基于Bootstrap的有調(diào)節(jié)的中介效應(yīng)

1. 一般中介效應(yīng)模型

1.1 基本模型設(shè)定

不妨考慮一個(gè)基本的中介效應(yīng)模型設(shè)定：

\begin{equation} \begin{aligned} M_{i,t} = b + \gamma_{1}X_{i,t} + controls_{i,t} + \epsilon_{i,t} \\ Y_{i,t} = c + \gamma_{2}X_{i,t} + \gamma_{3}M_{i,t} + controls_{i,t} + \varepsilon_{i,t} \end{aligned} \tag 1 \end{equation}

其中，Y_{i,t}、X_{i,t}和M_{i,t}分別代表被解釋變量、核心解釋變量和中介變量；\epsilon_{i,t}和\varepsilon_{i,t}為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。若假定\epsilon_{i,t}和\varepsilon_{i,t}相互獨(dú)立，則X對(duì)Y的中介效應(yīng)（ME，間接影響）可估計(jì)如下：

\begin{equation} \widehat{ME} = \hat{\gamma_{1}} * \hat{\gamma_{3}} \tag 2 \end{equation}

那么如何判斷 X 對(duì) Y 的中介效應(yīng) ME 在統(tǒng)計(jì)意義上是否顯著呢？實(shí)踐中，通常采用 Sobel 檢驗(yàn)，或者基于Bootstrap的經(jīng)驗(yàn)檢驗(yàn)。鑒于Bootstrap方法的靈活性，這篇推文重點(diǎn)介紹基于Bootstrap方法的中介效應(yīng)檢驗(yàn)。

1.2 基于Bootstrap法的檢驗(yàn)步驟

題外話：Bootstrap法（又稱拔靴法、自助法等）由斯坦福大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 Bradley Efron 在總結(jié)、歸納前人研究成果的基礎(chǔ)上提出一種新的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。Bootstrap是一類非參數(shù) Monte Carlo 方法，其實(shí)質(zhì)是對(duì)觀測(cè)信息進(jìn)行再抽樣，進(jìn)而對(duì)總體的分布特性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。Bradley Efron 教授也因?yàn)檫@一研究成果在 2018 年獲得了美國(guó)統(tǒng)計(jì)協(xié)會(huì)（ASA）頒布的國(guó)際統(tǒng)計(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

基于Bootstrap法的中介效應(yīng)檢驗(yàn)可歸納為下述幾個(gè)步驟：

  • 第一步，對(duì)研究樣本進(jìn)行 A 次有放回的重復(fù)抽樣，直到得到N_{A}^{1}個(gè)樣本。
  • 第二步，基于這N_{A}^{1}個(gè)樣本進(jìn)行式（1）的回歸估計(jì)，計(jì)算 \widehat{ME^{1}}
  • 第三步，對(duì)步驟一、二進(jìn)行重復(fù)操作，直到Bootstrap的次數(shù)達(dá)到預(yù)先設(shè)定的 N 次停止。此時(shí)，我們會(huì)得到 N 個(gè) ME，即：\widehat{ME^{1}}、\widehat{ME^{2}}、...、\widehat{ME^{N}}
  • 第四步，計(jì)算 ME 序列的均值\bar{ME}={\frac{1}{N}}{\sum{\widehat{ME^{i}}}}和標(biāo)準(zhǔn)誤\sqrt{{\frac{1}{N-1}} \sum{(\widehat{ME^i}-\bar{ME}})^2}，其中i=1,2,...,N，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)造 t 統(tǒng)計(jì)量對(duì) X 影響 Y 的中介效應(yīng) ME 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。

2. 中介效應(yīng)模型的拓展：引入調(diào)節(jié)變量

很多情況下，X 對(duì) Y 的中介效應(yīng)受到其他變量 Z 的調(diào)節(jié)。例如，員工的工作熱情（X）會(huì)通過工作付出（M）影響企業(yè)績(jī)效（Y），即影響路徑為： X → M → Y；但是，員工的工作熱情和工作付出之間的關(guān)系、工作付出和企業(yè)績(jī)效之間的關(guān)系都會(huì)受到企業(yè)文化（Z）的調(diào)節(jié)，一個(gè)優(yōu)秀的企業(yè)文化可能會(huì)同時(shí)強(qiáng)化 X 對(duì) M 的影響、 M 對(duì) Y 的影響。那么在這種情況下，我們需要在一般的中介效應(yīng)模型中引入一個(gè)調(diào)節(jié)變量 Z 來刻畫上述條件中介效應(yīng)。

不失一般性，假定存在一個(gè)外部因素 Z 同時(shí)調(diào)節(jié) X 和 M 的關(guān)系、以及 M 和 Y的關(guān)系。此時(shí)在模型（1）中引入一個(gè)調(diào)節(jié)變量 Z，中介效應(yīng)模型則有如下形式：

\begin{equation} \begin{aligned} M_{i,t} = b + \gamma_{1}X_{i,t} + \gamma_{2}Z_{i,t} + \gamma_{3}X_{i,t}Z_{i,t} + controls_{i,t} + \epsilon_{i,t} \\ Y_{i,t} = c + \gamma_{4}X_{i,t} + \gamma_{5}M_{i,t} + \gamma_{6}Z_{i,t} + \gamma_{7}X_{i,t}Z_{i,t} + \gamma_{8}M_{i,t}Z_{i,t} + controls_{i,t} + \varepsilon_{i,t} \end{aligned} \tag 3 \end{equation}

