電磁學(xué)亂七八糟的符號(hào)(三)

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author:何偉寶

這里重點(diǎn)是針對(duì)各種入射反射折射,chapter5 電磁波的傳播

[TOC]

review

1.上兩張圖說明一下極化是怎么回事

極化波種類

line

2.行波與駐波
1.駐波

駐波圖

每一個(gè)點(diǎn)都在等相位震蕩

借了,平面電磁波,理想介質(zhì)to理想導(dǎo)體,垂直入射講了一下
?
2.行波(沒找到好一點(diǎn)的圖,湊合著看吧)

行波

每一個(gè)點(diǎn)都在等幅震蕩
?

平面電磁波,理想介質(zhì)to理想介質(zhì),垂直入射

這里借一個(gè)最普通的情況,說明基本概念:

反射系數(shù)R

$R=\frac {E^{-r}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta2+\eta1}$
定義為邊界上反射波電場(chǎng)分量與入射波電場(chǎng)分量之比

折射系數(shù)T

$T=\frac {E^{+t}_{x0}}{E^{+i}_{x0}}=\frac{2\eta_2}{\eta2+\eta1}$
定義為邊界上折射波電場(chǎng)分量與入射波電場(chǎng)分量之比
可以觀察到有:
$T-R=1$

合成波場(chǎng)量

看書的圖看書的圖看書的圖看書的圖:
$E_{1x}(z)= E^{+i}_{xo}(1-R)e^{-jk_{1}z}+2RE^{+i}_{x0}cosk_{1}z$

$H_{1y}(z)=\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}(1-R)e^{jk_{1}z}+2R\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_1}e^{-j\frac{\pi}{2}}sink_1z$
對(duì)于折射波:
$E_{2x}(z)=TE^{+i}_{x0}e^{-jk_2 z}$
$E_{2y}(z)=T\frac{E^{+i}_{x0}}{\eta_2}e^{-jk_2 z}$

平面電磁波,理想介質(zhì)to理想介質(zhì),斜入射

1.垂直極化波

1.垂直極化波:電場(chǎng)強(qiáng)度分量與入射角垂直的波稱為垂直極化波

斯涅爾反射定律

$\theta_i=\theta_r$

斯涅爾折射定律

$\frac {sin \theta_i}{sin \theta_t}=\frac{k_2}{k_1}=\frac{n_2}{n_1}$
其中

折射指數(shù),折射率

$n=c\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac c \omega k$

垂直極化波的反射系數(shù)和折射系數(shù)
$R_{\bot}=\frac{\eta_{2}cos\theta_{i}-{\eta_{1}cos\theta_{t}}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}}$
$T_{\bot}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{2}cos\theta_{i}+{\eta_{1}cos\theta_{t}}}$

對(duì)于非鐵磁性媒質(zhì), $\mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0}$ ,則有 $\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}}$ 和 $sin\theta_{t}=\sqrt{\frac{\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}}}$ 上式可改為

$R_{\bot}=\frac{cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$

$T_{\bot}=\frac{2cos\theta_{i}}{cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$

2.平行極化波

2.平行極化波:電場(chǎng)強(qiáng)度分量與入射角平行的波稱為平行極化波
平行極化波的發(fā)射系數(shù)和折射系數(shù):
$R_{//}=\frac{\eta_{1}cos\theta_{i}-{\eta_{2}cos\theta_{t}}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}}$
$T_{//}=\frac{2\eta_{2}cos\theta_{i}}{\eta_{1}cos\theta_{i}+{\eta_{2}cos\theta_{t}}}$

對(duì)于非鐵磁性媒介,上兩式可改寫為
$R_{//}=\frac{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}-\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$

$T_{//}=\frac{2\sqrt{{\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}}}cos\theta_{i}}{({\varepsilon_{2}/\varepsilon_{1}})cos\theta_{i}+\sqrt{\frac{\epsilon_{2}}{\epsilon_{1}}-sin^{2}\theta_{i}}}$

顯然,斜入射就是可以分解成垂直極化波和水平極化波而被介紹.

