定位算法研究記錄-第一階段

定位算法研究記錄-第一階段

基本介紹

背景

在核設(shè)施退役過程中，放射源定位是一個(gè)重要的技術(shù)手段。

本研究關(guān)注放射源定位的數(shù)學(xué)算法。由于數(shù)學(xué)算法與放射性測量設(shè)備相關(guān)，本研究中，重點(diǎn)關(guān)注以下幾個(gè)方向，首先是關(guān)注\gamma射線探測器，這意味著放射源的定位通過觀測\gamma射線來達(dá)成，\gamma射線探測器是觀測系統(tǒng)的核心部件之一。其次是無準(zhǔn)直的\gamma射線探測器，也就是可以同時(shí)測量來自各個(gè)方向的\gamma射線，或者稱為能在空間上進(jìn)行4\pi?立體角探測的測量系統(tǒng)，也可以稱為無視角場(Field of View, FOV)，對應(yīng)的是有視角場的探測器，這類探測器的特點(diǎn)是能對前方一定視角的區(qū)域成像。再次是未知數(shù)量放射源，意思是待定位放射源的數(shù)量不能在觀測開始之前確定，被觀測的環(huán)境中可能出現(xiàn)任何數(shù)量的放射源，如單一放射源(Orphan Source)或者多個(gè)放射源，相比于確定數(shù)量放射源的情況，這種未知數(shù)量放射源的情況往往需要更加復(fù)雜的算法支持.

定位的目標(biāo)介紹

放射源坐標(biāo)是定位的最本質(zhì)的目標(biāo)，但由于不同活度、半衰期、多放射源、放射源移動、地圖材料不確定等條件的引入，每一個(gè)條件都會影響探測器的觀測，致使定位問題復(fù)雜化。因此，為了能夠獲得放射源的坐標(biāo)，需要加入對活度、半衰期、放射源數(shù)量、放射源移動速度等的考慮。

數(shù)學(xué)上就是指建立有關(guān)上述所有因素的模型，在概率學(xué)派和貝葉斯學(xué)派中，就是指建立一個(gè)概率模型，并且是一個(gè)將上述所有因素作為函數(shù)的概率模型。由于探測器對光子的觀測符合泊松分布，概率模型通常使用泊松分布建立，這個(gè)泊松分布所對應(yīng)的概率通常被用來構(gòu)建與放射源數(shù)量的關(guān)系。同時(shí)，光子在材料中發(fā)生的康普頓散射、光電效應(yīng)、電子對效應(yīng)等相互作用，綜合起來符合指數(shù)衰減規(guī)律，宏觀上，光子數(shù)量與放射源到探測器的距離呈平方反比關(guān)系(inverse proportional to the square distance from a srouce to a detector)。而這里的距離就被用來構(gòu)建與放射源活度、放射源坐標(biāo)、移動速度、地圖材料等因素的關(guān)系。

值得一提的是，針對放射源移動的研究較少，在少量研究文獻(xiàn)中，Morelande(2009)針對多放射源的移動情況，使用貝葉斯估計(jì)構(gòu)造了概率模型，并配合蒙特卡洛方法進(jìn)行求解。

定位的數(shù)學(xué)模型介紹

文獻(xiàn)資料中報(bào)道的定位算法有三邊定位(Trilateration)、極大似然估計(jì)方法、貝葉斯估計(jì)方法等。

三邊定位

三邊定位(Trilateration)法是一種幾何方法，依靠每一個(gè)探測器建立一個(gè)測量圓，綜合考慮所有測量圓的交叉情況，估計(jì)出最合適的放射源坐標(biāo)。Liu(2010)對這個(gè)方法進(jìn)行過介紹，而且這篇論文是針對定位方法的一片綜述性文章，有參考價(jià)值。

接下來介紹的方法，其基本原理是將放射源定位的目標(biāo)，如數(shù)量、坐標(biāo)、強(qiáng)度等，視作參數(shù)，配合統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域的參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行求解。典型的方法包括極大似然估計(jì)、貝葉斯估計(jì)。參數(shù)估計(jì)視數(shù)量、坐標(biāo)、強(qiáng)度等信息為三個(gè)參數(shù)，它們具有等同的重要性。

