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坐標系

有左手坐標系和右手坐標系兩種，Unity使用的是右手坐標系。

點和矢量

我們使用兩個或三個以上的實數(shù)來表示一個點的坐標，如 $P = (P_x, P_y, P_z)$ 。

矢量是指n維空間中一種包含了模和方向的有向線段。矢量的表示方法和點類似，如 $v = (x,y,z)$ 。

矢量通常由一個箭頭表示，由起點指向終點。矢量常被用于表示相對于某個點的偏移，只要矢量的模和方向保持不變，無論在哪里，都是同一個矢量。

矢量運算

矢量和標量乘除

對乘法，將矢量的每個分量和標量相乘即可： $kv = (kv_x,kv_y,kv_z)$

對除法，同理： $\frac{v}{k} = (\frac{x}{k},\frac{y}{k},\frac{z}{k})$ ，標量需非零。

矢量加減法

兩個矢量加減法，把對應的分量進行相加或相減即可：

$a + b = (a_x+b_x, a_y+b_y,a_z+b_z)$

$a - b = (a_x-b_x, a_y-b_y,a_z-b_z)$

幾何意義上，矢量相加即前者起點連接至后者終點，矢量相減即后者終點指向前者終點。

矢量的模

矢量的模即矢量的長度：

$|v| = \sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2}$

單位矢量

單位矢量即模為1的矢量。將某個非零矢量轉(zhuǎn)化為單位矢量的過程稱為歸一化。

$\hat{v} = \frac{v}{|v|}$

矢量乘法

矢量之間的乘法有兩種，點積和叉積。

點積公式有兩個：
1：

$a \cdot b = (a_x,a_y,a_z) \cdot (b_x,b_y,b_z) = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

2( $\theta$ 為兩個矢量的夾角)：

$a \cdot b = |a||b|cos\theta$

點積的結(jié)果在幾何意義上是獲得矢量 $a$ 在 $b$ 上的投影與 $b$ 的模的乘積，如果二者都是單位矢量，那么點積結(jié)果就是前者在后者上的投影。

叉積公式:

$a \times b = (a_x,a_y,a_z) \times (b_x,b_y,b_z) = (a_yb_z - a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$

下面是另一種表示：

$|a \times b| = |a||b|sin\theta$

上述表明矢量叉積的結(jié)果的模是兩矢量構(gòu)成平行四邊形的面積。

在幾何意義的上，叉積的結(jié)果是一個新的矢量，分別垂直于 $a$ 和 $b$ ，且沿 $a$ 、 $b$ 和叉積的方向可構(gòu)成一個右手坐標系。

矩陣

矩陣有行列之分，以 $3\times3$ 矩陣為例：

$\left[ \begin{matrix} m_{11}&m_{12}&m_{13}\\ m_{21}&m_{22}&m_{23}\\ m_{31}&m_{32}&m_{33} \end{matrix} \right]$

矢量的矩陣表示法

矢量可以看作時 $n\times1$ 的列矩陣或 $1\times n$ 的行矩陣。

矩陣運算

矩陣和標量的乘法

將矩陣的每個元素和標量相乘即可。

矩陣和矩陣的乘法

兩個矩陣相乘，要求前一個矩陣的列數(shù)等于后一個矩陣的行數(shù)，相乘得到的矩陣的行數(shù)是第一個矩陣的行數(shù)，列數(shù)是第二個矩陣的列數(shù)。如 $A$ 的維度是 $4\times3$ ， $B$ 的維度是 $3\times6$ ，那么 $AB$ 的維度是 $4\times6$ 。

矩陣的乘法即前一個矩陣的每一行( $i$ 行)與后一個矩陣的每一列( $j$ 列)相乘(可看作行構(gòu)成的矢量和列構(gòu)成的矢量點積)，每次相乘的結(jié)果填寫在對應的 $i$ 行 $j$ 列上。

注意，矩陣乘法不滿足交換律，但滿足結(jié)合律。

特殊矩陣

方陣

方陣即行列數(shù)相等的矩陣。

同時，如果除對角線的元素外全是0的方陣稱為對角矩陣。

單位矩陣

針對上述的對角矩陣，如果對角線的元素全是0的話，那么就稱為單位矩陣。

轉(zhuǎn)置矩陣

對于一個 $r\times c$ 的矩陣 $M$ ,它的轉(zhuǎn)置 $M^T$ 為 $c\times r$ 的矩陣。轉(zhuǎn)置運算即將原矩陣的行列翻轉(zhuǎn)。原矩陣的 $i$ 行變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=i" alt="i" mathimg="1">列， $j$ 列變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=j" alt="j" mathimg="1">行。

