一、什么是邏輯推理
邏輯推理又叫邏輯論證，論證有兩種類型：演繹論證、非演繹論證。其中非演繹論證又分為兩種：歸納論證和類比論證。論證由前提和結(jié)論組成，而前提和結(jié)論的基本單位是命題，命題的基本單位是范疇，而范疇就是人們理解的各種概念，例如「蘋果」「食物」這些名詞概念，都是人對(duì)于某些具有相似特征的物品定義的概念，這個(gè)概念圈定了物品的定義下包含的范圍。
論證本質(zhì)上是范疇的推導(dǎo)，從已知范疇推導(dǎo)未知范疇。例如常見的三種論證
演繹論證：所有的食物都能吃，葡萄是食物，所以葡萄能吃。
歸納論證：中國的天鵝是白色，美國的是白色，英國的是白色，所以世界上所有的天鵝是白色。
類比論證：水滴石穿，因此人只要能堅(jiān)持，一定能把事情做好。
從上面三個(gè)例子中可以看出，只有演繹論證是必然有效的，后面兩個(gè)例子不一定是有效的。所以在邏輯中只有演繹論證是必然性推理，通過有效與否（sound）來判斷，而歸納論證和類比論證叫或然性推理，通過歸納強(qiáng)度和類比可接受度來判斷。
二、演繹論證
演繹論證是從一般到特殊的推理邏輯，從大范疇推導(dǎo)小范疇，最常見的是小學(xué)生都會(huì)的三段論：
人會(huì)死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會(huì)死
其中「人會(huì)死」與「蘇格拉底是人」是前提，「蘇格拉底會(huì)死」是結(jié)論。這個(gè)看起來非常簡單，但其應(yīng)用廣泛，最復(fù)雜的計(jì)算機(jī)邏輯就是從最簡單的概念推導(dǎo)而來，例如前面的例子
所有的食物都能吃，葡萄是食物，所以葡萄能吃。
這種對(duì)范疇的判斷最早可追溯到亞里斯多德，在其提出的邏輯中只包含了演繹論證，或者形式邏輯。
在演繹邏輯中，最基礎(chǔ)的是直言判斷，主要描述范疇之間的關(guān)系，有四種標(biāo)準(zhǔn)形式（AEIO）：
A：所有的...都是...：所有的四川人都是中國人
E：所有的...都不是...：所有的日本人都不是美國人
I：有的...是...：有的學(xué)生是班長
O：有的...不是...：有的大學(xué)生不是黨員
省略號(hào)中的短語叫做詞項(xiàng)，第一個(gè)省略號(hào)位置的是叫做主項(xiàng)，第二個(gè)叫做謂項(xiàng)，注意詞項(xiàng)只能是名詞。
這四種描述可以用畫圈圈的方式來表示，叫做文恩圖，用S代表主項(xiàng)，P代表謂項(xiàng)，如圖所示：
這種四種命題的關(guān)系可以用對(duì)當(dāng)關(guān)系來描述就是這樣的，對(duì)角線的為矛盾關(guān)系，左右互為反對(duì)關(guān)系，上對(duì)下是包含關(guān)系，這就是對(duì)當(dāng)方陣（square of opposition）
回到三段論中，三段論都是由兩個(gè)前提和結(jié)論組成，而每個(gè)直言命題都可以用AEIO進(jìn)行表述，于是就會(huì)出現(xiàn)4X4X4=64種組合關(guān)系，但這64個(gè)式中大多數(shù)違反三段論的一般規(guī)則，根據(jù)三段論的規(guī)則，我們很容易把一些無效式排除掉，結(jié)果只剩下11個(gè)式不違反三段論的一般規(guī)則。這11個(gè)式是：AAA、AAI、AEE、AEO、AII、AOO、EAE、EAO、EIO、IAI、OAO。
而由于每個(gè)命題中有SPM三個(gè)詞項(xiàng)，而其中中項(xiàng)的關(guān)系可以出現(xiàn)在不同位置，于是可以分成四格
前面的64種組合形式，加上4格的組合，可以出現(xiàn)64x4=256種組合，其中只有15種組合是有效的，分別是
第一格（中項(xiàng)是大前提的主項(xiàng)和小前提的謂項(xiàng)）
1.AAA-1? ?
2.EAE-1? ?
3.AII-1? ? ?
4.EIO-1? ??
第二格（中項(xiàng)在兩個(gè)前提中都做謂項(xiàng)）
5.AEE-2? ?
6.EAE-2? ??
7.AOO-2??
8.EIO-2? ?