頻率學(xué)派-極大似然估計(jì)

極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation, MLE)是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)思想，Morelande(2007)、Liu(2016)等對放射源定位問題使用了MLE方法進(jìn)行研究。其中，Morelande(2007)提出使用克拉美-羅界限(Cramer-Rao bound, CRB)來評價(jià)估計(jì)方法的性能。

極大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimation, MLE)中，最大期望法(Maximum Liklihood Expectation Maximumzation, MLEM)對多放射源同時(shí)定位有很好的效果，尤其是以放射源數(shù)量未知為前提的定位研究中，MLEM算法十分有效。歷史上，MLEM方法首先被應(yīng)用在計(jì)算機(jī)斷層掃描(CT)中，作為呈像算法使用。

貝葉斯學(xué)派-貝葉斯估計(jì)

貝葉斯估計(jì)考慮了方案(假設(shè))的分布，這個(gè)分布是在問題開始之前就獲得的，也就是術(shù)語"先驗(yàn)分布"(Priori)。由于Lindley's paradox的存在，貝葉斯估計(jì)經(jīng)常被頻率學(xué)派攻擊。

貝葉斯估計(jì)是一類方法，它們以貝葉斯估計(jì)為基礎(chǔ)，通過引入分類算法、PCA等等方法來提升估計(jì)效果。貝葉斯估計(jì)的特點(diǎn)是提供并不斷更新放射源的概率分布地圖。Howse(2001)是比較早期的使用MLE方法的文獻(xiàn)記錄；Tandon(2015, 2016)在貝葉斯估計(jì)的基礎(chǔ)上引入了大量算法，提出了所謂Bayesian Aggregation(BA，貝葉斯聚合)的方法，但是Tandon的定位算法可能非常粗糙，需要具體閱讀其博士論文。

馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)，馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法)被用來解決貝葉斯估計(jì)所構(gòu)造的數(shù)學(xué)問題，Morelande(2007)、Bukartas(2019)、Hite(2019a)、Hite(2019b)、王明生(2019)等以這個(gè)方法配合貝葉斯估計(jì)，達(dá)成放射源定位的目標(biāo)。

粒子濾波(Particle Filter)方法，是以貝葉斯估計(jì)為基礎(chǔ)的另一種求解方法。Rao(2015)使用粒子濾波進(jìn)行了放射源定位的研究。

定位的數(shù)學(xué)求解介紹

定位的數(shù)學(xué)模型構(gòu)造了數(shù)學(xué)問題，針對這些問題的求解方法有許多可供選擇，可以分為數(shù)值方法和統(tǒng)計(jì)方法兩類。

數(shù)值方法可以分為全局優(yōu)化方法和局部優(yōu)化方法。

全局優(yōu)化方法在Stefanescu(2017)的4.1節(jié)中列舉了，包括模擬退火(Simulating Annealing, SA)算法，粒子群(Particle swarm)算法，遺傳算法(Genetic algorithm)。

局部優(yōu)化方法主要指Implicit Filtering。

數(shù)值方法-最小二乘估計(jì)

最小二乘估計(jì)法，依靠測量數(shù)據(jù)與放射源坐標(biāo)、強(qiáng)度的指數(shù)衰減關(guān)系，構(gòu)造矩陣。矩陣方程型如AX=B，其中，A是衰減系數(shù)矩陣，每一個(gè)矩陣元素代表光子從對應(yīng)位置的放射源發(fā)射，直至被對應(yīng)位置的探測器接收，這一個(gè)路程中所發(fā)生衰減的比例，主要由光子在材料中的指數(shù)衰減過程貢獻(xiàn)；B是測量樣本矩陣，列向量，為已知數(shù)據(jù)；X是每一個(gè)坐標(biāo)像素中的放射源強(qiáng)度，為未知數(shù)據(jù)，是帶求解量。X可以通過最小二乘估計(jì)進(jìn)行求解。

