)向量，其坐標(biāo) (x, y)，我們可以通過變換后的基向量的坐標(biāo)推斷出該向量變換后的坐標(biāo)呢？答案是肯定的，假如基向量變換后的坐標(biāo) i帽 和 j帽 如下圖：

那么任意向量 (x, y) 在經(jīng)過變換后的坐標(biāo)計(jì)算如下：

這告訴我們另外一個(gè)事實(shí)，<b>二維空間的線性變換僅由四個(gè)數(shù)字完全確定</b>，這四個(gè)數(shù)字就是基向量 <b>i</b> 變換后 <b>i帽</b> 的坐標(biāo)，以及基向量 <b>j</b> 變換后 <b>j帽</b> 的坐標(biāo)，如下圖：

是不是很酷？只需要四個(gè)數(shù)字，我們就確定了二維空間的一個(gè)變換。通常，我們把這四個(gè)數(shù)字放到一個(gè) 2 x 2 的格子中，我們稱之為 2 x 2 矩陣：

現(xiàn)在，當(dāng)你再看到 2 x 2 矩陣的時(shí)候，你的第一幾何直觀反映應(yīng)該是：它描述了一個(gè)二維空間的變換。

我們把情況一般化，如下圖：

我們有一個(gè) 2 x 2 的矩陣 [a, c] [b, d]，其中 [a, c] 是基向量 <b>i</b> 變換后的坐標(biāo)，[b, d] 是基向量 <b>j</b> 變換后的坐標(biāo)，那么根據(jù)這個(gè)變換，以及線性變換的性質(zhì)，我們可以推斷出任意向量 [x, y] 變換后的坐標(biāo)：

<p class="tip">
實(shí)際上，這就是數(shù)學(xué)家之所以這樣定義 矩陣的向量乘法 的原因。
</p>

到了這里，讓我們整理一下思路，首先，對于一個(gè) 2 x 2 的矩陣，你的直觀幾何感受應(yīng)該是，第一列的兩個(gè)數(shù)是對基向量 <b>i</b> 的變換，第二列的兩個(gè)數(shù)是對基向量 <b>j</b> 的變換，這四個(gè)數(shù)字組成的 2 x 2 的矩陣，描述了一個(gè)對空間的線性變換，我們可以根據(jù)這個(gè)變換推斷出任意一點(diǎn)(或者任意向量)變換后的坐標(biāo)。

其實(shí)我么你還可以換一個(gè)角度考慮，我們就單純的把 2 x 2 矩陣叫做變換，那么向量與矩陣的乘積，就要可以看做是該向量應(yīng)用了這個(gè)變換。其實(shí)，這就是矩陣向量乘法的幾何意義。

回到 CSS 的 transform

說了一大堆，是時(shí)候回到 CSS 的 transform，我們來看一下2D變換下 transform 屬性的 matrix 寫法：

transform: matrix(a, b, c, d, e, f);

在文章開始，我們知道各個(gè)參數(shù)默認(rèn)值如下：

transform: matrix(1, 0, 0, 1, 0, 0);

有的同學(xué)可能會(huì)問：說好的 2 x 2 矩陣也就是四個(gè)數(shù)字就能確定一個(gè)二維空間變換，你這里明明有6個(gè)數(shù)啊，其實(shí)，transform 2D變換是一個(gè) 3 * 3 的矩陣，為什么是這樣？因?yàn)椋?em>位移(translate)，前面我們說過，線性變換要滿足其中一個(gè)特點(diǎn)：原點(diǎn)不能移動(dòng)，但是位移卻使原點(diǎn)發(fā)生了移動(dòng)，所以 2 x 2 矩陣滿足不了需求，只能再加一列，也就是 3 x 3 的矩陣。

把 matrix 中的 a b c d e f 放到一個(gè) 3 x 3 的矩陣中應(yīng)該是這樣的：

其實(shí)，在沒有位移(translate)的情況下，[a, b] [c, d] 四個(gè)數(shù)字組成的 2 x 2 矩陣是完全可以描述2D變換的，現(xiàn)在我們只看由 [a, b] [c, d] 組成的 2 x 2 矩陣：

我們把 a b c d 四個(gè)數(shù)字使用默認(rèn)值替換一下，即：a = 1，b = 0，c = 0，d = 1，如下：

通過之前的介紹，我們在看到這個(gè)矩陣的時(shí)候，應(yīng)該知道，第一列的坐標(biāo) (1, 0) 應(yīng)該是基向量 <b>i</b> 變換后的坐標(biāo)，但是基向量 <b>i</b> 在變換前的坐標(biāo)就是 (1, 0)，也就是說沒有任何變換，同理，基向量 <b>j</b> 也沒有任何變換，所以說，這就是 a b c d 默認(rèn)值設(shè)定為下面代碼所示的值的原因：

transform: matrix(a, b, c, d, e, f);
// a b c d 默認(rèn)值為 1 0 0 1
transform: matrix(1, 0, 0, 1, e, f);