第三格（中項(xiàng)在兩個(gè)前提中都做主項(xiàng)）
9.AII-3
10.IAI-3
11.EIO-3
12.OAO-3
第四格（中項(xiàng)在大前提做謂項(xiàng)、小前提做主項(xiàng)）
13.AEE-4
14.IAI-4
15.EIO-4
看到這里，很多人會(huì)比較懵也奇怪，這種邏輯推導(dǎo)有什么用，這種判斷關(guān)系就是數(shù)學(xué)以及計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)，通過將命題判斷替換為數(shù)字的運(yùn)算，即用1和0替代真假判斷，而命題之間的關(guān)系用符號(hào)（∧ /∨ /┐,+-*）代替。布爾提出的布爾運(yùn)算用數(shù)學(xué)符號(hào)代替命題演算邏輯，而信息論之父香農(nóng)發(fā)現(xiàn)可以將運(yùn)算外包用機(jī)器來實(shí)現(xiàn)，后來有了現(xiàn)代信息世界的發(fā)展。
三、歸納論證
歸納論證是從特殊到一般的推導(dǎo)邏輯，其代表作是培根的《新工具論》。與演繹邏輯中經(jīng)典三段論一樣，歸納也有歸納三段論：
大多數(shù)X是Y，
這是X，
所以，這就是Y。
例如「大多數(shù)成都人愛吃辣，小王是成都人，所以小王愛吃辣」。但在日常溝通中，往往會(huì)省略其中的前提，例如「小王是成都人，所以小王愛辣」，而會(huì)省略「大多數(shù)成都人愛吃辣」這個(gè)前提。
從例子中可以看出，歸納推理不一定是有效的，所以歸納推理不會(huì)用有效與否來衡量，而是用歸納強(qiáng)度來衡量。歸納強(qiáng)度取決于前提「大多數(shù)X是Y」中Y在X中的比例。
Y在X中的比例通過統(tǒng)計(jì)學(xué)可以測量，但在日常生活中沒法對(duì)總體都進(jìn)行測試，例如沒法對(duì)每個(gè)成都人進(jìn)行調(diào)查其對(duì)辣椒的偏好，所以只能選取部分樣本進(jìn)行測試，然后代表整體的比例。但這對(duì)抽樣調(diào)研的樣本有要求，需要選取具有同樣特征的群體進(jìn)行測量，否則會(huì)出現(xiàn)偏差。而這個(gè)影響所關(guān)注特征的因素叫做「相關(guān)因素」，而為了減少由于樣本抽樣特征帶來的影響，減少統(tǒng)計(jì)偏差，最佳的策略就是「隨機(jī)抽樣」，這是有統(tǒng)計(jì)學(xué)泰斗費(fèi)舍爾發(fā)明的統(tǒng)計(jì)方法。
相比于非常純粹的演繹推理，歸納推理在日常生活中應(yīng)用要多很多，因?yàn)槊媾R的現(xiàn)實(shí)生活很多東西都是未知的。相較于簡單的歸納三段論中，大多數(shù)X是Y這個(gè)前提，我們都需要花費(fèi)很多精力把這兩者的相關(guān)關(guān)系可以建立起來，即如何找出相關(guān)因子，確認(rèn)哪些特征屬于那個(gè)類型中。而找出相關(guān)因子進(jìn)行歸類，針對(duì)這個(gè)問題，哲學(xué)家密爾在《邏輯學(xué)體系》提出了著名的密爾五法（Mill's Five Canons），即
求同法：考察幾個(gè)出現(xiàn)某一被研究現(xiàn)象的不同場合，如果各個(gè)不同場合除一個(gè)條件相同外，其他條件都不同，那么，這個(gè)相同條件就是某被研究現(xiàn)象的原因。
求異法：比較某現(xiàn)象出現(xiàn)的場合和不出現(xiàn)的場合，如果這兩個(gè)場合除一點(diǎn)不同外，其他情況都相同，那么這個(gè)不同點(diǎn)就是這個(gè)現(xiàn)象的原因
求同求異法：如果某被考究現(xiàn)象出現(xiàn)的各個(gè)場合（正事例組）只有一個(gè)共同的因素，而這個(gè)被考察現(xiàn)象不出現(xiàn)的各個(gè)場合（負(fù)事例組）都沒有這個(gè)共同因素，那么，這個(gè)共同的因素就是某被考察現(xiàn)象的原因。
共變法：在其他條件不變的情況下，如果某一現(xiàn)象發(fā)生變化另一現(xiàn)象也隨之發(fā)生相應(yīng)變化，那么前一現(xiàn)象就是后一現(xiàn)象的原因
剩余法：如果某一復(fù)合現(xiàn)象已確定是由某種復(fù)合原因引起的，把其中已確認(rèn)有因果聯(lián)系的部分減去，那么，剩余部分也必有因果聯(lián)系。
