第二章抓住特征研究整除
掌握分類(lèi)熟練運(yùn)用
這一章主要研究在整除的情況下，研究能被2、3、5整除數(shù)的特征；研究約數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、互質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)、公約數(shù)、公倍數(shù)、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念和性質(zhì)；熟練地應(yīng)用它們解題的技能和技巧。
第一節(jié)抓住整除概念弄清約數(shù)倍數(shù)
研究整除特征認(rèn)識(shí)奇數(shù)偶數(shù)
一、什么叫整除？
整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0),除的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除或者說(shuō)成b能整除a。如：
18÷6＝3，就是18能被6整除，或者說(shuō)成6能整除18.
掌握以下四點(diǎn)：
1、被除數(shù)和除數(shù)（0除外）都是整數(shù)；
2、所得的商正好是整數(shù)
3、沒(méi)有余數(shù)，即余數(shù)為0；
4、弄清整除與除的盡的區(qū)別；
二、什么叫倍數(shù)？什么叫約數(shù)？
如果說(shuō)a能被b（b≠0）整除，a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)（或a的因素）。
如：15÷3＝5，15是3的倍數(shù)， 3是15的約數(shù)
掌握以下三點(diǎn)：
1、是在整除的情況下，研究倍數(shù)和約數(shù)的概念；
2、倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的，不是單獨(dú)存在的；
3、在研究倍數(shù)和約數(shù)時(shí)，一般指自然數(shù)，不包括0.
三..數(shù)的整除性質(zhì)
性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么它們的 和與差 也能被c整除。
即：如果a能被c整除，b能被c整除，那么（a±b）能被c整除。
例如：如果10÷2=5，6÷2=3，那么（10＋6）能被2整除；
性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a.即：如果bc能被a整除，那么b能被a整除，c也能被a整除；
性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，且b和c互質(zhì)，那么b與c的積 能被a整除；
即：如果a能被b整除，a能被c整除，且b.c互質(zhì)，那么a能被bc整除。
例如：如28÷2=14，28÷7=4，那么28能被（2×7）整除。
性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c÷b，b÷a，那么c÷a。
例如：如果9÷3=3，27÷9=3，那么27÷3=9。
四.數(shù)的整除特征
（1）能被2整除 的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).
如：10 ，52, 474， 26， 78……都能被2整除。
“特征”包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（包括0）的整數(shù)，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括0）.下面“特征”含義相似。
（2）、什么叫偶數(shù)？什么叫奇數(shù)？
能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫奇數(shù)。
如：2，4，6，8，10，32,44,106,138…….都是偶數(shù)。
1, 3, 5 7, 9，11,23,65,107,429……都是奇數(shù)。
明確以下三點(diǎn)：
①換句話說(shuō)，個(gè)位上是0.2.4.6.8的數(shù)叫偶數(shù)；偶數(shù)能被2整除；
②換句話說(shuō)，個(gè)位上是1.3.5.7.9的數(shù)叫奇數(shù)，奇數(shù)不能被整除；
③因?yàn)?能被2整除，所以0也是偶數(shù)；
（3）能被5整除 的數(shù)的特征：個(gè)位是0或5。
如：10.、20、35、85、690…….都能被5整除。
（4）能被3（或9）整除 的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。
153因?yàn)?+5+3=9,9能被3整除，所以153也能被3整除。
279因?yàn)?+7+9=18,18能被9整除，所以279也能被9整除
1248621各位上的數(shù)字之和是
1+2+4+8+6+2+1=24， 24÷3=8，那么1248621能被3整除；
又如，372681各位上的數(shù)字之和是
3+7+2+6+8+1=27,27÷9=3，那么372681能被9整除；
（5）能被4（或25）整除 的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末兩位數(shù)能被4（或25）整除時(shí)，這個(gè)數(shù)便能被4或25整除
例如：1864=1800＋64，因?yàn)?00是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù).又因?yàn)?｜64，所以1864能被4整除.但因?yàn)?564，所以1864不能被25整除.
