寫在前面的廢話

這部分內容，是半年前就有詢問的知識點，沒想到我的拖延癥如此嚴重，硬生生的讓我把這篇稿子從19年拖到了20年。

但是有失必有得，雖然拖延，但是我對于這兩個知識點的分辨也有了更清晰的認識，希望也能幫助大家更清楚的辨析。

太長不看系列

Probabiity（概率）：給定某一參數(shù)值，求某一結果的可能性
Likelihood（似然）：給定某一結果，求某一參數(shù)值的可能性

廢話超多系列

概率（probability)和似然（likelihood)，都是指可能性，都可以被稱為概率，但在統(tǒng)計應用中有所區(qū)別，不加以區(qū)分的話，對于之后的學習認知都會有很大的阻礙。

為了更好的幫助自己和大家理解這二者之間的區(qū)別，希望通過三種方法去闡釋：

1. 圖示
2. 類比
3. 舉例

方法1：圖示

假設現(xiàn)在有一組小鼠體重數(shù)據(jù)。該數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，該分布的均值是32克，標準差為2.5。該組數(shù)據(jù)的最小值是24g，最大值是40g。

那么概率是什么呢？當我們隨機選取一只小鼠，它的體重在32g-34g之間的概率是落在該區(qū)間下，概率分布曲線下的面積。具體如下圖所示：

圖中，箭頭所指的紅色區(qū)域的面積，就是任選一小鼠，體重在32g-34g之間的概率。

該區(qū)域的面積為0.29，也就是說概率為29%。從數(shù)學上來講，就是Pr(32g<體重<34g|μ=32 & σ=2.5)=0.29

那如果隨機選取一只小鼠，體重超過34g的概率是多少呢？從數(shù)學上來講，就是Pr(體重>34g | μ=32 & σ=2.5) = 0.21。用圖表示就是下面紅色部分的面積：

講完了概率，那么什么是似然呢？假設我們已經知道了一只小鼠的體重是34g。如圖所示：

其中，紅色的點代表的是小鼠的體重。而其likelihood則是其對應的曲線上的點，即：紅色的叉，對應的值為0.12。用數(shù)學公式表示就是L(μ=32 & σ=2.5|體重34g) = 0.12。也就是說，若小鼠體重為34g，該參數(shù)的可能是0.12

如果我們換一個概率分布，使用平均值為34，方差為2.5的正態(tài)分布呢？此時的似然值是多少呢？數(shù)學公式表示就是L(μ=34 & σ=2.5|體重34g) = 0.21。用圖表示，就是下圖中紅色點對應的紅色十字的值：0.21

即：給定一個數(shù)據(jù)，不同的參數(shù)具有不同的似然概率。

方法2：類比

該方法，是quora上的一個回答。在該回答中，他將概率與似然的關系比作是2^b和a²的之間的關系。

我們假設一個函數(shù)為a^b，該函數(shù)包含兩個變量。
如果你令b=2，這樣我們就得到了一個關于a的二次函數(shù)，即a²：

如果令a=2，我們就得到了一個關于b的指數(shù)函數(shù)，即2^b:

我們可以看到，雖然兩個函數(shù)有著不同的名字，但是它們都來源于一個函數(shù)。同樣的，概率和似然，也是如此：

p(x|θ)也是一個有著兩個變量的函數(shù)。如果，我們將θ設為常量，則會得到一個概率函數(shù)（關于x的函數(shù)）；如果，我們x設為常量，將得到似然函數(shù)（關于θ的函數(shù)）。

方法3：舉例

假設，我們拋一枚勻質硬幣，拋10次，6次正面向上的可能性多大？用公式計算的話：

其中，n=10，P=0.5,Q=0.5,計算得：0.205。該方法計算的是概率

那似然呢？似然值就是求某一參數(shù)的可能性，放在本例中就是：拋一枚硬幣，拋10次，結果是6次正面向上，其是勻質的可能性多大？

拋10次，結果是6次正面向上，這是一個給定的結果。問“勻質”的可能性，即求參數(shù)值P=0.5的可能性。計算公式與上面相同。結果相同，只是視角不同

與似然相關聯(lián)的概念是最大似然估計。在本例中，問題就是：“拋10次，結果是6次正面朝上，那么，參數(shù)P的最大可能值是什么？”

我們知道硬幣可能是勻質的，也可能是不均勻的，甚至不均勻的程度都各有不同。但是每種情況的概率各不相同。而最大似然估計，就是求出概率最大的那一個。

如果你還記得最大似然估計的計算方法，你會發(fā)現(xiàn)P=0.6

參考資料

• Probability vs Likelihood
• What is the difference between probability and likelihood?
• 概率（probability)、似然（likelihood)、極大似然法