OpenCV 筆記(10)：常用的邊緣檢測算子—— Laplace、LoG

在該系列的第八篇文章中，我們曾介紹過一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)對(duì)分析邊緣的結(jié)論：

  • 一階導(dǎo)數(shù)通常在圖像中產(chǎn)生較粗的邊緣；

  • 二階導(dǎo)數(shù)對(duì)精細(xì)細(xì)節(jié)，如細(xì)線、孤立點(diǎn)和噪聲有較強(qiáng)的響應(yīng)；

  • 二階導(dǎo)數(shù)在灰度斜坡和灰度臺(tái)階過渡處會(huì)產(chǎn)生雙邊緣響應(yīng)；

  • 二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可用于確定邊緣的過渡是從亮到暗還是從暗到亮。

一階導(dǎo)數(shù)算子(例如 Sobel 算子)通過對(duì)圖像求導(dǎo)來確定圖像的邊緣，數(shù)值絕對(duì)值較高的點(diǎn)對(duì)應(yīng)了圖像的邊緣。如果繼續(xù)求二階導(dǎo)，原先數(shù)值絕對(duì)值較高的點(diǎn)對(duì)應(yīng)了過零點(diǎn)。因此，也可以通過找到二階導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)來檢測邊緣。在某些情況下，找二階導(dǎo)數(shù)的過零點(diǎn)可能更容易。

一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).png

1. Laplace 算子

之前我們曾介紹過二階導(dǎo)數(shù)的 Laplace 算子可以通過差分近似來簡化，其公式為

\nabla^2f(x,y)= f(x+1,y)+f(x-1,y)+ f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y)

它的卷積核：

拉普拉斯核.png

這是它的 4 鄰域卷積核。

1.1 Laplace 算子的擴(kuò)展

Laplace 算子是具有旋轉(zhuǎn)不變性的各向同性的算子。

將 4 鄰域的 Laplace 算子旋轉(zhuǎn) 45° 后，與原算子相加，就可以得到 8 鄰域的算子。

擴(kuò)展的拉普拉斯算子.png

這是它的 8 鄰域卷積核。這個(gè)算子表示一個(gè)像素周圍一圈 8 個(gè)像素的和與中間像素 8 倍的差，作為拉普拉斯計(jì)算結(jié)果。

另外，還有兩個(gè)拉普拉斯卷積核，分別是對(duì) 4 鄰域卷積核和 8 鄰域卷積核取反。

擴(kuò)展的拉普拉斯算子2.png

1.2 圖像的模糊檢測

使用拉普拉斯變換對(duì)圖像進(jìn)行模糊檢測的步驟大致如下：

  • 對(duì)圖像進(jìn)行拉普拉斯變換，檢測水平和垂直邊緣

  • 然后對(duì)拉普拉斯變換后輸出的圖像求方差

  • 如果圖像足夠清晰，輸出圖像的方差會(huì)大于給定閾值

  • 如果圖像相對(duì)模糊，則拉普拉斯變換在圖像中并不能檢測到足夠的細(xì)節(jié)，邊緣就越少，從而導(dǎo)致輸出圖像的方差小于給定閾值

該過程需要選擇合適的閾值。

拉普拉斯算子能突出顯示圖像中包含快速梯度變化的區(qū)域，這些區(qū)域往往與邊緣有關(guān)。因此，如果一幅圖像的方差較高，說明圖像中存在廣泛的邊緣響應(yīng)，包括類邊和非類邊，這是一幅正常聚焦圖像的代表。但如果方差很低，那么表明圖像中的邊緣響應(yīng)很小，幾乎沒有邊緣存在。因此，通過比較方差與預(yù)設(shè)閾值的大小，可以判斷圖像是否模糊。

按照上面的步驟實(shí)現(xiàn)了一個(gè)模糊檢測的函數(shù)：

bool isImageBlurry(const char* inputFile, double threshold)
{
    Mat src = imread(inputFile);
    if (src.empty()) {
        printf("Image not loaded\n");
        return false;
    }

    Mat gray;
    cvtColor(src, gray, COLOR_BGR2GRAY);
    Mat dst, absDst;
    cv::Laplacian(gray, dst, CV_16S, 3);
    cv::convertScaleAbs(dst, absDst);

    Mat mean, stddev;
    double m = 0, sd = 0;
    meanStdDev(absDst, mean, stddev);
    m = mean.at<double>(0, 0);
    sd = stddev.at<double>(0, 0);
    double result = sd * sd;
    std::cout << "m: " << m << std::endl;
    std::cout << "StdDev: " << result << std::endl;
    return result <= threshold;
}

然后寫一個(gè)程序來判斷一下這張圖是否是模糊的

模糊的手機(jī)圖片.jpeg
int main(int argc,char *argv[])
{
    string fileName = ".../test.jpeg";
    bool result = isImageBlurry(fileName.c_str(),11.0);
    cout << "result =" << result <<endl;

    return 0;
}

輸出結(jié)果：

m: 2.5213
StdDev: 6.31374
result = 1

說明是模糊的圖片。

Laplace 算子對(duì)噪聲敏感，通常不適用于存在噪聲的圖像。

2. LoG 算子

LoG(Laplacian of Gaussian)邊緣檢測算子是 David Courtnay Marr 和 Ellen Hildreth 在 1980 年共同提出的，也稱為 Marr-Hildreth 算子，它根據(jù)圖像的信噪比來求檢測邊緣的最優(yōu)濾波器。該算法先對(duì)圖像進(jìn)行高斯平滑處理，然后再與 Laplacian 算子進(jìn)行卷積。稍后來解釋為何是這樣的。

