研究生最后的一年多一直在研究的就是Finsler幾何及其上的物理。
然后就一直感覺這貨似乎很不直覺。。。
最讓人感覺反常的，就是相比黎曼幾何，芬斯勒幾何中的內積不是定義在切叢上的，而是定義在節(jié)叢上的，這個很不自然。
所以，就一直在考慮怎么從一種完全不同的角度來搞這個問題。
這就是一份相關的記錄。
假定我們已經(jīng)有了微分結構，但還沒有度量結構。
那么此時我們可以獲得什么呢？
協(xié)變矢量Vμ與逆變矢量Aμ肯定是可以有的，所以我們可以獲得各種逆變協(xié)變以及混合張量。我們也依然有協(xié)變基矢和逆變基矢的對偶關系niμnjμ=δij。
由于協(xié)變矢量與逆變矢量的對偶性，我們可以認為它們不過是同一個東西的兩種不同表述，所以不妨就用“矢量”來代替。
矢量在切空間中的表示就是協(xié)變矢量，而在余切空間中的表示就是逆變矢量。
在只有微分結構為沒有度量結構的時候，我們還可以定義一種“場”，便是在每一點上都可以將TM(m, n)中的元素映射到TM(p, q)中，即可以將一個m階協(xié)變n階逆變的張量映射到一個p階協(xié)變q階逆變的張量，或者采用之前的對偶之后的觀點來說，便是將一個m+n階張量映射為一個p+q維張量。
在坐標變換下，上述內容都可以具有明確的變換規(guī)則而不會引起歧義。
但，比較有趣的是如果是非坐標變換，比如對已一般的映射F: TM(1)→TM(1)，似乎就很難推廣到任意的TM(m, n)→TM(p, q)上，除非映射是線性映射，那么可以在操作意義上找到合理的外推。
下面，在這樣的空間上引入度量結構，且不要求該度量是黎曼的，從而可以是芬斯勒度量。
度量和內積的關系是非常有意思的。
可以說，內積包含了度量，因為矢量Vμ與自身的內積就是它的模長的平方，這是內積與度量的契合點：〈Vμ, Vμ〉=|Vμ|2。
在傳統(tǒng)的Finsler幾何中，從度量到內積的獲取方法是這樣的：
對于黎曼度量，上市左側的度規(guī)張量只是位置xμ的函數(shù)，從而和矢量yμ無關，因此流形切空間中矢量的內積只和切空間所在位置的度規(guī)張量相關，也就是說內積是定義在切叢上的。
但在Finsler幾何中，左側的度規(guī)張量不但和位置xμ相關，還與矢量yμ相關，從而現(xiàn)在矢量之間的內積不但和參與內積的兩個矢量以及切空間所在位置相關，還與某個第三方的矢量相關，從而內積是定義在其節(jié)叢上的，而非切叢。
通過簡單的推演我們可以知道，如果要保證傳統(tǒng)內積的定義，那么只能將內積放到節(jié)叢上，從而此問題無法避免。
但，內積的定義本身是從經(jīng)驗中得來的，而原本的經(jīng)驗中定義在切叢還是節(jié)叢上并沒有明確的說明，雖然經(jīng)驗中都是定義在切叢而非節(jié)叢上的，所以我們可以適當?shù)胤艞壞承┘榷ń?jīng)驗，特別是沒有寫成文的經(jīng)驗，來構造一個定義在節(jié)叢上的內積。
可，反過來說，我們也可以放棄一些既定的成文經(jīng)驗，從而選擇另一條路。
這么一來，問題就很有趣了——假定內積不是對稱的，會如何？
從純幾何直觀來說，內積可以被表達為這么一個東西：
矢量V1μ在矢量V2μ方向上的投影長度與V2μ長度的積，就是V1μ和V2μ的內積。
采用這個幾何直觀的定義，在黎曼幾何中，我們容易證明V1μ到V2μ的內積和V2μ到V1μ的內積是相同的，從而內積是對稱的。
但，在Finsler幾何下，這種對稱性就被打破了：