更加側(cè)重?cái)?shù)學(xué)意義的表現(xiàn)，估計(jì)不能這么解。

局部優(yōu)化方法-Implicit Filtering 非線性優(yōu)化

非線性優(yōu)化方法是一種最優(yōu)解尋找的算法，是一種通用方法。我計(jì)劃將放射源定位問題進(jìn)行抽象，并構(gòu)造為一個(gè)優(yōu)化問題，將放射源的位置、強(qiáng)度等抽象為帶求解量，找到若干合適的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)造代價(jià)函數(shù)，并使用非線性優(yōu)化方法進(jìn)行求解。非線性優(yōu)化方法的分支很多，一階梯度下降法是最基本的方法，二階梯度下降方法提升了計(jì)算精度，牛頓-高斯法、Levenberg-Marquardt法更加適合實(shí)際應(yīng)用。

缺點(diǎn)是可能得到局部最優(yōu)解。

全局優(yōu)化方法-蒙特卡羅方法

蒙特卡羅(Monte Carlo, MC)方法，基本靠猜，只要計(jì)算時(shí)間夠，總能碰到最優(yōu)解。

全局優(yōu)化方法-模擬退火

數(shù)值方法可能被局部最優(yōu)解干擾，導(dǎo)致估計(jì)結(jié)果并非全局最優(yōu)解。模擬退火方法是一個(gè)可以找到全局最優(yōu)解的數(shù)值方法，稱為全局優(yōu)化方法，Global Optimization Technique。

Stefanescu(2017)以局部退火方法確定了包含全局最優(yōu)解的粗略范圍，再配合其他方法進(jìn)行精確求解。具體而言，Stefanescu(2017)使用的是一種適應(yīng)性的模擬退火方法(An Adaptive SA Algorithm)。

定位問題解的評價(jià)

放射源的定位研究可以分為兩個(gè)部分，第一部分是放射源分布方案的獲取，第二部分是方案的評價(jià)。前導(dǎo)研究重點(diǎn)介紹方案的評價(jià)方法。

統(tǒng)計(jì)學(xué)上，方案就是似然函數(shù)，或者說以似然函數(shù)來描述方案，在進(jìn)行極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì)時(shí)，都默認(rèn)似然函數(shù)已經(jīng)獲得。由此，將似然函數(shù)的數(shù)學(xué)構(gòu)造從統(tǒng)計(jì)學(xué)方法中提取出來，成為定位研究的前導(dǎo)之一。

探測器響應(yīng)模型

放射源定位的研究目標(biāo)中，放射源的數(shù)量、位置和強(qiáng)度是提及頻率最高的，為了不失一般性，本研究同樣以這三個(gè)變量定位研究目標(biāo)。

\gamma射線從放射源發(fā)出，到被探測器接收并被響應(yīng)，這個(gè)過程可以分為三部分，并統(tǒng)一使用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識進(jìn)行描述。第一部分是\gamma射線在飛行過程中的衰減過程，第二部分是\gamma進(jìn)入探測器的有效探測面，第三部分是\gamma被探測器響應(yīng)。

第一部分與介于放射源和探測器之間的介質(zhì)有關(guān)，使用指數(shù)衰減模型進(jìn)行描述。

設(shè)定，探測器總數(shù)為N_D，探測器的編號以D為標(biāo)志，坐標(biāo)使用三元向量描述，第i個(gè)探測器的坐標(biāo)為\boldsymbol{r}_{Di}。

設(shè)定，放射源的總數(shù)為N_S，放射源的編號以S為標(biāo)志，第i個(gè)放射源的坐標(biāo)為\boldsymbol{r}_{Si}、放射性強(qiáng)度為I_{Si}。

