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高維運動的描述

本次課會涉及下列數(shù)學符號 f(x)

$\Delta$ , $\vec{r}$ , $\vec{i}$ , $\frac{x}{y}$ , $\cos(t)$ , $\omega$ , $t_2$ , $t_1$ , $\sqrt{x}$ , $v_x^2$ , $\pi$ , $\neq$

對應(yīng)的代碼為

$\Delta$, $\vec{r}$, $\vec{i}$, $\frac{x}{y}$, $\cos(t)$, $\omega$, $t_2$, $t_1$, $\sqrt{x}$, $v_x^2$, $\pi$, $\neq$

知識點

平面直角坐標系下的矢量

$\vec{f}=f_x\vec{i}+f_y\vec{j}$

有大小，有方向。大小為 $f=|\vec{f}|=\sqrt{f_x^2+f_y^2}$

我們約定，小寫字母 $f$ 都是對應(yīng)的矢量 $\vec{f}?$ 的大小。
位矢 $\vec{r}$ ，速度 $\vec{v}$ , 加速度 $\vec{a}$

? $\vec{r}=4t\vec{i}-\frac{1}{2}gt^2\vec{j}?$

? 則速度 $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=4\vec{i}-gt\vec{j}$

? 加速度 $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=-g\vec{j}$

? 借助速度和加速度，我們可以對運動情況進行分析：該運動為水平速度恒定，豎直方向加速度恒定的運動。
軌跡方程 關(guān)于 $y(x)$ 的方程，不關(guān)心時間。
- 寫成分量式
  $\begin{cases} x=4t & ,\\ y=-\frac{1}{2}gt^2 & , \end{cases}$
- 消元法除掉 $t$ ，只得到 $y(x)$ 即可。
位矢的大小 $r$ ，速率 $v$ ，加速度的大小 $a$

例子：

? $\vec{r}=3t^2\vec{i}+3\sin(4t)\vec{j}$ ，求 $\vec{v}(t)$ , $v(t)$ , $a(t)$ , 以及何時加速度最大。

$\vec{v}=6t\vec{i}+12\cos 4t \vec{j}$

? $v=\sqrt{36t^2+144(\cos 4t)^2}?$

? $a\neq\frac{dv(t)}{dt}$ 對嗎？~~不對！反例：勻速率圓周運動。~~
- $a=|\frac{d\vec{v}(t)}{dt}|$
一段時間的路程 $\Delta s$ ，半徑的增量 $\Delta r$ ，位移 $\Delta \vec{r}$
- $\Delta s$ 的幾何意義：起點、終點間軌跡的長度
- $\Delta \vec{r}?$ 的幾何意義：起點指向終點的有向線段
- $\Delta r$ 的幾何意義：與原點間距離的增量
- $\Delta S \ge |\Delta \vec{r}|?$
  - 等號成立的條件：
    - 極限情況 $dS = |d\vec{r}|$
    - 單向直線運動
曲線運動的加速度 $\vec{a}$
- 勻速圓周運動的加速度
  - 向心加速度，或法向加速度，符號 $a_n$ 。作用是改變速度的方向。
- 直線運動的加速度
  - 切向加速度。符號 $a_t$ 。作用是改變速度的大小。
- 變速圓周運動的加速度
  - $\vec{a}=a_n \vec{e}_n + a_t \vec{e}_t=\frac{v^2}{R} \vec{e}_n + \frac{dv}{dt} \vec{e}_t?$
- 一般曲線運動的加速度表達式
  - 加速度的大小
  - 曲率半徑

表達題

質(zhì)點在Oxy 平面內(nèi)運動,其運動方程為 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．則在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 時間內(nèi)的平均速度為

解答： $\overline{\vec{v}}=\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(5)-\vec{r}(1)}{t_{2}-t_{1}}=\frac{12\vec{i}-24\vec{j}}{4}=3\vec{i}-6\vec{j}$

設(shè)質(zhì)點的運動學方程為 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆為常量) 則質(zhì)點的速度為

解答：記得 $\cos t$ 求導得 $-\sin t$ ，而 $\cos\omega t$ 求導得 $-\omega\sin t$ .