注意，矩陣的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置等于原矩陣。

矩陣的串接的轉(zhuǎn)置等于反向串接各個矩陣的轉(zhuǎn)置：

${(AB)}^T = B^TA^T$

逆矩陣

只有方陣才有逆矩陣。

一個矩陣和它的逆矩陣的乘積為單位矩陣：

$MM^{-1} = M^{-1}M = I$

零矩陣沒有逆矩陣。如果一個矩陣有逆矩陣，那么這個矩陣是可逆的，或非奇異的，相反則是不可逆的或奇異的。

如果一個矩陣的行列式為不為0，那么該矩陣就是可逆的（具體不解釋）。

注意，逆矩陣的逆矩陣為原矩陣。

單位矩陣的逆矩陣是它本身。

轉(zhuǎn)置矩陣的逆矩陣是逆矩陣的轉(zhuǎn)置：

${(M^T)}^{-1} = (M^{-1})^T$

矩陣串接相乘后的逆矩陣等于反向串接各個矩陣的逆矩陣：

$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

注意，如果某個矩陣或矢量進行了一個矩陣變化，那么使用逆矩陣可以還原這個變換:

$M^{-1}(Mv) = (M^{-1}M)v = Iv = v$

正交矩陣

如果一個方陣和它的轉(zhuǎn)置矩陣的乘積是單位矩陣，那么這個方陣就是正交矩陣：

$MM^T = M^TM = I$

將正交矩陣與逆矩陣的概念結(jié)合起來，就可以得到，如果一個矩陣正交，那么它的轉(zhuǎn)置矩陣和逆矩陣相等:
$M^T = M^{-1}$

上述式子在實際計算中非常有用，因為逆矩陣的計算量很大(涉及伴隨矩陣)，所以如果能判斷某個變換矩陣是正交的話，可以很簡單地用轉(zhuǎn)置矩陣代替它的逆矩陣進行計算。

那么如何判斷一個矩陣是否正交，我們把一個矩陣的列看作是一個矢量，稱為基矢量，那么根據(jù)正交矩陣定義：

$M^TM = \left[ \begin{matrix} {-} & c_1& {-}\\ {-} & c_2 &{-}\\ {-} & c_3 &{-} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} {|} & {|} &{|}\\ c_1 & c_2 & c_3\\ {|} & {|} &{|} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} c_1 \cdot c_1 & c_1 \cdot c_2 & c_1 \cdot c_3\\ c_2 \cdot c_1 & c_2 \cdot c_2 & c_2 \cdot c_3\\ c_3 \cdot c_1 & c_3 \cdot c_2 & c_3 \cdot c_3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{matrix} \right]$

根據(jù)上述等式，得：

$c_1$ , $c_2$ , $c_3$ 都是單位矢量，且兩兩垂直。那么滿足這樣條件的矩陣的就是正交矩陣。

矢量的矩陣表示

在Unity中，常將矢量當做是列矩陣來使用，即放到矩陣的右邊來進行乘法。這種情況下，矩陣乘法通常是右乘，即：

$CBAv = C(B(Av)))$

變換

概念

變換是將一些數(shù)據(jù)通過某種方式進行轉(zhuǎn)換的過程。

一個非常常見的變換是線性變換，指的是可以保留矢量加和標量乘的變換。數(shù)學公式為：

$f(x)+f(y)=f(x+y)$

$kf(x)=f(kx)$

縮放是一種線性變換，旋轉(zhuǎn)也是一種線性變換，我們可以使用一個 $3\times3$ 的矩陣就可以對一個三維向量進行線性變換。除此之外還有錯切，鏡像，正交投影。

但平移變換不是線性變換，我們不能使用一個 $3\times3$ 的矩陣對一個三維向量進行變換。

由此出現(xiàn)仿射變換，即合并線性變換和平移變換的變換類型。仿射變換使用一個 $4\times4$ 的矩陣來表示，這樣我們需要將矢量擴展到四維空間下，即齊次坐標空間。

齊次坐標

對于一個三維向量，我們擴展一個維度，分量稱為 $w$ 。對于坐標， $w$ 常設為1，而對于方向，常設為0。因為我們只想對位置進行平移變換，方向不行。

基礎變換矩陣

我們使用一個 $4\times4$ 的矩陣來表示平移、旋轉(zhuǎn)和縮放。一個基礎的變換矩陣可以分解為4個部分：

$\left[ \begin{matrix} M_{3\times3}& t_{3\times1}\\ 0_{1\times3}& 1 \end{matrix} \right]$

$M_{3\times3}$ 表示旋轉(zhuǎn)縮放的矩陣， $t_{3\times1}$ 表示平移。

平移矩陣

下面是一個平移矩陣(針對點)的例子：
$\left[ \begin{matrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\y\\z\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x+t_x\\ y+t_y\\ z+t_z\\ 1 \end{matrix} \right]$