設(shè)定，\gamma射線在材料中的衰減過程為指數(shù)衰減，衰減系數(shù)為\mu({\boldsymbol{r})}，總宏觀界面(the total macroscopic cross sections of material)為\Sigma(\boldsymbol{r})，\boldsymbol{r}表示某一指定位置，這樣設(shè)置是考慮到在放射源與探測器之間，存在各種介質(zhì)，比如空氣、混凝土墻壁、樹木、土壤等等，不同介質(zhì)對\gamma射線的衰減效應(yīng)不同。dis(\boldsymbol{r})表示向量\boldsymbol{r}的距離，也就是\boldsymbol{r}?的二范數(shù)。
I_{attenuated,Si,Di}= I_{Si} \cdot exp({- \int_{Si}^{Di} \mu({\boldsymbol{r}}) \cdot \rho({\boldsymbol{r}}}) \cdot \rmu0z1t8os(dis(\boldsymbol{r}))) \\ I_{attenuated,Si,Di}= I_{Si} \cdot exp({- \int_{Si}^{Di} \Sigma({\boldsymbol{r}}}) \cdot \rmu0z1t8os(dis(\boldsymbol{r})))
第二部分與探測器有效探測面積有關(guān)。默認(rèn)放射源發(fā)射粒子的方向是各向同性，在三維空間中，也就是4\pi方向發(fā)射。探測器與放射源距離為dis(Di,Si)，探測器的有效探測面積為A_{Di}，設(shè)定探測器的有效探測面的法線平行于探測器與放射源的連線\boldsymbol{r_{Si}}-\boldsymbol{r_{Di}}，則所有釋放出來的光子中，可以進(jìn)入探測器有效探測面的數(shù)量I_{Si,Di}?表示如下。
I_{attenuatedAndGeo,Si,Di} = I_{attenuated,Si,Di} \cdot \frac{A_{Di}}{4\pi \left\| \boldsymbol{r_{Si}}-\boldsymbol{r_{Di}} \right\|_2^2}
第三部分與探測器的固有探測效率有關(guān)。并不是所有進(jìn)入探測器的光子都能被探測器探測，對于一個(gè)能量的光子，探測器能夠探測到的光子數(shù)量比例是一個(gè)固定值，稱為固有探測效率，以\epsilon_{Di}表示。被第i個(gè)探測器測量到的光子數(shù)量I_{Di}?表示如下。
I_{Di,Si,Expected} = I_{attenuatedAndGeo,Si,Di} \cdot \epsilon_{Di}
綜合上面三個(gè)部分，從第i個(gè)放射源釋放的\gamma?光子，能夠被第i個(gè)探測器測量到的數(shù)量I_{Di}?表示如下。
I_{Di,Si,Expected} = I_{Si} \cdot exp({- \int_{Si}^{Di} \Sigma({\boldsymbol{r}}}) \cdot \rmu0z1t8os(dis(\boldsymbol{r})))\cdot \frac{A_{Di}}{4\pi \left\| \boldsymbol{r_{Si}}-\boldsymbol{r_{Di}} \right\|_2^2} \cdot \epsilon_{Di}

泊松分布和光子的觀測概率模型

本研究中，一個(gè)探測器對一個(gè)放射源的觀測過程，是這個(gè)探測器對若干光子的響應(yīng)過程。每一個(gè)光子被探測器響應(yīng)遵循二項(xiàng)分布，對于大量光子入射探測器的情況，探測器對某一數(shù)量的光子產(chǎn)生響應(yīng)的概率過程遵循泊松分布，以Poisson表示。本節(jié)以單放射源單探測器觀測的情況為例，對概率模型的建立進(jìn)行介紹。

設(shè)定只有一個(gè)探測器和一個(gè)放射源存在，探測器選用第Di個(gè)，放射源選用第Si個(gè)。來自第Di個(gè)放射源，并且被第Si個(gè)探測器響應(yīng)的光子數(shù)量為I_{Di,Si}，那么真實(shí)情況下，這個(gè)探測器的響應(yīng)數(shù)量I_{Di,Si,Observed}不一定正好是I_{Di,Si}，而是一個(gè)以I_{Di,Si}?為期望的泊松分布。