先來回顧一下二維高斯函數(shù)的公式：

G(x,y) = \frac{1}{2\pi\delta^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}

高斯函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，在很多算子中都會(huì)用到。例如一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在 Canny 算子，二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在 LoG 算子等等。

簡單推導(dǎo)一下它的一階導(dǎo)數(shù)：

\frac{\partial G}{\partial x}=\frac{1}{2\pi\delta^2}\frac{\partial e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}}{\partial x} \\=\frac{1}{2\pi\delta^2}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}*(-\frac{2x}{2\delta^2}) \\=(-\frac{1}{2\pi\delta^4})xe^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}

同理：

\frac{\partial G}{\partial y} = (-\frac{1}{2\pi\delta^4})ye^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}

還有推導(dǎo)一下它的二階導(dǎo)數(shù)：

\frac{\partial^2 G}{\partial x^2}=\frac{\partial (-\frac{1}{2\pi\delta^4})xe^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}}{\partial x}=(-\frac{1}{2\pi\delta^4})\frac{\partial xe^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}}{\partial x} \\=(-\frac{1}{2\pi\delta^4})(1*e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}} - xe^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}*\frac{2x}{2\delta^2}) \\=(-\frac{1}{2\pi\delta^4})(1-\frac{x^2}{\delta^2})e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}

同理：

\frac{\partial^2 G}{\partial y^2}= (-\frac{1}{2\pi\delta^4})(1-\frac{y^2}{\delta^2})e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}

將高斯函數(shù)代入拉普拉斯算子，可得 LoG 算子：

\nabla^2G(x,y)= \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} \\=(-\frac{1}{2\pi\delta^4})(1-\frac{x^2}{\delta^2})e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}} + (-\frac{1}{2\pi\delta^4})(1-\frac{y^2}{\delta^2})e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}} \\=\frac{x^2+y^2-2\delta^2}{2\pi\delta^6}e^{-\frac{x^2+y^2}{2\delta^2}}

Marr-Hildreth 算法如下：

  1. 首先讓 LoG 核與一幅輸入圖像卷積：

g(x,y) = [\nabla^2G(x,y)]\bigstar f(x,y)

  1. 尋找 g(x,y) 的過零點(diǎn)來確定 f(x,y) 的邊緣位置。因?yàn)槔绽棺儞Q和卷積都是線性運(yùn)算，因此上式可以改成

g(x,y) = \nabla^2[G(x,y)\bigstar f(x,y)]

其中，f(x,y) 是輸入圖像，g(x,y) 是輸出圖像。

這樣正好解釋了之前說的，該算法先對(duì)圖像進(jìn)行高斯平滑處理，然后再與 Laplacian 算子進(jìn)行卷積。因?yàn)橄仁褂酶咚篂V波器對(duì)圖像進(jìn)行平滑處理，可以減少噪聲和細(xì)節(jié)，然后使用拉普拉斯算子對(duì)濾波后的圖像進(jìn)行邊緣檢測。

它的優(yōu)點(diǎn)是可以有效去除噪聲，同時(shí)保留圖像中的真實(shí)邊緣。相比 Laplace 算子，LoG 算子具有更好的邊緣定位能力和抗噪聲。但是它也存在一些缺點(diǎn)，計(jì)算量相對(duì)較大。

下圖是負(fù) LoG 算子的三維圖像，看上去很像“墨西哥草帽”。所以，在業(yè)界也被稱為墨西哥草帽小波(Mexican hat wavelet)。

負(fù) LoG 算子的三維圖像.png
Mexican Hat.jpg

負(fù) LoG 算子可用 5*5 的模版近似表示

LoG卷積核.png

下面用高斯模糊和拉普拉斯變換來實(shí)現(xiàn) LoG ：

int main(int argc,char *argv[])
{
    Mat src = imread(".../street.jpg");
    imshow("src",src);

    Mat dst, gray, edge;
    cv::GaussianBlur(src, dst, cv::Size(3, 3), 0 ,0); // 高斯模糊 去除噪聲
    cv::cvtColor(dst, gray, cv::COLOR_BGR2GRAY); // 灰度化
    cv::Laplacian(gray, edge, CV_16S, 3); // 使用拉普拉斯算子提取邊緣
    cv::convertScaleAbs(edge, edge);

    imshow("LoG", edge);

    waitKey(0);
    return 0;
}
LoG邊緣檢測.png

3. 總結(jié)

本文介紹了 Laplace 算子、LoG 算子，它們都是二階導(dǎo)數(shù)的邊緣算子。

特別是 LoG 算子在 Laplace 算子的基礎(chǔ)上引入了高斯濾波，可以在一定程度上克服噪聲的影響。但它仍舊有一定的局限性，不過這種思想的引入對(duì)后續(xù)圖像特征研究起到了積極作用，被很多后續(xù)的算法所采納。

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