在模型（3）中，X 對(duì) M 的影響為：\gamma_{1}+\gamma_{3}Z_{i,t}，M 對(duì) Y 的影響為：\gamma_{5}+\gamma_{8}Z_{i,t}。同理，若假定\epsilon_{i,t}和\varepsilon_{i,t}相互獨(dú)立，則 X 對(duì) Y 的有調(diào)節(jié)的中介效應(yīng)（ME，間接影響）可表示如下：
\begin{equation} \begin{aligned} \widehat{ME} = (\hat{\gamma_{1}}+\hat{\gamma_{3}}Z) * (\hat{\gamma_{5}}+\hat{\gamma_{8}}Z) \end{aligned} \tag 4 \end{equation}

可見，引入調(diào)節(jié)變量后，X 對(duì) Y 的間接效應(yīng)變成了調(diào)節(jié)變量 Z 的函數(shù)。利用Bootstrap法驗(yàn)證該效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)顯著性則需要對(duì)調(diào)節(jié)變量 Z 的取值進(jìn)行設(shè)定，此時(shí)的中介效應(yīng)也稱為條件中介效應(yīng)。通常在實(shí)踐中，研究人員一般將 Z 的取值設(shè)定為\bar{Z}、\bar{Z}-SD(Z)和、\bar{Z}+SD(Z)。

基于上述設(shè)定，我們則可以利用前述相同的Bootstrap法檢驗(yàn)有調(diào)節(jié)的中介效應(yīng)在統(tǒng)計(jì)意義上是否顯著，具體步驟不再贅述。

3. Stata 軟件中的實(shí)現(xiàn)說明

當(dāng)前 Stata 軟件中并沒有提供基于Bootstrap法可直接使用的命令檢驗(yàn)有調(diào)節(jié)的中介效應(yīng)，本推文根據(jù)上述理論分析和檢驗(yàn)步驟開發(fā)了 medtest 命令，該命令有如下語法結(jié)構(gòu)：

medtest depvar, 
            iv(string) mv(string) absorb(string) 
            [cv(string) mo(string) mo_value(numeric)
              center type(numeric) cluster(string)]

需要說明的是，[...]內(nèi)的元素均為可選屬性，其他元素則為必選屬性。其中：

  • depvar為被解釋變量
  • iv代表核心解釋變量
  • mv代表中介變量
  • absorb代表回歸模型要吸收的固定效應(yīng)元素，和reghdfe命令中的定義相同
  • cv代表控制變量
  • mo代表調(diào)節(jié)變量
  • mo_value代表?xiàng)l件中介效應(yīng)計(jì)算過程中調(diào)節(jié)變量的取值大小
  • center決定了在引入條件效應(yīng)后對(duì)交互項(xiàng)中的變量進(jìn)行去均值的中心化處理
  • cluster用于調(diào)整回歸模型的標(biāo)準(zhǔn)誤，和reghdfe命令中的定義相同
  • type的取值分別為1、2 和 3，控制了調(diào)節(jié)效應(yīng)發(fā)生的階段；1 代表前半段調(diào)節(jié)，即在X → M → Y的路徑中，僅X → M環(huán)節(jié)受到 mo 的調(diào)節(jié)；2 代表后半段調(diào)節(jié)，即在X → M → Y的路徑中，僅M → Y環(huán)節(jié)受到 mo 的調(diào)節(jié)；3 則代表全過程調(diào)節(jié)，即X → M和M → Y均受到 mo 的調(diào)節(jié)。

命令medtest會(huì)返回：總效應(yīng)（te）、間接效應(yīng)（ide）、中介效應(yīng)（me）以及中介效應(yīng)占總效應(yīng)的比例（me/te）等結(jié)果。同時(shí)，為便于大家查看中間的回歸結(jié)果，我們通過est store m(i), i = 1, 2, 3保存了回歸模型結(jié)果，可通過esttab、outreg2命令進(jìn)行調(diào)用展示。

特別注意，命令medtest并未給出中介效應(yīng)（me）的顯著性檢驗(yàn)結(jié)果，使用者可通過下述命令得到具體的顯著性檢驗(yàn)結(jié)果：

bootstrap me = r(me), rep(numeric) seed(numeric): ///
medtest depvar, 
            iv(string) mv(string) absorb(string) 
            [cv(string) mo(string) mo_value(numeric)
              center type(numeric) cluster(string)]

其中，rep代表 bootstrap 的次數(shù)，建議設(shè)定時(shí)大于 1000 次；seed代表重復(fù)抽樣時(shí)隨機(jī)種子，通過設(shè)定該屬性可控制結(jié)果的重復(fù)性。///為連接符號(hào)，避免語句太長(zhǎng)而進(jìn)行了斷行處理，medtest中的參數(shù)根據(jù)具體需求進(jìn)行設(shè)置。

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