仍然遵守本節(jié)內(nèi)前文的設(shè)定，若第Di個(gè)探測器對第Si個(gè)放射源的響應(yīng)數(shù)量，也就是觀測到的\gamma?光子數(shù)量為I_{Di,Si,Observed}?，而理論上應(yīng)該觀測到的數(shù)量為I_{Di,Si,Expected}?，這種事件的發(fā)生概率可以使用泊松分布進(jìn)行計(jì)算。
P(\boldsymbol r_{Si},I_{Si}|Obs_{Di}) \equiv Poisson(I_{Di,Si,Observed},I_{Di,Si,Expected})

P(\boldsymbol r_{Si},I_{Si}|Obs_{Di}) = \frac{{I_{Di,Si,Expected}}^{I_{Di,Si,Observed}}}{I_{Di,Si,Observed}!} \cdot e^{-I_{Di,Si,Expected}}

單放射源多探測器觀測的概率模型

若環(huán)境中仍然只有一個(gè)放射源，但將探測器的數(shù)量增加，并且分布于環(huán)境中的不同位置。假設(shè)經(jīng)過一次觀測，則每一臺探測器都有一個(gè)屬于自己的觀測數(shù)值，也就是對\gamma?光子的響應(yīng)次數(shù)。設(shè)定，放射源編號Si；探測器編號從D0開始，至DN；編號為Di的探測器，所觀測到的響應(yīng)次數(shù)為I_{Di,Si,Observed}?，理論上這臺探測器的響應(yīng)次數(shù)為I_{Di,Si,Expected}?。對于這種設(shè)定下的觀測結(jié)果，可以將每一個(gè)探測器的觀測事件發(fā)生概率進(jìn)行累積，并且以乘法的方式累積，用以表示本次觀測的總概率P(\boldsymbol r_{Si},I_{Si}|Obs_{All})?，其計(jì)算方法如下。
P(\boldsymbol r_{Si},I_{Si}|Obs_{All}) = \prod_{Di=D0}^{DN} {P(\boldsymbol r_{Si},I_{Si}|Obs_{Di})}

P(\boldsymbol r_{Si},I_{Si}|Obs_{All}) = \prod_{Di=D0}^{DN} {\frac{{I_{Di,Si,Expected}}^{I_{Di,Si,Observed}}}{I_{Di,Si,Observed}!} \cdot e^{-I_{Di,Si,Expected}}}

多放射源多探測器觀測的概率模型

若環(huán)境中有多個(gè)放射源，使用多個(gè)探測器進(jìn)行觀測，概率模型將變得更加復(fù)雜一點(diǎn)。設(shè)定，放射源編號從S0開始，至SN；第Si個(gè)放射源的坐標(biāo)為\boldsymbol r_{Si}?、強(qiáng)度為I_{Si}?；探測器編號從D0開始，至DN；編號為Di的探測器，所觀測到的響應(yīng)次數(shù)為I_{Di,SAll,Observed}?，理論上這臺探測器的響應(yīng)次數(shù)為I_{Di,SAll,Expected}?。
I_{Di,SAll,Expected} = \sum_{Si=S0}^{SN} {I_{Di,Si,Expected}}
通過對照可以發(fā)現(xiàn)，這里的探測器響應(yīng)次數(shù)并不是針對某一個(gè)放射源的，而是對所有放射源的累積結(jié)果，這是因?yàn)樘綔y器并不能區(qū)分當(dāng)前觀測到的\gamma?光子是來自于哪一個(gè)放射源。其實(shí)，在一定程度上可以區(qū)分，比如采用具有能量分辨能力的探測器，如閃爍體型探測器、半導(dǎo)體型探測器，這屬于本研究的一個(gè)細(xì)分領(lǐng)域，且不與本研究沖突，暫不討論。

