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本篇來講一下線性代數(shù)中非常重要的一個(gè)概念：特征向量／特征值。

前面介紹過，一個(gè)矩陣代表的是一種線性變換，考慮二維空間中的某個(gè)線性變換，它將i即[1,0]變換到[3,0]的位置，將j即[0,1]變換到[1,2]的位置，那么對(duì)應(yīng)的矩陣就是[3,1;0,2]（先說一下寫法，這里的[3,1;0,2]，其中3,1是第一行，0,2是第二行）:

在這個(gè)變換過程中，很多向量都離開了其原本所張成的空間，即所在的直線，但也有一些向量在變換后，仍恰好落在原來的直線上：

如上面的例子中，基向量i就落在了原來的直線即x軸上，只不過是被拉長(zhǎng)了三倍，同樣的，x軸上的任何其他向量在經(jīng)過變換后都只是被拉伸為原來的三倍，且方向不變：

除了x軸上的向量外，向量[-1,1] 所在的直線上的向量在變換后仍在原來的直線上，只是長(zhǎng)度被拉長(zhǎng)了兩倍：

總結(jié)一下，在剛才的線性變換中，有兩條直線上的向量，在變換后仍在其所在的直線上，只不過長(zhǎng)度和方向發(fā)生了改變，但其他的向量，都離開了它所張成的直線：

想必大家都知道結(jié)果了，經(jīng)過上面矩陣所代表的線性變換，兩條位置不變的直線上的向量都可以稱之為特征向量，而對(duì)應(yīng)伸縮的大小，就稱之為特征值。值得一提的是，如果線性變換后是反向伸縮，那么特征值是負(fù)的：

接下來簡(jiǎn)單介紹一下特征值和特征向量的計(jì)算方法，首先根據(jù)剛才的介紹，一個(gè)矩陣A的特征向量，在經(jīng)過這個(gè)矩陣所代表的線性變換之后，沒有偏離其所張成的直線，而只是發(fā)生了伸縮或方向改變，所以首先可以寫出下面的式子：

接下來要求解特征向量和特征值，首先需要做下變換，因?yàn)榈仁降淖筮叴淼氖蔷仃嚭拖蛄肯喑?，右邊代表的是一個(gè)數(shù)和向量相乘，所以先把右邊變?yōu)榫仃嚭拖蛄肯喑说男问剑醋對(duì)伺c單位矩陣相乘：

然后就可以都移到等號(hào)左邊，提出公因子來：

接下來的目標(biāo)就是求解向量v，使得v與(A-λI)相乘的結(jié)果為零向量。如果v本身是零向量的話，那等式恒成立。但我們真正想找的是非零的特征向量。

回顧本系列視頻第五講的內(nèi)容，當(dāng)一個(gè)二維矩陣的行列式為0時(shí)，它能代表的線性變換能將空間壓縮為一條直線或者是零點(diǎn)。因此，想讓v經(jīng)過(A-λI)變換后的結(jié)果為零向量，(A-λI)的行列式值必須為0，所以整個(gè)過程如下：

以最開頭提到的矩陣作為例子，很容易求解出特征值是2或者3：

求解出特征值了，如何求解對(duì)應(yīng)的特征向量呢？以特征值2為例子，求解如下的方程組即可，你可以發(fā)現(xiàn)，一條直線上的所有向量都可以作為特征向量：

一般情況下，一個(gè)二維矩陣有兩個(gè)特征值，而對(duì)應(yīng)的特征向量在兩條直線上，但也存在一些特殊情況。如有時(shí)候只有一個(gè)特征值，以及特征向量分布在一條直線上，如下面的矩陣，只有1個(gè)特征值，為1：

有一些矩陣并沒有對(duì)應(yīng)的特征值，比如將空間旋轉(zhuǎn)90度的線性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，空間中所有的向量在經(jīng)過其變換后都偏離了原來的直線，旋轉(zhuǎn)了90度，因此其沒有特征向量。

更特別的，有時(shí)候一個(gè)矩陣只有一個(gè)特征值，但是其對(duì)應(yīng)的特征向量分布在不同的直線上，如下面的矩陣將空間中所有的向量都拉伸了兩倍，它只有一個(gè)特征值2，但是所有的向量都是其特征向量：