3.全反射

當(dāng) |R|=1時(shí),入射波全部反射走了:
顯然讓 $R_{\bot}$ 和 $R_{//}$ 都等于1時(shí)會(huì)有全反射:
$sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}} \tag {5,1}$
對(duì)于非鐵磁性媒質(zhì), $\mu_{1}\approx\mu_{2}\approx\mu_{0}$ ,有:
$sin \theta_i =\sqrt{\frac {\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}sin\theta_t$
顯然當(dāng) $\theta_t=\frac \pi 2$ 時(shí)全反射,但這個(gè)不是重點(diǎn),因?yàn)樽宰兞渴?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Ctheta_i" alt="\theta_i" mathimg="1">,所以這只是一個(gè)現(xiàn)象而已.
所以有:

臨界角 $\theta_c$

滿足1.1的 $\theta_i$ 記作 $\theta_c$ 有:
$\theta_c= arcsin \sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}}$
當(dāng) $\theta_i =\theta_c 時(shí)有:sin\theta_c=1 ,\theta_t =\frac \pi 2$

全內(nèi)反射

當(dāng)入射角大于臨界角之后,可以求出:
$sin\theta_{3t}=\sqrt{\frac {\varepsilon_1}{\varepsilon_2}}sin\theta_{3i}>sin\theta_t=1$
可以看出這個(gè)角用平面已經(jīng)沒辦法解析了,應(yīng)該放成復(fù)平面再用歐拉公式展開才能探看,但是所幸的是:
$cos\theta_{3t} =\sqrt{1-sin^2\theta_{3t}}=\pm j \sqrt{\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}sin^2\theta_{3i}-1}\\ \quad \quad=\pm j(\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2})^{\frac 12}\sqrt{sin^2\theta_{3i}-\varepsilon_2/\varepsilon_1}=\pm j a$
可以代入反射系數(shù)公式,還是可以得到 $|R_{\bot}|=|R_{//}|=1$ ,還是達(dá)到了全反射的條件
但是這個(gè)時(shí)候,可以代入折射系數(shù)可知, $T_{\bot}\neq 0 , T_{//}\neq 0$ ,此時(shí)隨便帶入一個(gè)方向的折射波方程得(以垂直為例):
$\vec E^t(\vec r)=\vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0 e^{-jk_2xsin\theta_{3t}}e^{-jk_2zcos\theta_{3t}}\\ \quad \vec a_y T_{\bot}E^{+i}_0e^{-az}e^{jk_2 xsin\theta_{3t}}$
可以看到,此時(shí)的TEM波已經(jīng)變成了
振幅往+z方向衰減,方向沿+x方向傳播的非均勻平面波,綜合反射折射來看,就可以說是很像光纖了

寄幾畫的圖

畫了個(gè)小圖,自己了解一下.
從圖都可以得出,反射和折射的表面波之間是存在光程差,也就存在著相移,考慮該波等相面:

求導(dǎo)得相速:

慢波&&表面波

$v_{px} = \frac{\omega}{k_2 sin\theta_{3t}}=\frac {v_p}{sin\theta_{3t}}<v_p$
所以稱該波為慢波,或者是表面波

建議看書P147-148

4.全折射

同理,入射波全部折射進(jìn)理想介質(zhì)2,但理論上我們只考慮 $R_{//}=0$ 具體原因可以看書!
整理得:

布儒斯特角&&極化角 $\theta_b$

$sin \theta_i =\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_2 +\varepsilon_1}$
當(dāng)存在 $\theta_i$ 滿足上式時(shí),記作布儒斯特角 $\theta_b$ :
$\theta_b=arcsin\sqrt{\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}}$
此時(shí)會(huì)有垂直極化分量剩余,也就是說,發(fā)生全折射的時(shí)候,會(huì)剩下垂直極化分量
所以這過程也會(huì)被稱為極化濾波.所以布儒斯特角也稱為極化角

平面電磁波,理想介質(zhì)to理想導(dǎo)體,垂直入射

由于良導(dǎo)體存在趨膚效應(yīng),所以研究折射是沒有意義的,所以這里只需要研究全反射條件.

由前文的垂直入射的反射系數(shù)和折射系數(shù)可以看到:
$R=-1 \quad \quad T=0$
也可以由理想導(dǎo)體的邊界中,電場(chǎng)強(qiáng)度切向連續(xù)得到,代入前面的垂直入射分析中得:
$\vec E_{1x}(z)=\vec E^{+i}_{x0}(e^{-jk_1 z}-e^{jk_1 z}) = -j2\vec E^{+i}_{x0}sink_1 z$
$\vec E_{1y}(z)= \frac {\vec E^{+i}_{x0}}{\eta_1} (e^{-jk_1 z}+e^{jk_1 z}) = \frac 2{\eta_1} \vec E^{+i}_{x0}cosk_1 z$

