導語
? ? ? ?在泛函分析中，我們將研究跟一般的空間以及在這些空間上定義的函數、映射、進一步討論與他們相關的極限和運算
? ? ? ?我們現在要考慮的是無窮位空間，研究無窮維空間的手段是極限，要定義極限，就得要有距離，有了距離我們進而研究一般空間中的元素（函數、算子）的性質，所以下面嗯先定義距離，也就是距離空間
? ? ? ?那么如何定義距離空間？即如何抽象出極限的本質特征？
距離空間的定義：
二維空間的距離滿足：
1、距離是非負的：d(x,y)>=0
2、距離是嚴格正的:d(x,y)=0當且僅當x=y
3、距離是對稱的：d(y,x)=d(x,y)
4、距離滿足三角不等式（兩邊之和大于第三邊）
? ? ? ?我們把具有這些 性質的從平面上的點到實數的二元映射定義為距離
距離空間的定義：
設X是任一非空集合，對于X中的任何兩點x，y，均有一個實數d(x,y)與他對應，且滿足：
1、距離是非負的：d(x,y)>=0
2、距離是嚴格正的:d(x,y)=0當且僅當x=y
3、距離是對稱的：d(y,x)=d(x,y)
4、距離滿足三角不等式（兩邊之和大于第三邊）
? ? ? ?則稱d(x,y)為X中的一個距離，距離的集合就稱為距離空間
? ? ? ?其實，性質1-4稱為距離公理，一般的前三條驗證較容易，最后一條較復雜
三角不等式推廣
兩邊之差小于第三邊
距離空間的相關例子：
例1.1.2
證明上.png
證明下.png