最后，講一下特征基的概念。講到基，又得搬出坐標(biāo)系的概念了。假設(shè)我們坐標(biāo)系的基是[1,0]和[0,1]，如果基向量都是特征向量，那么會(huì)發(fā)生什么呢？沒錯(cuò)，如果基向量都是一個(gè)矩陣的特征向量，那么這個(gè)矩陣就是一個(gè)對(duì)角矩陣，而對(duì)角線上的值，就是對(duì)應(yīng)的特征值：

這句話反過來說對(duì)不對(duì)呢？即如果一個(gè)矩陣是對(duì)角矩陣，那么對(duì)應(yīng)的特征向量都是基向量？好像有點(diǎn)問題，比如剛才的[2,0;0,2]，它是一個(gè)對(duì)角矩陣，但其特征向量包括了所有的向量，而并非只有基向量。

但很多情況下，特征向量并非是基向量，但至少能夠找到一組能夠張成整個(gè)空間的向量集合，還是本文開頭所講的例子：

如果能找到這樣一組向量，那我們就能變換坐標(biāo)系，使這些向量成為新的坐標(biāo)系下的基向量。這里先簡(jiǎn)單回顧一下上一個(gè)視頻中所講到的基變換的概念。假設(shè)我們的坐標(biāo)系基向量分別是[1,0]和[0,1]，那么矩陣[2,-1;1,1]的意思可以理解為，將我們空間中的[1,0]、[0,1]，轉(zhuǎn)換到另一個(gè)空間中的[1,0]、[0,1]，而另一個(gè)空間中的[1,0]、[0,1]，在我們空間看的話，坐標(biāo)分別是[2,1]和[-1,1]（這里可能比較繞，需要轉(zhuǎn)一下彎）。

因此，矩陣[2,-1;1,1]所代表的線性變換，可以理解為將另一組坐標(biāo)系下某一個(gè)向量的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換到我們這組坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，同樣的，矩陣[2,-1;1,1]的逆代表將一個(gè)向量在我們坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換成另一個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

因此如果想要將我們坐標(biāo)系下的一個(gè)線性變換M，作用到另一個(gè)坐標(biāo)系中，需要怎么做呢？首先要將一個(gè)向量在另一個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到我們的空間中坐標(biāo)，然后在進(jìn)行線性變換M，最后在變回到另一個(gè)空間中的坐標(biāo)：

最后還是最開始的例子，假設(shè)想讓在我們的坐標(biāo)系下得到的特征向量（因?yàn)橹本€上所有的向量都可以作為特征向量，因此這里取了一個(gè)特例[-1,1],[1,0])作為新的坐標(biāo)系下的基向量，新的坐標(biāo)系下[1,0]和[0,1]對(duì)應(yīng)的向量，在我們的坐標(biāo)系下分別是[1,0]和[-1,1]，那么就可以得到一個(gè)基變換矩陣[1,-1;0,1]（基變換矩陣可以將另一個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為我們這個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)）。

思考下面三個(gè)矩陣相乘的結(jié)果的結(jié)果：

假設(shè)中間的矩陣為M，那么上面三個(gè)矩陣相乘的意思其實(shí)是對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)系下定義的向量坐標(biāo)應(yīng)用在我們坐標(biāo)系下的線性變換M。三個(gè)矩陣相乘的結(jié)果是一個(gè)對(duì)角矩陣，且對(duì)角線元素為對(duì)應(yīng)的特征值：

從直觀上理解，由于選擇了矩陣M的特征向量作為新坐標(biāo)系下的基向量，基向量在變換中只是進(jìn)行了縮放。從數(shù)學(xué)上理解，如果把上面式子中左右兩邊同左乘矩陣[1,-1;0,1]，其實(shí)就是特征向量的定義。把一個(gè)矩陣的特征向量作為基向量，這組基向量也稱為特征基：

根據(jù)上面的式子，使用矩陣M的特征向量所組成的矩陣，成功將M進(jìn)行了對(duì)角化。但并不是所有的矩陣都可以對(duì)角化，只有矩陣的特征向量夠多，能夠張成全空間時(shí)，才能進(jìn)行對(duì)角化。

好了，本節(jié)的內(nèi)容就這么多，深入淺出，小伙伴們一定記得去看視頻哇！