軌跡方程的求法，令 $x(t)=R\cos\omega t$ , $y(t)=R\sin\omega t$ ，平方相加，消元法消去 $t$ ，得到 $y$ 與 $x$ 的函數(shù)關(guān)系記為軌跡： $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ .

已知 $v=|\vec{v}|=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\omega R$ ，不隨時間變化，故為勻速圓周遠動。

運動學的一個核心問題是已知運動方程，求速度和加速度。質(zhì)點的運動方程為
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
則 $t$ 時刻的速度與速率

解答：直角坐標形式，知 $\vec{v}=30t\vec{i}-40t\vec{j}$ 。繼續(xù)求導即可。最后別忘了 $v$ 和 $\vec{v}$ 的差別，前者是速度的大小，后者是速度矢量。

質(zhì)點作曲線運動,在時刻 $t$ 質(zhì)點的位矢為 $\vec{r}$ ,速度為 $\vec{v}$ ,速率為 $v$ ， $t$ 至 $t+\Delta t$ 時間內(nèi)的位移為 $\Delta r$ ，路程為 $\Delta s$ ，位矢大小的變化量為 $\Delta r$
( 或稱 $\Delta|\vec{r}|$ ),平均速度為 $\overline{\vec{v}}$ ,平均速率為 $v$ ．根據(jù)上述情況,則必有

解答： $f(\theta)$

速度的表達式為 $\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}(t)}{dt}$ ，初學者可能誤認為對于任意時刻 $t_{0}$ 有 $\vec{v}(t_{0})=\frac{d\vec{r}(t_{0})}{dt}$ ，這是錯誤的。這只是一個記號，它的真實含義是任意時刻 $t_{0}$ ， $\vec{v}(t_{0})=\frac{\vec{r}(t_{0}+dt)-\vec{r}(t_{0})}{dt}$ ，實際運算中用求導法則計算。比如，已知質(zhì)點的運動方程為 $\vec{r}(t)=2t\vec{i}+(4-t^{2})\vec{j}$ ，則 $t=2$ 時刻位矢為 $\vec{r}(2)=4\vec{i}$ , 那么 $t=2$ 時刻的速度呢？ $\vec{v}=\frac{d(4\vec{i})}{dt}=0$ 嗎？遵循這一思路，請求出該質(zhì)點在 $t=2$ 時刻的加速度

解答： $\vec{a}=-2\vec{j}$

理解抽象符號是深入學習的必備條件之一。一個質(zhì)點，在 $t$ 時刻位矢為 $\vec{r}$ ,離開原點的距離為 $r$ (簡稱半徑，大小為 $r=|\vec{r}|$ )；在 $t'$ 時刻位矢為 $\vec{r}'$ ,離開原點的距離為 $r'$ ；在 $t$ 至 $t'$ 時間內(nèi)：走過的路程(軌跡的長度)為 $\Delta s$ , 位矢的增量(末態(tài)-初態(tài),簡稱位移)為 $\Delta\vec{r}=\vec{r}'-\vec{r}$ ，半徑的增量為 $\Delta r$ ( 末態(tài)-初態(tài)，大小為 $\text{Δ}r=r'-r$ )。設(shè)一個質(zhì)點以坐標原點為圓心、以1為半徑，做逆時針的圓周運動， $t$ 時刻在(1,0)位置， $t'$ 時刻第一次轉(zhuǎn)到(0,1)位置。則這短時間內(nèi)的 $\Delta s$ 、 $\text{Δ}\vec{r}$ 、 $\Delta r$ 分別為

解答： $\Delta s=\pi/2$ , $Δ\vec{r}=j-i$ , $\Delta r=0$

通常情況下，兩點之間直線長度(弦長)比曲線長度(弧長)要短。但對于無限短的曲線，弧長和弦長是相等的(畫圖思考)。則

解答：質(zhì)點在 $t$ 至( $t +\Delta t$ )時間內(nèi)沿曲線從P 點運動到P′點,各量關(guān)系如圖所示,其中路程 $\Delta s$ ＝PP′, 位移大小 $|\Delta r|=PP\prime$ ,而 $\Delta r=|\vec{r}|-|\vec{r}'|$ 表示質(zhì)點位矢大小的變化量,三個量的物理含義不同,在曲線運動中大小也不相等(注：在直線運動中有相等的可能)．但當 $\Delta t\rightarrow0$ 時,點P′無限趨近P點,則有 $|d\vec{r}|=ds$ ,但卻不等于 $dr$

