開刷：《信號與系統(tǒng)》第4章 Lec #8 連續(xù)時間傅里葉變換

課本是電子工業(yè)出版社出版的奧本海姆《信號與系統(tǒng)》第二版，劉樹棠譯。

視頻課可以在網(wǎng)易公開課看到，搜索MIT的信號與系統(tǒng)，老師就是課本的作者。

0. 涉及內(nèi)容及引言

p.180 - p.190

在研究連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示時，我們發(fā)現(xiàn)周期信號可以分解為一系列成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)函數(shù)的和，這些成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)函數(shù)的頻率間隔為\omega _0，隨著周期信號的周期增加，其基頻\omega _0逐漸減小。當(dāng)周期T趨于無窮大時，這些頻率分量的間隔變?yōu)闊o窮小，也就是說其在頻率域中連續(xù)，從而傅里葉級數(shù)的求和也就變成了一個積分。連續(xù)時間的非周期信號的傅里葉變換就是通過推導(dǎo)一個周期趨于無窮大的周期信號傅里葉級數(shù)而得到的。

1. 非周期信號的表示：連續(xù)時間傅里葉變換

1.1 非周期信號傅里葉變換的推導(dǎo)

研究一個連續(xù)時間周期方波，
x(t) = \begin{cases} 1, &\vert t \vert <T_1 \\\\ 0, & T_1 < \vert t \vert < T/2 \end{cases}

信號以周期T重復(fù)。求其傅里葉級數(shù)系數(shù)
a_k = \frac{2 \sin (k\omega _0 T_1)}{k\omega _0 T}

理解上式的另外一種方法是將其看作一個包絡(luò)函數(shù)的樣本，即
Ta_k = \frac{2 \sin (\omega T_1)}{\omega} \Bigg \vert _{\omega = k \omega _0}

也就是說，如果將\omega看作一個連續(xù)變量，則函數(shù)\frac{2 \sin (\omega T_1)}{\omega}就是Ta_k的包絡(luò)，這些系數(shù)就是在包絡(luò)上等間距取得的樣本。

隨著T的增加，在包絡(luò)Ta_k上取樣本的間距就在隨之減小。隨著T \to \infty，傅里葉級數(shù)系數(shù)就趨近于這個包絡(luò)函數(shù)。

這個例子就說明了對非周期信號建立傅里葉表示的基本思想。

現(xiàn)在考慮一個有限持續(xù)期的信號x(t)，即存在一個T_1，當(dāng)\vert t \vert > T_1時，x(t)=0。參考這個信號x(t)，構(gòu)造一個周期信號\tilde{x}(t)，使得x(t)就是\tilde{x}(t)的一個周期。當(dāng)把T選的較大時，\tilde{x}(t)就在一個更長時間段上與x(t)相等，隨著T \to \infty，對任意有限時間t值而言，兩個信號相等。

現(xiàn)在研究T變化時，\tilde{x}(t)的變化。寫出\tilde{x}(t)的傅里葉級數(shù)綜合方程和分析方程，
\tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega _0 t}

a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \tilde{x}(t) e^{-jk\omega _0 t} \mathrmu0z1t8os t

因為當(dāng)\vert t \vert < T/2時，\tilde{x}(t) = x(t)，那么上面的分析公式可以變化為
a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-jk\omega _0 t} \mathrmu0z1t8os t

又因為當(dāng)\vert t \vert > T/2時，x(t) = 0，所以又可以變化為
a_k = \frac{1}{T} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-jk\omega _0 t} \mathrmu0z1t8os t

定義Ta_k的包絡(luò)線X(j\omega)，
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t

這時系數(shù)a_k可以寫作
a_k = \frac{1}{T} X(jk\omega _0)

將這個系數(shù)a_k的表達(dá)式代回到\tilde{x}(t)的傅里葉級數(shù)綜合公式中，有
\tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} X(jk\omega _0) e^{jk\omega _0 t}

又因為\omega_0 = 2\pi /T，那么上式可變化為
\tilde{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} X(jk\omega _0) e^{jk\omega _0 t} \omega _0

隨著T \to \infty，\tilde{x}(t)就趨近于x(t)，\omega _0 \to 0，上式就過渡為一個積分式，也就得到了連續(xù)時間非周期信號的傅里葉變換，
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrmu0z1t8os \omega

X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t

回過頭來考慮x(t)等于周期信號\tilde{x}(t)的一個周期，那么周期信號\tilde{x}(t)的傅里葉級數(shù)系數(shù)
a_k = \frac{1}{T} X(j\omega) \Bigg \vert _{\omega = k \omega _0}

上式就表明，周期信號\tilde{x}(t)的傅里葉級數(shù)系數(shù)正比于一個周期內(nèi)\tilde{x}(t)的傅里葉變換的樣本。

1.2 傅里葉變換的收斂

  • x(t)能量有限：\int_{-\infty}^{+\infty} \vert x(t) \vert ^2 \mathrmu0z1t8os t < \infty