那么大家想想一下，我們把 a 的值從 1 變?yōu)?2 會(huì)發(fā)生什么？如果把 a 的值從 1 變?yōu)?2 那么矩陣如下：

也就是說，基向量 <b>i</b> 的坐標(biāo)從 (1, 0) 變成了 (2, 0)，這是在干什么？是不是基向量 <b>i</b> 被放大為了原來的二倍？舉一個(gè)通俗的例子：原本單位長度1代表20px，被放大后單位長度1則代表40px。同樣的，當(dāng)我們把 a 的值從 1 變?yōu)?0.5 則意味著把基向量 <b>i</b> 縮小為原來的一半。事實(shí)上：在 transform: matrix() 中，修改 a 的值，就是在改變 x 軸方向的縮放比例：

transform: matrix(2, 0, 0, 1, 0, 0);
/* 等價(jià)于 */
transform: scaleX(2);

相信大家已經(jīng)知道了，修改 d 的值，就是改變 y 軸的縮放比例：

transform: matrix(1, 0, 0, 4, 0, 0);
/* 等價(jià)于 */
transform: scaleY(4);

那么旋轉(zhuǎn)要如何修改 matrix 中的值呢？其實(shí)，想要知道如何修改 a b c d 的值，只需要知道，旋轉(zhuǎn)后基向量 <b>i</b> 和 <b>j</b> 的坐標(biāo)就可以了，將旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)對號填入就可以得到變換矩陣，下面，我們就來看看如何確定旋轉(zhuǎn)后基向量 <b>i</b> 和 <b>j</b> 的坐標(biāo)。

我們知道，在 web 開發(fā)中的坐標(biāo)系和數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)系在正方向的選取上不太一致，在大家所熟悉的坐標(biāo)系中，正方向的選取如下：

而在 web 開發(fā)中，坐標(biāo)系的正方向選取是這樣的：

假設(shè)我們將其順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45 度，如下圖：

假設(shè)，上圖中我們旋轉(zhuǎn)的是單位向量，那么旋轉(zhuǎn)后單位向量 <b>i</b> 的坐標(biāo)應(yīng)該是 (cosθ, sinθ)，單位向量 <b>j</b> 的坐標(biāo)應(yīng)該是 (-sinθ, cosθ)，所以如果用矩陣表示的話，應(yīng)該是這樣的：

如果寫到 matrix 里，自然就是下面這個(gè)樣子：

transform: matrix(cosθ, sinθ, -sinθ, cosθ, 0, 0)

所以，如果我們要順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45 度，下面兩種寫法是等價(jià)的：

/*
 * Math.cos(Math.PI / 180 * 45) = 0.707106
 * Math.sin(Math.PI / 180 * 45) = 0.707106
 */
transform: matrix(0.707106, 0.707106, -0.707106, 0.707106, 0, 0)

/* 等價(jià)于 */
transform: rotate(45deg);

通過上面縮放和旋轉(zhuǎn)的例子，我們已經(jīng)知道了，2 x 2 的矩陣確實(shí)能夠描述二維空間的變換，這也就是矩陣能夠操作空間的原因。在 transform 中，除了縮放(scale)、旋轉(zhuǎn)(rotate) 還有傾斜(skew)，對于傾斜，類似于我們尋找旋轉(zhuǎn)后基向量的坐標(biāo)一樣，你只需要根據(jù)傾斜所定義的變換規(guī)則，找到基向量變換后的坐標(biāo)就可以了，實(shí)際上傾斜對應(yīng)如下規(guī)則：

transform: matrix(1, tan(θy), tan(θx), 1, 0, 0);

大家自己拿只筆在紙上畫一畫應(yīng)該就能搞清楚傾斜在做什么樣子的變換。

無論 縮放(scale)、旋轉(zhuǎn)(rotate) 還是傾斜(skew)，他們都不會(huì)是原點(diǎn)發(fā)生改變，所以使用 a b c d 四個(gè)數(shù)字組成的矩陣完全可以描述，但是不要忘了，我們還有一個(gè) 位移(translate)，這時(shí)，就不得不提到 e f 了，我想我不說大家也都知道了，e f 分別代表了 x y 方向的位移，事實(shí)也如大家所想：

transform: matrix(1, 0, 0, 1, 100, 200)

/* 等價(jià)于 */
transform: translateX(100px) translateY(200px);

至此，transform 使用 3 x 3 矩陣：

除了2D變換，還有3D變換，在 transform 中，使用 4 x 4 的矩陣描述3D變換，但實(shí)際上，三維空間的線性變換只需要一個(gè) 3 x 3 的矩陣就可以描述了，那么為什么搞了一個(gè) 4 x 4矩陣呢？實(shí)際上這和我們在將二維空間的變換使用 3 x 3 矩陣的道理是一樣的，那就是位移。

我們來看一下3D變換的 matrix 默認(rèn)值：

transform: matrix(a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p);
transform: matrix(1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1);

這十六個(gè)數(shù)字就是 4 x 4 矩陣的 16 個(gè)數(shù)值：

如果換成對應(yīng)數(shù)字，是這樣的：

類似于我們講解 2D 變換一樣，其中由

而 m n o 則分別用來描述位移：translateX translateY translateZ。