質(zhì)點作曲線運動,在時刻 $t$ 質(zhì)點的位矢為 $\vec{r}$ ,速度為 $\vec{v}$ ,速率為 $v$ , $t$ 至( $t+\Delta t$ )時間內(nèi)的位移為 $\Delta r$ , 路程為 $\Delta s$ , 位矢大小的變化量為 $\Delta r$ ( 或稱 $\Delta|\vec{r}|$ ),平均速度為 $\overline{\vec{v}}$ ,平均速率為 $v$ ．根據(jù)上述情況,則必有

解答：由于 $|\Delta\vec{r}|\neq\Delta s$ ,故 $|\Delta\vec{r}|/\Delta t\neq\Delta s/\Delta t$ ,即 $|\overline{\vec{v}}|=\overline{v}$ ．由于 $|d\vec{r}|=ds$ ,故 $|d\vec{r}|/dt=ds/dt$ ,即 $|d\vec{r}/dt|=ds/dt$ ,亦即瞬時速度的大小等于瞬時速率。

一運動質(zhì)點在某瞬時的位矢為，對其速度的大小為
- (1) $\frac{dr}{dt}$ ；
- (2) $\frac{d|\vec{r}|}{dt}$ ；
- (3) $\frac{ds}{dt}$ ；
- (4) $\sqrt{(\frac{dx}{dt})^{2}+(\frac{dy}{dt})^{2}}$ .

上述判斷正確的是

解答： $\frac{dr}{dt}$ 表示質(zhì)點到坐標原點的距離(半徑)隨時間的變化率,叫徑向速率，它只是速度矢量在徑向的分量； $\frac{d|\vec{r}|}{dt}$ 和 $\frac{dr}{dt}$ 等價；在自然坐標系中速度大小可用 $\frac{ds}{dt}$ 計算，在 $x-o-y$ 直角坐標系中， $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d(x\vec{i}+y\vec{j})}{dt}$$=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}=v_{x}\vec{i}+v_{y}\vec{j}$ ，故 $v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}$ .

曲線運動中，加速度經(jīng)常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 進行分解： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$ 借助熟悉的例子來構(gòu)建其直觀物理圖像，有助于理解并記憶這些復雜的公式。在彎曲的軌道上勻速率行駛的火車，
(1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
(2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
在直線上加速跑向食堂的小伙伴，
(3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
(4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
變速圓周運動的質(zhì)點，
(5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
(6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 不就是高中學過的向心加速度嘛。
上述判斷正確的為

解答：(2)(3)(6)

質(zhì)點作曲線運動，對下列表述中，

(1) $dv/dt=a$ ；
(2) $dr/dt=v$ ；
(3) $ds/dt=v$ ；
(4) $|d\vec{v}/dt|=a_{t}$ ．

正確的是(　　)

解答： $\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}$$=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$ ，故而 $a=\sqrt{(\frac{dv}{dt})^{2}+(\frac{v^{2}}{R})^{2}}$ 。 $\frac{dv}{dt}$ 表示切向加速度 $a_{t}$ ，它表示速度大小隨時間的變化率，是加速度矢量沿速度方向的一個分量，起改變速度大小的作用； $\frac{dr}{dt}$ 在極坐標系中表示徑向速率，比如變速圓周運動中， $\frac{dr}{dt}$ 總等于零，但 $v\neq0$ ；(3)是自然坐標系中速率 $v$ 的計算公式； $|d\vec{v}/dt|$ 表示加速度的大小， $\frac{dv}{dt}$ 表示切向加速度的大小，在勻速率圓周運動中，前者總不為零而后者總為零，不應(yīng)該混淆。