如果是方向矢量的話，由于 $w$ 分量為0，平移變換不會有影響：

$\left[ \begin{matrix} 1&0&0&t_x\\ 0&1&0&t_y\\ 0&0&1&t_z\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\y\\z\\0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x\\ y\\ z\\ 0 \end{matrix} \right]$

平移變換的逆矩陣就是反向平移得到的矩陣：
$\left[ \begin{matrix} 1&0&0&-t_x\\ 0&1&0&-t_y\\ 0&0&1&-t_z\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]$

平移矩陣并不是正交矩陣。

縮放矩陣

下面是一個縮放矩陣（針對點）的例子：

$\left[ \begin{matrix} k_x&0&0&0\\ 0&k_y&0&0\\ 0&0&k_z&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\y\\z\\1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} k_xx\\ k_yy\\ k_zz\\ 1 \end{matrix} \right]$

對方向矢量縮放：

$\left[ \begin{matrix} k_x&0&0&0\\ 0&k_y&0&0\\ 0&0&k_z&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x\\y\\z\\0 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} k_xx\\ k_yy\\ k_zz\\ 0 \end{matrix} \right]$

如果 $k_x=k_y=k_z$ ，那么這樣的縮放為統(tǒng)一縮放,否則為非統(tǒng)一縮放。由于非統(tǒng)一縮放會改變角度和比例信息，所以針對方向向量的縮放不能使用上述的方式。

縮放矩陣的逆矩陣如下：
$\left[ \begin{matrix} {\frac{1}{k_x}}&0&0&0\\ 0&{\frac{1}{k_y}}&0&0\\ 0&0&{\frac{1}{k_z}}&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]$

縮放矩陣不是正交矩陣。

上面的矩陣只適合沿坐標軸方向縮放，如果要在任意方向縮放，就要使用一個復合變換，先縮放軸，再沿坐標軸縮放。

旋轉(zhuǎn)矩陣

繞x軸旋轉(zhuǎn):

$R_x(\theta) = \left[ \begin{matrix} 1&0&0&0\\ 0&cos\theta&-sin\theta&0\\ 0&sin\theta&cos\theta&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]$

繞y軸旋轉(zhuǎn)：

$R_y(\theta) = \left[ \begin{matrix} cos\theta&0&sin\theta&0\\ 0&1&0&0\\ -sin\theta&0&cos\theta&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]$

繞z軸旋轉(zhuǎn)：

$R_y(\theta) = \left[ \begin{matrix} cos\theta&-sin\theta&0&0\\ -sin\theta&cos\theta&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{matrix} \right]$

旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣。

復合變換

大多數(shù)情況下，將平移、旋轉(zhuǎn)、縮放結(jié)合起來的順序往往是：先縮放，后旋轉(zhuǎn)，再平移，也就是：

$v_{new} = TRSv_{old}$

注意，針對旋轉(zhuǎn)的順序，Unity的順序是zxy，即旋轉(zhuǎn)變換矩陣是：

$M_zM_xM_y$

旋轉(zhuǎn)時的坐標系有兩種可以選擇：

繞坐標系E的z軸旋轉(zhuǎn)，繞y軸旋轉(zhuǎn)，再繞x軸旋轉(zhuǎn)。即進行一次旋轉(zhuǎn)時不一起旋轉(zhuǎn)當前坐標系。
繞E的z軸旋轉(zhuǎn)，E繞z軸旋轉(zhuǎn)相同角度的E'，繞E‘的y軸旋轉(zhuǎn)，E’繞y軸旋轉(zhuǎn)相同角度的E''，最后繞E''的x軸旋轉(zhuǎn)。即再旋轉(zhuǎn)時，把坐標系一起轉(zhuǎn)動。

在上述兩種方式中，旋轉(zhuǎn)的結(jié)果不一樣，Unity是第一種。

坐標空間

模型空間

模型空間即模型的局部坐標系，在Unity中是左手坐標系。

世界空間

世界空間被用來描述物體在場景中的位置，在Unity中，世界空間是左手坐標系。

將頂點從模型空間變換到世界空間的變換稱為模型變換(Model)。這一變換通常由 $TRS$ 組成。

觀察空間

也被稱為攝像機空間。

攝像機決定了我們渲染游戲所使用的視角。在觀察空間中，攝像機位于原點，在Unity中，+x指向攝像機的右方，+y指向攝像機的上方，+z指向攝像機的后方，即攝像機指向-z軸。

將頂點從世界空間轉(zhuǎn)換到觀察空間的變換為觀察變換(View)。

為得到頂點在觀察空間中的位置，有兩種方法：一是計算觀察空間的三個坐標軸在世界空間下的表示，然后構(gòu)建出從觀察空間變換到世界空間的變換矩陣，再對矩陣求逆來得到從世界空間變換到世界空間的矩陣。二是想象平移整個觀察空間，讓攝像機的原點位于世界坐標的原點，坐標軸與世界空間的坐標軸重合即可。