在這個定義中，“投影”被定義為從V2μ的端點到V1μ上某一點的距離最短，則該點就是V2μ到V1μ的投影位置。值得注意的是，對于最一般化的Finsler流形，上述的方向如果反過來的話，將給出截然不同的定義結果，因為在最一般化的Finsler度量中，并不要求如下等式的成立：
當然，我們還可以選擇將上述定義做一個“代數(shù)化”，考慮一個無窮小變化，從而V1μ變化到V2μ=V1μ+dVμ，那么此時上述內積的定義在無窮小范圍內可以被表達為更加簡潔的形式：
在Riemann幾何中，上述兩種形式的定義是等價的。
如上定義后，我們自然就獲得了從V1μ到V2μ的內積的定義，且這樣定義的內積雖然是非對稱的，但卻符合幾何直觀——雖然幾何直觀這個要求在真正的幾何學看來是一個無稽之談，但我個人認為比將內積從切叢搬到節(jié)叢要靠譜。
現(xiàn)在內積為一個TM(1)×TM(1)→TM(0)的映射（并非從TM(2)→TM(0)的映射），并記為〈V1μ, V2μ〉。這樣的內積不滿足對稱性，而且一般也不滿足雙線性，因為它是高度方向依賴的——這也是Finsler幾何和Riemann幾何最大的區(qū)別，Riemann幾何從可以在局部通過坐標變換來變成Minkowski幾何，后者是方向無關的。但非Riemann的Finsler幾何無論如何都不可能通過坐標變換變成Minkowski幾何，從而也就必然是方向依賴的了——在傳統(tǒng)Finsler微分流形中，這種方向依賴性體現(xiàn)在內積被定義在節(jié)叢上，從而我們始終都需要一個第三方矢量來作為“依賴方向”，而現(xiàn)在這種方向依賴性體現(xiàn)在內積算符的非對稱與非雙線性上。
在此基礎上，我們自然可以在余切叢上也定義內積，只要通過協(xié)變矢量與逆變矢量的對偶性即可。
可是由于內積本身強烈依賴于矢量，從而對于張量來說就不存在內積的合理外推。
事實上，在Riemann幾何中，內積原本是定義在TM(1)×TM(1)上的，但由于其將內積外推到了度規(guī)張量，后者的意義遠較“內積”本身寬泛與豐富，從而使得TM(m)→TM(m-2)的映射成為可能。
因此，度規(guī)本身是一個比內積具有更豐富內涵的幾何實體。
而現(xiàn)在，我們所有的不過是一個二目算符〈,〉: TM(1)×TM(1)→TM(0)，從而并不能做如此簡單的外推，因為這個算符既然不滿足線性要求，那就不能通過簡單的空間直積來獲得推廣。
為此，對于張量的“縮并”（原意是TM(m, n)指定兩個指標縮并以獲得TM(m-1, n-1)，這里給予了拓展）必須采用和內積不同的定義方式，并保證在回到Riemann幾何后可以退化到Riemann幾何的結果。
對這樣的“縮并”目前個人認為比較合適的是通過對指標球的積分來獲得，只不過對于積分體元來說，似乎還沒有給出一個較好的定義。
很顯然，在繼內積失去對稱與雙線性這兩個重要特性后，度規(guī)張量也失去了定義，而縮并也就與內積分道揚鑣了。這里充滿了各種陷阱，每一個都很有可能是的這種內積的定義方式失效，從而只能回到將內積定義在節(jié)叢從而繼續(xù)保持對稱性與雙線性的優(yōu)點但同時不得不引入第三方矢量的缺點，這個Finsler微分流形的老路上來。
有了內積后，我們自然要問這么一個問題：現(xiàn)在的聯(lián)絡是什么？
所謂聯(lián)絡，是將某點切空間中的矢量輸運到鄰點切空間中的一個映射，從而可以被這么標記：
我們可以進一步認為聯(lián)絡對切空間中的矢量來說是線性的，從而就有：
在如何確定聯(lián)絡的具體形式方面，Riemann幾何采用的適配條件是對度規(guī)張量的協(xié)變微分為零?？晌覀儸F(xiàn)在沒有度規(guī)張量，從而只能采用另一種定義方式。