假設(shè)在一次觀測之后，分析得到了一種放射源分布和探測器觀測的方案，編號為Plani。這種方案包含了兩個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容，一個(gè)是放射源領(lǐng)域，具體包括方案內(nèi)每一個(gè)放射源的坐標(biāo)和強(qiáng)度；另一個(gè)是探測器領(lǐng)域，具體包括一個(gè)探測器的響應(yīng)次數(shù)分別對應(yīng)到每一個(gè)放射源上的貢獻(xiàn)值，也就是每一個(gè)放射源在該探測器上的響應(yīng)次數(shù)。例如，對編號為Di的探測器而言，其觀測值是I_{Di,SAll,Expected}?，其中來自編號為Si放射源的響應(yīng)次數(shù)為I_{Di,Si,Observed}?。

那么，編號為Plani的方案發(fā)生的概率表示為P(\boldsymbol r_{SAll},I_{SAll}|Obs_{All,Plani})?。
P(\boldsymbol r_{SAll},I_{SAll}|Obs_{All,Plani}) = \prod_{Di=D0}^{DN} \prod_{Si=S0}^{SN} {\frac{{I_{Di,Si,Expected}}^{I_{Di,Si,Observed}}}{I_{Di,Si,Observed}!} \cdot e^{-I_{Di,Si,Expected}}}

似然函數(shù)

似然函數(shù)是概率統(tǒng)計(jì)下貝葉斯估計(jì)中的一個(gè)名詞，結(jié)合本文的研究背景，似然函數(shù)是以探測器的所有觀測結(jié)果Obs為條件，第i個(gè)備選方案Plani為結(jié)果的概率函數(shù)，以P(\boldsymbol r_{SAll},I_{SAll}|Obs_{All,Plani})或者{\cal{L}}_{Obs,Plani}({\boldsymbol r}_{SAll},I_{SAll})表示，其中的\boldsymbol r表示所有放射源坐標(biāo)的集合，I同理，表示所有放射源強(qiáng)度的集合。

所謂"放射源坐標(biāo)的集合"，實(shí)際上就是每一個(gè)放射源的坐標(biāo)的集合，每一個(gè)放射源指當(dāng)前方案Plani內(nèi)包括的所有放射源。數(shù)學(xué)上，可以將一個(gè)放射源的坐標(biāo)\boldsymbol r_{Si}視作一個(gè)1 \times 3矩陣，將所有坐標(biāo)縱向排列，形成一個(gè)SN \times 3矩陣。

設(shè)定，放射源的備選方案包括放射源總數(shù)量SN，每一個(gè)放射源的位置\boldsymbol r_{Si}和強(qiáng)度I_{Si}?。
\boldsymbol r \equiv {\boldsymbol r}_{All} = \{ {\boldsymbol r_{S0}}, \dots, {\boldsymbol r_{Si}}, \dots, {\boldsymbol r_{SN-1}} \}

I \equiv I_{All} = \{ {I_{S0}}, \dots, {I_{Si}}, \dots, {I_{SN-1}} \}

參考上文可以發(fā)現(xiàn)，這里的似然函數(shù)就是編號為Plani的方案的發(fā)生概率，P(\boldsymbol r_{SAll},I_{SAll}|Obs_{All,Plani})?。
{\cal{L}}_{Obs,Plani}(\boldsymbol r,I) \equiv P(\boldsymbol r_{SAll},I_{SAll}|Obs_{All,Plani})
在一個(gè)放射源定位問題的研究中，會出現(xiàn)若干備選方案。這里為每一個(gè)方案設(shè)定編號，從Plan0開始，至Plan(N-1)。最優(yōu)解存在于這些方案之中。根據(jù)本節(jié)開頭的描述，每一個(gè)方都對應(yīng)一個(gè)似然函數(shù)，第i個(gè)方案的似然函數(shù)表示如下。
{\cal{L}}_{Obs,Plani}(\boldsymbol r,I) \equiv P(\boldsymbol r_{SAll},I_{SAll}|Obs_{All,Plani}) = \prod_{Di=D0}^{DN-1} \prod_{Si=S0}^{SN-1} {\frac{{I_{Di,Si,Expected}}^{I_{Di,Si,Observed}}}{I_{Di,Si,Observed}!} \cdot e^{-I_{Di,Si,Expected}}}

方案的評價(jià)

