博弈論學習2——貝葉斯博弈

定義

作為一種戰(zhàn)略博弈，貝葉斯博弈有兩個基本元素：參與人集合N和行動集合A_i，為了建模不確定性，引入自然狀態(tài)集合\Omega，其中元素為對參與人相關特征的描述。\Omega有概率測度p_i，每個人有對于某個自然狀態(tài)下的先驗概率。

注意，這里的定義中，每個自然狀態(tài)對于每個人視角的先驗概率可能是不一樣的，但一般來說，相等或者有關聯(lián)性。

信號函數(shù)：t_i=\tau_i(\omega)表示自然狀態(tài)為\omega發(fā)生后，在每個人選擇他行動之前，第i人觀察到的信號。T_i表示為\tau_i的所有可能值的集合，稱之為類型集合，每一個\forall t_i\in T_i,p_i(\tau_i^{-1}(t_i))>0（這里表示第i人已經(jīng)觀察到信號t_i之后，t_i對應的自然狀態(tài)集合中的狀態(tài)的發(fā)生的先驗概率當然應該是正的，是0的話，認為第i個人無法收到t_i）。如果參與人i收到信號t_i\in T_i，那么能推斷出狀態(tài)在\tau_i^{-1}中，那么就實現(xiàn)了狀態(tài)的后驗概率，賦予了每一個狀態(tài)概率p_i(\omega)/p_i(\tau_i^{-1}(t_i))（也就是對于i已知t_i之后，\omega發(fā)生過的后驗概率）。這里如果\omega\not\in \tau_i^{-1}(t_i)，當然應該賦予0。

例如，對所有\omega\in \Omega，若\tau_i(\omega)=\omega，那么參與人能夠擁有關于自然狀態(tài)的全部信息。又比如\Omega=\times_{i\in N} \tau_i，并且對每個人測度p_i是\Omega上的乘積測度，同時\tau_i(\omega)=\omega_i，則參與人能獲得自己那部分自然狀態(tài)，每個人的自然狀態(tài)分量/信號是獨立的而且每個人不能獲得其他人的自然狀態(tài)。

每個人關心他的行動組合，還有自然狀態(tài)/信號。由于他只有關于自然狀態(tài)的不完全信息，即使他掌握了所有自然狀態(tài)下每個人的反應，依舊沒有辦法確定自己應該怎么做。

一個貝葉斯博弈包括：

  1. 有限集合N（參與人集合）
  2. 有限狀態(tài)集合\Omega

對每個參與人i\in N有

  1. 集合A_i（有效行動集合）
  2. 信號集合T_i和函數(shù)\tau_i:\Omega\to T_i
  3. \Omega上的一個概率測度p_i（參與人i的先驗概率），必須滿足對所有t_i\in T_i有p_{i}\left(\tau_{i}^{-1}\left(t_{i}\right)\right)>0
  4. 一個關于A\times \Omega上的概率測度集合的偏好關系\succsim_i，這里A=\times_j\in N A_j

另外注意有時描述貝葉斯博弈并不涉及暗含的狀態(tài)空間\Omega，而是描述成“簡化形式”：參與人信息相關的基本元素是可能類型集合的組合。

貝葉斯博弈的納什均衡：考慮將貝葉斯博弈<N,\Omega,A,T,\tau,p,\succsim>的納什均衡定義成一個戰(zhàn)略博弈G^*的納什均衡，G^*的參與人被定義為i\in N和t_i\in T的組合(i,t_i)（具有類型t_i的參與人i），他的行動集合為A_i。這樣行動組合為\times_{j\in N}(\times_{t_j\in T_j}A_j)。偏好如下定義：在G^*中參與人(i,t_i)偏好行動組合a^*優(yōu)于行動組合b^*，等價于：參與人i在貝葉斯博弈中對不確定事件L_i(a^*,t_i)的偏好優(yōu)于L_i(b^*,t_i)。注意，這里L_i(a^*,t_i)的概率定義為發(fā)現(xiàn)t_i之后的對i的后驗概率（見上）。但是偏好的定義這里和概率無關。只有決策時，也就是求不確定事件的偏好時，才會用到概率求期望。

