牛頓定理的詳細講解
求數(shù)的開方時想到了通常都是用牛頓法來求解，因此學習一下并用C++簡單的實現(xiàn)數(shù)的開方。

定理：

??若 f 二階可導，那么在待求的零點 x 周圍存在一個區(qū)域，只要起始點 x0 位于這個鄰近區(qū)域內(nèi)，那么牛頓-拉弗森方法必定收斂。

計算：

對自然數(shù) a 的開方可以轉化為

然后利用

反復迭代直至

即可。

注意：

??1. 如果不幸選了駐點（stationary point/ critical point），導致切線與x軸平行，那就完蛋了。
??2. 這個函數(shù)在定義域內(nèi)最好是二階可導。
??3. 這方法只能求一個解，如果函數(shù)有多解，就不行了。

代碼：

#define EPSILON 1e-8

template<typename T>
T sqrt(T val)
{
    if (val < 0)
    {
        std::cout << "Illegal Radicand" << std::endl;
    }
    else if (val == 0)
    {
        return 0;
    }
    else
    {
        int i_times = 0;
        float va = static_cast<float>(val);
        float v1 = va / 2;
        while ((v1 * v1 - va > EPSILON || v1 * v1 - va < -EPSILON) && i_times < 100)
        {
            v1 = -(v1 * v1 - va) / (2 * v1) + v1;
            ++i_times;
        }
        return static_cast<T>(v1);
    }
}