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1、直接選擇排序(Straight Select Sorting)

(1)描述

從無序區(qū)選出一個(gè)最小的數(shù)，與第1個(gè)數(shù)交換；
再?gòu)氖Ｏ聼o序數(shù)據(jù)中找出最小的數(shù)，與第2個(gè)數(shù)交換，總共選擇n-1次。

(2)實(shí)現(xiàn)

兩層循環(huán)，外層循環(huán)控制當(dāng)前輪最小值應(yīng)該存放的數(shù)組下標(biāo)i，
內(nèi)層循環(huán)從i到最后選出最小值的下標(biāo)min。
如果i和min不是同一個(gè)值，則交換。

void straight_select(int data[], int length)
{
    int i, k;
    int min;
    for (i = 0; i < length-1; ++i)
    {
        min = i;
        for (k = i+1; k < length; ++k)
            if (data[k] < data[min])
                min = k;
        if (i != min)
            SWAP_INT(data[i], data[min])
    }
}

代碼鏈接
 鏈表版代碼鏈接

(3) 時(shí)間復(fù)雜度

因?yàn)槊看沃荒苓x出1個(gè)元素，每次選擇需要比較無序區(qū)的所有元素，所以
時(shí)間復(fù)雜度固定為 O(n²) 。
當(dāng)然也可以優(yōu)化，比如每次選出2個(gè)元素，可以是1個(gè)max和1個(gè)min，也可以是min的top2，但也只是把外層循環(huán)由n-1變成了n/2，最終只是無關(guān)緊要的項(xiàng)有變化，復(fù)雜度仍然是 O(n²) 。

(4)空間復(fù)雜度 `O(1)`

(5)穩(wěn)定性：不穩(wěn)定

比如 2, 2, 1，第1輪選擇把第1個(gè)2交換到了最后。

(2)堆排序(Heapsort)

(1)描述

這里所說的堆并不是內(nèi)存的堆，而是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的二叉堆。
二叉堆是一棵完全二叉樹，分為兩種:最大堆和最小堆。
最大堆的父結(jié)點(diǎn)的值總是大于或等于它的子節(jié)點(diǎn)，
最小堆的父結(jié)點(diǎn)的值總是小于或等于它的子節(jié)點(diǎn)，
左右子節(jié)點(diǎn)之間并無固定的大小關(guān)系。

滿二叉樹的第1層有1個(gè)節(jié)點(diǎn)，第2層有2個(gè)，第3層有4個(gè)，
第 h 層有 2^h-1 個(gè)節(jié)點(diǎn)，是一個(gè)公比為 2 的等比數(shù)列。
根據(jù)等比數(shù)列求和公式： $s_{n} = a1 * \frac{1-q^n}{1-q} (q \neq 1)$

$可以求出 S_h =2^h -1和 S_{h-1} = 2^{h-1} -1，堆的前h層節(jié)點(diǎn)數(shù)>= S_{h-1} +1，<=S_h 。$

$所以如果已知堆的總節(jié)點(diǎn)數(shù) n，則高度 h 的取值范圍是 [ log_{2}{n+1}, log_2{2n} ]$

如果從堆頂往下只遍歷某一個(gè)子樹就可以選擇出最值，就可以把直接選擇排序的選擇最值部分的時(shí)間復(fù)雜度從 O(n) 降到了 O(logn) 。

2、實(shí)現(xiàn)

1.構(gòu)建一個(gè)二叉堆。
2.交換堆頂(第1個(gè)數(shù)據(jù))與最后一個(gè)數(shù)據(jù)。
3.利用堆的便利，輕松將前n-1個(gè)數(shù)據(jù)重新構(gòu)建堆。重復(fù)2和3步驟，一共選擇n-1次。

void build_heap(int data[], int father, int length)
{
    int child;
    for(child = 2 * father + 1; child < length; child = 2 * father + 1)
    {
        if (child+1 < length && data[child+1] > data[child])
            ++child;
        if (data[child] > data[father])
        {
            SWAP_INT(data[child], data[father])
            father = child;
            continue;
        }
        break;
    }
}

void heap_sort(int data[], int length)
{
    for(int i = length/2 -1; i >=0; --i)
    {
        build_heap(data, i, length);
    }
    for(int i = 1; i < length; ++i)
    {
        SWAP_INT(data[0], data[length-i])
        build_heap(data, 0, length-i);
    }
}

代碼鏈接

用數(shù)組實(shí)現(xiàn)是很方便的，因?yàn)閿?shù)組可以隨機(jī)訪問，根據(jù)父節(jié)點(diǎn)，訪問子節(jié)點(diǎn)的復(fù)雜度是O(1)。
如果用鏈表實(shí)現(xiàn)，則需要把每個(gè)節(jié)點(diǎn)的父節(jié)點(diǎn)和左右子節(jié)點(diǎn)記錄下來，需要自定義結(jié)構(gòu)體，如果用STL中的list<int>這樣的鏈表，父子節(jié)點(diǎn)訪問對(duì)方的復(fù)雜度是O(n)，這樣一來整個(gè)排序的時(shí)間復(fù)雜度上升了，與直接選擇排序相比也喪失了優(yōu)勢(shì)。
STL的algorithm有提供堆排序的算法，只需要提供一個(gè)比較元素大小的函數(shù)即可。代碼鏈接

(3) 時(shí)間復(fù)雜度

代碼大致分為2個(gè)部分：1是初始構(gòu)建堆，2是選出最值+構(gòu)建堆；

1）初始構(gòu)建堆
設(shè)節(jié)點(diǎn)總數(shù)為 n ，設(shè)堆的高度為 h ,
設(shè)最大的非葉子節(jié)點(diǎn)所在的層為第k層，則k = h - 1 。

初始構(gòu)建堆時(shí)，
第 h 層，因?yàn)槿侨~子節(jié)點(diǎn)，不需要構(gòu)建堆，即構(gòu)建0次。
第 h-1 層，構(gòu)建1次堆。
所以第 i 層需要構(gòu)建 h-i 次堆。
且第i層最多有 2^(i-1) 個(gè)節(jié)點(diǎn)。

所以第 i 層一共需要構(gòu)建堆的次數(shù)為 $a_i = 2^{i-1} (h-i)$