這里使用第二種方法，即想辦法讓攝像機變換到世界空間的原點即可(注意，由于觀察空間使用右手坐標系，因此需要對z分量取反)。

裁剪空間

將頂點從觀察空間轉(zhuǎn)換到裁剪空間的變換矩陣稱為裁剪矩陣，也被稱為投影矩陣(Projection)。裁剪空間由視錐體決定。

視錐體是空間中的一塊區(qū)域，視錐體內(nèi)的區(qū)域是攝像機可以看到的空間。視錐體由六個平面構(gòu)成，這些平面稱為裁剪平面。視錐體有兩種類型，透視投影和正交投影。

在視錐體的裁剪平面中有兩塊很特殊，分別稱為近裁剪平面和遠裁剪平面，它們決定了攝像機可以看到的深度范圍。

投影矩陣有兩個目的：

為投影做準備
對x、y、z分量進行縮放

透視投影

我們利用上圖的參數(shù)可以計算出近裁剪平面和遠裁剪平面的高度：

$nearClipPlaneHeight = 2\cdot Near\cdot tan\frac{FOV}{2}$

$farClipPlaneHeight = 2\cdot Far\cdot tan\frac{FOV}{2}$

裁剪平面的寬度我們可以通過橫縱比得到。假設攝像機的橫縱比為 $Aspect$ :

$Aspect = \frac{nearClipPlaneWidth}{nearClipPlaneHeight}$

$Aspect = \frac{farClipPlaneWidth}{farClipPlaneHeight}$

根據(jù)上述信息，投影矩陣為：

$M_{projection} = \left[ \begin{matrix} \frac{cot\frac{FOV}{2}}{Aspect}&0&0&0\\ 0&cot\frac{FOV}{2}&0&0\\ 0&0&-\frac{Far+Near}{Far-Near}&-\frac{2\cdot Near\cdot Far}{Far-Near}\\ 0&0&-1&0 \end{matrix} \right]$

使用上述投影矩陣后：

$P_{clip} = M_{projection}P_{view} = \left[ \begin{matrix} x\frac{cot\frac{FOV}{2}}{Aspect}\\ ycot\frac{FOV}{2}\\ -z\frac{Far+Near}{Far-Near}-\frac{2\cdot Near\cdot Far}{Far-Near}\\ -z \end{matrix} \right]$

可以看到，投影矩陣本質(zhì)上是對x、y、z坐標進行一些縮放，同時z分量也進行了平移，縮放的目的是為了方便裁剪。此時w分量不再是1，而是-z，通過這個w，我們可以判斷一個頂點是否在視錐體內(nèi)，在的話必須滿足下面條件：

$-w<=x,y,z<=w$

透視投影后，空間從右手坐標系變?yōu)樽笫肿鴺讼怠?/p>

正交投影

$nearClipPlaneHeight = 2\cdot Size$

$farClipPlaneHeight = nearClipPlaneHeight$

假設橫縱比為 $Aspect$ ，那么：

$nearClipPlaneWidth = Aspect\cdot nearClipPlaneHeight$

$farClipPlaneWidth = nearClipPlaneWidth$

正交投影矩陣：

$M_{ortho} = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{Aspect\cdot Size}&0&0&0\\ 0&\frac{1}{Size}&0&0\\ 0&0&-\frac{2}{Far-Near}&-\frac{Far + Near}{Far-Near}\\ 0&0&-1&0 \end{matrix} \right]$

使用正交投影矩陣后：

$P_{clip} = M_{ortho}P_{view}= \left[ \begin{matrix} \frac{x}{Aspect\cdot Size}\\ \frac{y}{Size}\\ -\frac{2z}{Far-Near}-\frac{Far + Near}{Far-Near}\\ 1 \end{matrix} \right]$

使用正交投影后，w分量仍是1。

屏幕空間

這一步的變換，我們會得到真正的像素位置。

將頂點從裁剪空間投影到屏幕空間有兩個步驟：首先進行透視除法，用x、y、z分量除以w分量。這一步得到的坐標被稱為NDC，經(jīng)過透視除法的裁剪空間變換到一個立方體內(nèi)：

對于正交投影沒什么區(qū)別。

在Unity中，屏幕空間左下角的像素坐標是(0,0)。接下來就是將NDC縮放值屏幕坐標系。

透視除法和屏幕映射的過程總結(jié)如下：

$screen_x = \frac{clip_x\cdot pixelWidth}{2\cdot clip_w} + \frac{pixelWidth}{2}$
$screen_y = \frac{clip_y\cdot pixelHeight}{2\cdot clip_w} + \frac{pixelHeight}{2}$