案例

二階拍賣

考慮二階拍賣的一個貝葉斯變形。也就是每個人知道自己對于物品的估價，但是不能確定別人的估價。作為特例，假定可能估價集合是有限集合V以及每個參與人都相信任何一個其他參與人獨立做出的估價都是從V上的同一分布出發(fā)的。則可以建模為貝葉斯博弈模型：

  1. 參與人集合N={1,...,n}
  2. 狀態(tài)集合\Omega=V^n
  3. 參與人行動集合A_i=R_+
  4. i收到的信號集合T_i是V
  5. i的信號函數(shù)\tau_i定義為\tau_i(v_1,v_2,..v_n)=v_i，也就是自己的估價
  6. 先驗概率p_i為V上的某個概率分布，p_{i}\left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right)=\Pi_{j=1}^{n} \pi(v_i)
  7. 偏好關系：對于某個人出價最高，那么值為v_{i}-\max _{j} \in _{N \backslash\{i\}} a_{j}，否則為0

這個博弈的納什均衡為，每個人都提出自己的估價。這是因為提出更高的價格，自己價值函數(shù)的期望更大；但也不會超過自己的預期定價，因為自己如果提高價格，而他人都提出了自己的估價，那么自己本來投不到的即使變成了投到了，還要額外付出代價，價值函數(shù)期望不會升高。

過度消息可能會導致的損害（感謝BZB和LX提供了這個例子）

情形1

圖片.png

博弈的收益矩陣如上，參與人1選擇行\{T,B\}，參與人2選擇列\{L,M,R\}，狀態(tài)集合為\Omega=\{A,B\}，兩個參與人有共同的先驗概率分布p(A)=p(B)=\frac{1}{2}。

參與人信號集合為T_1=\{0,1\},T_2=\{0\}，兩人的信號函數(shù)如下：
\begin{aligned} &\tau_{1}(A)=0, \tau_{1}(B)=1\\ &\tau_{2}(A)=\tau_{2}(B)=0 \end{aligned}
換句話說信號對于參與人2，沒有意義。

這個博弈有一個唯一的納什均衡：
\sigma_{1}(0)=\sigma_{1}(1)=B ; \sigma_{2}(0)=M
下面僅對于\sigma_{2}(0)=M做出解釋：

由于對于參與人2，信號無幫助，因此他看來，仍有
P\left(w=A | \tau_{2}(w)=0\right\}=\left|\left(w=B | \tau_{2}(w)=0\right)=\frac{1}{2}\right.
在參與人1選擇B時，對于2，選擇L，期望為6，選擇M時，期望為7，選擇R時期望為6。

因此他會選擇M。

在均衡中，參與人2的收益為7。

情形2

圖片.png

博弈的受益矩陣同上，參與人策略同上，參與人1信號集合和信號函數(shù)同上。

參與人2的信號集合\{0,1\}，\tau(A)=0,\tau(B)=1，也就是說2能通過信號知道1的決策。

這個博弈唯一的納什均衡是：
\sigma_{1}(0)=\sigma_{1}(1)=T ; \sigma_{2}(0)=R, \sigma_{2}(1)=L
這個均衡中，無論\omega=A||\omega=B，參與人的收益都只有3，小于上面的7。

這個結(jié)論有些違反直覺?？梢匀绱藖砝斫?。雖然參與人2知道的更多了，但是參與人1也能知道“參與人2知道更多這件事”，參與人1對于這條信息的利用，可能能做到比參與人2更完善。

備注

  1. 這?將?葉斯博弈中對事件的偏好??付函數(shù)表達；對不確定事件的偏好??付函數(shù)的期望表達。
  2. 參與?的先驗概率按照定義可以不同，即使所有參與?有共同的先驗概率，也有可能和真實的概率
    分布?相徑庭：但我們在納什均衡中并不關?真實概率，每個參與?只需要關???的概率，計算
    ??的期望最優(yōu)回應就?了。
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