改寫成瞬時(shí)形式:
$E_{1x}(z,t)=Re[E_{1x}(z)e^{j\omega t}]=2E^{+i}_{x0} \quad \quad sink_1 z \quad \quad sin \omega t$
$H_{1y}(z,t)=Re[H_{1y}(z)e^{j\omega t}]=\frac 2 {\eta_1}E^{+i}_{x0}\quad \quad cosk_1 z\quad\quad cos\omega t$

由公式可以看出:

在固定一個(gè)x-y平面(z固定),波幅只會(huì)因?yàn)閠而改變,這個(gè)改變是通過改變相位而來的
在固定一個(gè)周期中(t固定), 相位不會(huì)因?yàn)閦的傳播而改變
在固定一個(gè)周期中(t固定), 波幅會(huì)因?yàn)閦的傳播而震蕩

直觀一點(diǎn)來說,只要你固定x-y平面,固定看一個(gè)周期,想著z往著圖里投射波形,就可以看見blog開頭的

純駐波

還可以在時(shí)均能流密度 $S_{av}$ 中:
$\vec S_{av}=\frac12 Re[\vec a_zE_{1x}(z)\vec H^*_{1y}(z)] \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad =\frac 12Re[-\vec a_z j\frac {4|E^{+i}_{x0}|^2}{\eta_1}sink_1zcosk_1z]=0$
可以看出駐波并不會(huì)傳輸能量,只是周期地把電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量交換了而已.

平面電磁波,理想介質(zhì)to理想導(dǎo)體,斜入射

跟之前是一樣的,斜入射分成垂直極化波和水平極化波來分析
也是只研究全反射

垂直極化入射

垂直極化入射情況下的合成波:
$\vec E_{1}(\vec r)=\vec E^{i}(\vec r)+\vec E^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\ = -\vec{a}_{y}j2E^{+i}_{0}\quad sin(k_{1}zcos\theta_{i})\quad e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}}$
$\vec H_{1}(\vec r)=\vec H^{I}(\vec r)+\vec H^{r}(\vec r)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=[-\vec{a_{x}}cos\theta_{i}cos(k_{1}zcos\theta_{i})-\vec{a_{z}}jsin\theta_{i}sin(k_{1}zcos_{\theta_{i}})]\frac{2E^{+i}_{0}}{\eta_{1}}e^{-jk_{1}xsin\theta_{i}}$
可以看出(統(tǒng)一看電場(chǎng),因?yàn)閹缀跛卸x都是用電場(chǎng)定義的):

x方向上的行波性

由 $e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-\omega t)}$ 給出,而且傳播相速為慢波:
$v_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}<v_p$

z方向上的駐波性

由 $sin(k_{1}zcos\theta_{i})$ 可以得到

振幅非均勻性

振幅往+z方向做周期性變化,方向沿+x方向等相面傳播的非均勻平面波

以上者三點(diǎn)都有點(diǎn)類似于全內(nèi)反射

橫電波性(TE波)

平行極化入射

$\vec E_1(\vec r)=-[\vec a_x jcos\theta_i sin(k_1 zcos\theta_i)+\vec a_z sin\theta_i cos(k_1 zcos\theta_i)] 2E_0^{+i}e^{-jk_1 xsin\theta_i}$
$\vec H_1(\vec r)=\vec a_y 2\frac{E_0^{+i}}{\eta_1}cos(k_1 z cos\theta_i)e^{-jk_1 xcos\theta_i}$
同上分析,依然有:

x方向上的行波性

行波因子 $e^{-j(k_{1}xsin\theta_{i}-{\omega}t)}$

由行波因子表示,而且傳播相速為慢波:

$v_{px}=\frac{\omega}{k_1 sin\theta_i}=\frac{v_p}{sin \theta_i}<v_p$

z方向上的駐波性

駐波因子 $^{sin}_{cos}(k_{1}zcos\theta_{i})$

由駐波因子表示

振幅非均勻性

振幅隨z變化的非均勻平面波

*橫磁波(TM波)

在x的傳播方向上電場(chǎng)分量不為0,磁場(chǎng)分量為0

結(jié)語

第五章算是寫完了,剩下的內(nèi)容課上也沒有介紹了,也開始從單純的抄寫公式到以公式入手理解意義了.
但是萬萬不足的是,blog上大多其實(shí)還是結(jié)論,真正要處理的波動(dòng)方程除了難一點(diǎn)的之外都沒有寫出,還需要大家好好看書!

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電磁學(xué)亂七八糟的符號(hào)(三)