這樣就可以保證X(j\omega)收斂，而且誤差的能量值\int_{-\infty}^{+\infty} \vert e(t) \vert ^2 \mathrmu0z1t8os t = 0。

也就是說，如果x(t)能量有限，那么雖然x(t)和其傅里葉表示\hat{x}(t)或許在個別點(diǎn)上不相等，但是在能量上沒有任何差別。（其中\hat{x}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrmu0z1t8os \omega）

  • 狄里赫利條件：狄里赫利條件充分保證了\hat{x}(t)除了在不連續(xù)點(diǎn)之外，其余任意t值上都與x(t)相等，而在不連續(xù)點(diǎn)處，\hat{x}(t)等于x(t)在不連續(xù)點(diǎn)兩邊值的平均。

  1. x(t)絕對可積。\int_{-\infty}^{+\infty} \vert x(t) \vert \mathrmu0z1t8os t < \infty

  2. 在任意有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個最大值和最小值。

  3. 在任意有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個不連續(xù)點(diǎn)，并且在不連續(xù)點(diǎn)處為有限值。

1.3 連續(xù)時間傅里葉變換舉例

例4.1

x(t) = e^{-at}u(t), \quad a>0

X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t = \int_{0}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t = \frac{1}{a+j\omega}

\vert X(j\omega) \vert = \frac{1}{\sqrt{a^2 + {\omega} ^2}}

\sphericalangle X(j\omega) = - \arctan \bigg ( \frac{\omega} {a} \bigg )

例4.2

x(t) = e^{-a\vert t \vert}, \quad a>0

\begin{align*} X(j\omega) &= \int_{-\infty}^{0} e^{at} e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t + \int_{0}^{+\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t \\ &= \frac{1}{a-j\omega} + \frac{1}{a+j\omega} \\ &= \frac{2a}{a+\omega ^2} \end{align*}

例4.3

x(t) = \delta (t)

X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta (t) e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t = 1

例4.4

x(t) = \begin{cases} 1, &\vert t \vert < T_1 \\ 0, &\vert t \vert > T_1 \end{cases}

X(j\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t = \int_{-T_1}^{T_1} e^{-j\omega t} \mathrmu0z1t8os t = \frac{2 \sin \omega T_1}{\omega}

這個矩形脈沖信號依然會存在吉布斯現(xiàn)象。

例4.5

X(j\omega) = \begin{cases} 1, &\vert \omega \vert < W \\ 0, &\vert \omega \vert > W \end{cases}

利用綜合公式可以求得
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrmu0z1t8os \omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-W}^{W} e^{j\omega t} \mathrmu0z1t8os \omega = \frac{\sin Wt}{\pi t}

從例4.4和例4.5可以看出傅里葉變換的對偶性，下一課的筆記再討論這個性質(zhì)。

引入sinc函數(shù)，
\mathrm{sinc} (\theta) = \frac{\sin \pi \theta}{\pi \theta}

那么例4.4和例4.5的結(jié)果就可以表示為sinc函數(shù)，
\frac{2 \sin \omega T_1}{\omega} = 2T_1 \mathrm{sinc} \bigg ( \frac{\omega T_1}{\pi} \bigg)

\frac{\sin Wt}{\pi t} = \frac{W}{\pi} \mathrm{sinc} \bigg ( \frac{Wt}{\pi} \bigg)

2. 周期信號的傅里葉變換

為了在同一個框架下研究周期信號和非周期信號，我們對周期信號也建立傅里葉變換表示。

考慮一個信號x(t)，其傅里葉變換為
X(j\omega) = 2\pi \delta (\omega - \omega _0)

利用逆變換公式，求得x(t)，即
x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} \mathrmu0z1t8os \omega = e^{j\omega _0 t}

對上面的公式加以推廣，如果
X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2 \pi a_k \delta (\omega - k \omega _0)

那么
x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{jk\omega _0 t}

因此，一個傅里葉級數(shù)系數(shù)為\{ a_k \}的周期信號的傅里葉變換，可以看成是出現(xiàn)在成諧波關(guān)系的頻率上的一串沖激函數(shù)，發(fā)生在第k次諧波頻率k\omega _0上的沖激函數(shù)的面積是第k個傅里葉級數(shù)系數(shù)a_k的2\pi倍。

例4.6

再次考慮周期對稱方波x(t)，其傅里葉級數(shù)系數(shù)
a_k = \frac{\sin k\omega _0 T_1}{\pi k}

因此該信號的傅里葉變換為
X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} 2 \pi a_k \delta (\omega -k \omega _0) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{2 \sin k\omega _0 T_1}{k} \delta (\omega -k \omega _0)

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