173824的末兩位為24,24÷4=6；則173824能被4整除；
43586775的末兩位是75,75÷25=3，則43586775能被25整除；
（6）能被8（或125）整除 的數(shù)的特征：一個(gè)數(shù)，當(dāng)今當(dāng)它的末三位數(shù)字為0，或者末三位數(shù)能被8（或125）整除時(shí)，這個(gè)數(shù)字能被8或125整除。
例如：32178000的末三位數(shù)字為0，這個(gè)數(shù)字能被8或125整除；
3569824的末三位數(shù)位824,824÷8=103，則，3569824能被8整除；
214813750的末三位數(shù)為750,750÷125=6，則，214813750能被125整除；
29375＝29000＋375，因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25｜375，所以29375能被125整除.但因?yàn)?375，所以829375。
（7）能被7.11.13整除 的數(shù)的特征：
一個(gè)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的末三位數(shù)字所表示的數(shù)，與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)的差（大減小的差）能被7.11.13整除時(shí)，這個(gè)數(shù)就能被7.11.13整除。
例如：75523的末三位為523，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)為75,523-75=448,448÷7=64，即448能被7整除，則，75523能被7整除；
又如，1095874的末三位為874，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)為1095,1095-874=221,221÷13=17，即221能被13整除，則，1095874能被13整除；
再如：，868967的末三位為967，末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)為868,967-868=99,99÷11=9，即99能被11整除，則，868967能被11整除；
此外，能被11整除的數(shù)的特征，還可以這樣敘述：
該數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減小）是11的倍數(shù)。
例1：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？
解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8＋6＋4＋2＝20.因?yàn)?5—20＝5，又因?yàn)?不能被11整除，所以123456789不能被11整除。
例2：判斷13574是否是11的倍數(shù)？
解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以0÷11=0.因此13574是11的倍數(shù)。
（8）能被7（11或13）整除 的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減小）能被7（11或13）整除。
例1：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？
解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù).因?yàn)?059-282＝777，又777÷7=111，所以1059282能被7整除.因此1059282是7的倍數(shù)。
例2：判斷3546725能否被13整除？
解：
把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?21—2＝819，又819÷13=63，所以2821÷13=217，進(jìn)而354672能被13整除
第二節(jié)認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)掌握分解質(zhì)因數(shù)
一、認(rèn)識(shí)質(zhì)數(shù)與合數(shù)、
1、寫(xiě)出下面每個(gè)數(shù)的所有的約數(shù)
1的約數(shù)有： 1 ； 7的約數(shù)有：1,7；
2的約數(shù)有： 1,2 ； 8的約數(shù)有：1,2,4,8；
3的約數(shù)有： 1,3 ； 9的約數(shù)有：1,3,9 ；
4的約數(shù)有： 1,2,4； 10的約數(shù)有：1,2,5,10；
5的約數(shù)有： 1,5 ； 11的約數(shù)有：1,11 ；
6的約數(shù)有： 1,2,3,6； 12的約數(shù)有：1,2,3,4,6，12；
2、觀察上面各數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)：
1個(gè)約數(shù)的數(shù)有 ：1
有2個(gè)約數(shù)的數(shù)有 ：2，3，5，7，11
有2個(gè)以上約數(shù)的數(shù)有：4，6，8，9，10，12
3、什么叫質(zhì)數(shù)？
一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。
如：2，3，5，7，11……都是質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的
4、什么叫合數(shù)？
一個(gè)數(shù)，除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫合數(shù)。
如：4，6，8，9，10……都是合數(shù)；
①合數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的；
②1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；
二、分解質(zhì)因數(shù)
1、什么叫質(zhì)因數(shù)？
每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因素，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。
如：60=2×2×3×5，其中的2,2,3,和5叫做60的質(zhì)因數(shù)。
2、什么叫做分解質(zhì)因數(shù)？
把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)
①把一個(gè)合數(shù)進(jìn)行分解 ； ②每個(gè)因素一定是質(zhì)數(shù)；
3、怎樣分解質(zhì)因數(shù)？
①把一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，先用一個(gè)能夠整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除；
②通常按2，3，5，7，11，13,19……的順序去試除；
③得出的商如果是質(zhì)數(shù)，就把除數(shù)和商寫(xiě)成相乘的形式；
④如果得出的商是合數(shù)，繼續(xù)用質(zhì)數(shù)除下去，直到得出的商是質(zhì)數(shù)為止；
⑤最后，把所有的除數(shù)和商寫(xiě)成連乘的形式。
第三節(jié)公約數(shù)和最大公約數(shù)
一、認(rèn)識(shí)公約數(shù)和最大公約數(shù)。
1、8和12各有哪些約數(shù)？它們的公約數(shù)是哪幾個(gè)？最大的公約數(shù)是多少？
①8的約數(shù)有1,2,4,8 ； ②12的約數(shù)有1,2,3,4,6,12；
③它們的公約數(shù)有1,2,4； ④它們的最大公約數(shù)是：4；
2、什么叫公約數(shù)？什么叫最大公約數(shù)？
幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)
3、什么叫互質(zhì)數(shù)？
公約數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。
如：8和9,7和11……叫做互質(zhì)數(shù)
二、求最大公約數(shù)
1、求最大公約數(shù)的方法
求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，一般先用這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得到的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)。
2∣12 2012和20的最大公約數(shù)是2×2=4
2∣ 6 10①一般先用2,3,5,7,11……去試除；
3 5②在除的過(guò)程中，有時(shí)也可以用兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除；
③除到所得到的商是互質(zhì)數(shù)為止；
④最后，把所有的除數(shù)連乘起來(lái)的積，就是兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)
2、如果小數(shù)是大數(shù)的約數(shù)，那么小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
如：4合8的最大公約數(shù)就是4.