方案，在本研究背景下指放射源的分布方案。每一種方案的優(yōu)劣，可以理解為一種適配程度，是針對探測器的觀測結(jié)果的，因此方案的優(yōu)劣可以表述成當(dāng)前這種方案對觀測結(jié)果的適配程度。所謂適配程度，可以理解為某一種分布下的概率值，這個(gè)分布由當(dāng)前方案構(gòu)造出，形式不唯一，由研究者設(shè)計(jì)和選擇，頻率學(xué)派的似然函數(shù)和貝葉斯學(xué)派的后驗(yàn)概率都可以作為這里的分布使用。以頻率學(xué)派的似然函數(shù)為例，對單放射源單探測器情況而言，其分布就是它們所構(gòu)造出的泊松分布，而對多放射源多探測器情況而言，也就是各個(gè)探測器所對應(yīng)的泊松分布之積。

定位問題細(xì)化

前文中所說的方案，就是本研究的目標(biāo)，眾多方案中的最優(yōu)方案就是定位問題的解。但是，在前導(dǎo)研究中，只說明了在已獲得方案的基礎(chǔ)上，如何評價(jià)每一個(gè)方案，并未說明方案的獲得方法。這是因?yàn)楸狙芯繉⒍ㄎ粏栴}劃分為方案的獲取和方案的評價(jià)，前導(dǎo)研究中主要針對第二個(gè)部分進(jìn)行介紹，而第一部分，也就是方案的獲取，將在后文介紹。

定位問題的構(gòu)造和求解

極大似然估計(jì)(MLE)

數(shù)學(xué)問題的構(gòu)造

極大似然估計(jì)通過將似然(Likelihood)函數(shù)最大化的方法，尋找最合適的解。在放射源定位中，似然函數(shù)簡單說就是探測器接收到放射源的概率。但是，極大似然估計(jì)只是在構(gòu)造數(shù)學(xué)問題，并不提供求解方法。因此，還需要配合數(shù)學(xué)求解方法，才能進(jìn)行極大似然估計(jì)。求解的方法有很多，MLEM方法是其中研究比較多的，但為了簡明表達(dá)，先從極大似然的定義本身出發(fā)，介紹一種最本質(zhì)的求解方法。

數(shù)學(xué)問題的求解-原理性求解

MLE最本質(zhì)的求解方法，可以從離散和連續(xù)兩種角度出發(fā)，其中離散的角度最簡單，因此這里從離散角度考慮MLE問題。由于坐標(biāo)和活度是一個(gè)放射源的基本信息，而環(huán)境中放射源數(shù)量未知，我們可以不失一般性地設(shè)定放射源定位問題的目標(biāo)是確定放射源的數(shù)量、坐標(biāo)和活度。現(xiàn)在假設(shè)已經(jīng)有若干種備選方案誕生，并且其中一種方案就是真實(shí)情況。那么由于備選方案有多種，每一種方案都有一個(gè)似然函數(shù)，通過比較所有這些似然函數(shù)的值，也就是概率，找到最大概率，再找到對應(yīng)這個(gè)最大概率的方案，就認(rèn)為這個(gè)方案是最合適的解。

從貝葉斯的角度(Beyasian perspective)來看，極大似然估計(jì)就是一個(gè)先驗(yàn)為均勻分布的貝葉斯估計(jì)。

數(shù)學(xué)問題的求解-最大期望法MLEM

最大期望法，簡稱MLEM方法，以極大似然估計(jì)方法構(gòu)造的數(shù)學(xué)問題為基礎(chǔ)，通過一種迭代的方法進(jìn)行求解，這種迭代方法被稱為最大期望(EM)法。

貝葉斯估計(jì)

數(shù)學(xué)問題的求解-馬爾可夫鏈蒙特卡洛方法(MCMC)

通過使用貝葉斯公式來構(gòu)造有關(guān)放射源的概率方程。王明生(2019)以放射源數(shù)量已知為前提，一定程度地簡化了數(shù)學(xué)問題。

放射源定位范例-單放射源極大似然估計(jì)

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