另一方面，在傳統(tǒng)的Finsler微分幾何中，我們可以注意到在很大一類Finsler流形上，連接兩點的自平行曲線（即通常所說的“直線”）和連接兩點的最短曲線很可能不是同一條直線，也就是說在Finsler流形上一般不存在“連接兩點最短的是直線”這樣的幾何直觀與幾何經(jīng)驗。可如果我們要求這點繼續(xù)保持，會怎么樣呢？
要求這點繼續(xù)保持，就等于是說要求自平行曲線必須是極值曲線，即下面兩個方程必須同時成立：
這樣，引入輔助0階齊次對稱張量
以及度量F是一階齊次的，我們可以給出聯(lián)絡：
進一步，利用預設聯(lián)絡對V來說是線性的，引入上述輔助張量的逆：
以及輔助-1階齊次張量：
我們可以有：
如果進一步考慮到這里矢量Vμ作為方向存在從而不應該顯含其對坐標的微分，那么上面的結果可以利用Cμνλ的-1階齊次的特性而得到結果：
可見，定義依賴于輸運方向的線性的聯(lián)絡函數(shù)還是可以成立的。
這里，聯(lián)絡的第一部分和傳統(tǒng)Riemann幾何上的克氏符是相同的，而第二部分中的-1階齊次張量在Riemann幾何中恒為零，從而是Finsler幾何上所特有的部分——這點在傳統(tǒng)的Finsler幾何中也是如此。
更有趣的是，由于-1階齊次函數(shù)的特性，我們可以知道這第二部分其實可以乘上一個任意的參數(shù)n而不改變結果，因此現(xiàn)在聯(lián)絡事實上可以寫為：
這里的第二部分在形式上很容易讓人想起Riemann幾何中的擾率，但本質上這兩者卻是很不相同的，我們事實上還可以引入一個獨立的反對稱張量Tμνλ與Vμ的積TμνλVλ來作為擾率存在而不影響結果。
由于聯(lián)絡現(xiàn)在依賴于方向，從而聯(lián)絡對于輸運方向一般是非線性。但對于輸運的矢量卻是線性的，從而這樣的聯(lián)絡可以對各種張量定義（協(xié)變張量的協(xié)變微分這里已經(jīng)給出，而逆變張量的協(xié)變微分則可以通過對偶性得到）。而且，也由于聯(lián)絡對輸運方向是非線性的，從而現(xiàn)在天然地就會出現(xiàn)擾率（而無需引入上述提及的反對稱擾率張量）：
這里后面的含有聯(lián)絡的部分變給出了擾率算符：
顯然，現(xiàn)在擾率的出現(xiàn)是由于度量的方向依賴性而自然引入的，并不需要如Riemann幾何中那樣額外地給出與度規(guī)無關的反對稱部分作為擾率。
進一步我們可以定義Riemann曲率張量：
進而有：
可以看到，現(xiàn)在原本是張量的擾率和曲率，現(xiàn)在都成了張量性算符，即一旦給出方向，便可以給出由這兩個方向所確定的一個矢量或者張量。
如果我們有了縮并算子，那么就可以利用Riemann曲率算符給出Ricci曲率算符Rμ(Aμ)，接著再利用縮并算子來給出Ricci曲率標量。
從形式上來說，現(xiàn)在線性部分表示切叢纖維之間的映射，而作為函數(shù)參數(shù)的兩個方向則完全是流形上的，從而將纖維和底流形在形式上加以了區(qū)分。
相比傳統(tǒng)Finsler微分幾何，我們發(fā)現(xiàn)很多依賴于第三方矢量而定義的曲率張量都消失了，比如Flag曲率等等。
但也不能說什么收獲都沒有，畢竟現(xiàn)在所有的幾何都定義在切叢上，從而現(xiàn)在如果做物理的話，意義也就更明確了——我們在傳統(tǒng)Finsler微分幾何中并不確定這第三方矢量的物理意義是什么，只能給出各種假定。
嗯，大致就整理成這樣了吧。
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