3、如果兩個(gè)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1
如：7和19的最大公約數(shù)就是1.
4、用“輾轉(zhuǎn)相除”法，求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)
①用小數(shù)去除大數(shù)； ②再用余數(shù)去除較小的數(shù)；
③這樣輾轉(zhuǎn)相除，直到余數(shù)為0為止；
④最后得除數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)；
如：求54和21的最大公約數(shù)
∣54 21∣
2 ∣42 12∣ 1
∣12 9∣
1 ∣9 9 ∣ 3
∣3 0 ∣
所以54和21的最大公約數(shù)是3
第四節(jié)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)
一、認(rèn)識(shí)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)
1、分別順次寫(xiě)出2和3的幾個(gè)公倍數(shù)，它的公倍數(shù)是幾個(gè)？其中最小的一個(gè)是多少？
①2的倍數(shù)有：2,4,6,8,10,12,14,16,18……
②3的倍數(shù)有：3,6,9,12,18……
③2和3的公倍數(shù)有：6,12,18……
④其中最小的一個(gè)是6
2、什么叫公倍數(shù)？什么叫最小公倍數(shù)？
幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)叫做最小公倍數(shù)；①幾個(gè)數(shù)只有一個(gè)最小的公倍數(shù) ②幾個(gè)數(shù)沒(méi)有最大的公倍數(shù)
二、求最小公倍數(shù)
1、求最小公倍數(shù)的方法
求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，先用這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除（一般從最小的開(kāi)始），一只除到所得到的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘起來(lái)；
如：24和72的最小公倍數(shù)是多少 ？
2∣ 24 72
2∣12 36
2∣6 18
2∣3 9
3∣1 3
24和72的最小公倍數(shù)是2×2×2×3×1×3=72
①先用這兩個(gè)數(shù)公有質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除；
②一般采用2,3,5,7……去試除
③在除的過(guò)程中，有時(shí)也可以用兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)去除；
④必須出的所得到的商是互質(zhì)數(shù)為止；
⑤最后，把除數(shù)和所得的商連乘起來(lái)的積，就是所求的最小公倍數(shù)。
2、求三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)
如：求4、6和8的最小公倍數(shù)是多少？
2∣4 6 8
2∣ 2 3 4
1 3 2
4、6和8的最小公倍數(shù)是2×2×1×3×2=24
①先用三個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)去除；
②再用兩個(gè)公有的質(zhì)因數(shù)去除；
③在除的過(guò)程中，有時(shí)也可以用它們的公約數(shù)去除；
④必須出的所得到的商是互質(zhì)數(shù)為止；
⑤最后，把除數(shù)和所得的商連乘起來(lái)的積，就是三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)；
3、如果大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，那么大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
如：12和6,12就是它們的最小公倍數(shù)，
4、如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)
如：7和9的最小公倍數(shù)為7×9=63
三、求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的區(qū)別：
1、相同點(diǎn)：都是用短除法的形式分解質(zhì)因數(shù)，直到商是互質(zhì)數(shù)為止；
2、求最大公約數(shù)只把除數(shù)連乘起來(lái)
3、求最小公倍數(shù)把除數(shù)和最后的商連乘起來(lái)；