一個質(zhì)點在做圓周運動時,則
- 切向加速度一定改變,法向加速度也改變
- 切向加速度可能不變,法向加速度一定改變
- 切向加速度可能不變,法向加速度不變
- 切向加速度一定改變,法向加速度不變

解答：加速度的切向分量 $a_{t}$ 起改變速度大小的作用,而法向分量 $a_{n}$ 起改變速度方向的作用．質(zhì)點作圓周運動時,由于速度方向不斷改變,相應(yīng)法向加速度的方向也在不斷改變,因而法向加速度是一定改變的．至于 $a_{t}$ 是否改變,則要視質(zhì)點的速率情況而定．質(zhì)點作勻速率圓周運動時, $a_{t}$ 恒為零；質(zhì)點作勻變速率圓周運動時, $a_{t}$ 為一不為零的恒量,當 $a_{t}$ 改變時,質(zhì)點則作一般的變速率圓周運動

物體作斜拋運動，初速度大小為 $v_{0}$ ，且速度方向與水平前方夾角為 $\theta$ ，則物體軌道最高點處的曲率半徑為( )。

解答：曲線運動中，法向加速度為 $a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}$ (其中 $\rho$ 是曲率半徑)，故 $\rho=\frac{v^{2}}{a_{n}}$ ，其中 $a_{n}$ 為“軌道最高點處”的法向加速度，應(yīng)為 $g$ (此時切向加速度為零)，速度 $v=v_{0}\cos\theta$ .

法向加速度和切向加速度的核心公式是需要記憶的： $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ 和 $a_{t}=\frac{dv}{dt}$ 。質(zhì)點沿半徑為 $R$ 的圓周運動，其角位移隨時間 $t$ 的變化規(guī)律是 $\theta=2+4t^{2}$ 。在 $t=1$ 時，它的法向加速度和切向加速度分別為()

解答：圓周運動中， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=R\omega^{2}$ , $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d(R\omega)}{dt}$$=R\frac{d\omega}{dt}$ . 關(guān)鍵是求出 $\omega$ . 已知: $\omega=\frac{d\theta}{dt}=8t$ .

質(zhì)點P在水平面內(nèi)沿一半徑為 $1$ 的圓軌道轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動的角速度與時間t的函數(shù)關(guān)系為 $\omega=kt$ (k為常量)。已知 $t=2$ 時，質(zhì)點P的速度值為 $4$ 。試求 $t=0$ 時，質(zhì)點P加速度的大小為()

解答：圓周運動中， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=R\omega^{2}=k^{2}t^{2}?$ , $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d(R\omega)}{dt}?$$=R\frac{d\omega}{dt}=k?$ . 加速度的大小為 $a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}=\sqrt{k^{4}t^{4}+k^{2}}?$ . 關(guān)鍵是求出 $k?$ . 由于 $v=R\omega=kt?$ ，知 $k=\frac{v}{t}=2?$ . 因此 $a=2?$

質(zhì)點在 $Oxy$ 平面內(nèi)運動，其運動方程為 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．則在 $t=1$ 時切向和法向加速度分別為()

解答：曲線運動中， $a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}$ (其中 $\rho$ 是曲率半徑，未知，所以無法直接求解 $a_{n}$ ), $a_{t}=\frac{dv}{dt}$ (可由 $\vec{r}$ 算出 $v(t)$ ，從而得到 $a_{t}$ ). 加速度的大小的公式有兩個 $a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{t}^{2}}$ ，或 $a=|\vec{a}|=|\frac{d\vec{v}}{dt}|$ 。本題中，由于 $\vec{r}$ 已知，我們可借助第二個公式算出 $a$ 。最后有 $a_{n}=\sqrt{a^{2}-a_{t}^{2}}$ 。具體地， $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{i}+t\ \vec{j}$ ， $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{j}$ . 于是， $a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d\sqrt{1+t^{2}}}{dt}$$=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}$$=\sqrt{2}/2$ . $a=|\vec{a}|=1$ . 于是 $a_{n}=\sqrt{a^{2}-a_{t}^{2}}$$=\sqrt{2}/2$ .