1、關(guān)于理發(fā)師悖論

在一個(gè)村子里有一位理發(fā)師，這位理發(fā)師聲稱(chēng)：“給而且只給那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)”?，F(xiàn)在問(wèn)理發(fā)師是否要給自己理發(fā)。如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，那么根據(jù)定義，他要給自己理發(fā)；如果理發(fā)師給自己理發(fā)，那么根據(jù)定義，他不能給自己理發(fā)。這就是著名的“理發(fā)師悖論”。

當(dāng)前主流的解悖方案是蒯因的方案。蒯因的論證過(guò)程：假設(shè)村子里有如此一位理發(fā)師。如果他要給自己理發(fā)，根據(jù)他的規(guī)則，他不給自己理發(fā)。如果他不給自己理發(fā)，根據(jù)他的規(guī)則，他要給自己理發(fā)。矛盾。因此假設(shè)不成立，如此一位理發(fā)師不存在。

這個(gè)論證過(guò)程是錯(cuò)誤的，因?yàn)槊懿⒉皇莵?lái)源于理發(fā)師存在這個(gè)前提。其實(shí)，理發(fā)師給出的規(guī)則對(duì)于“理發(fā)師要不要給自己理發(fā)” 沒(méi)有定義，只是給出了一個(gè)矛盾式。如果認(rèn)為存在定義，就會(huì)產(chǎn)生矛盾。這才是矛盾的根源。所以，矛盾說(shuō)明的是理發(fā)師并沒(méi)有為“是否給自己理發(fā)”給出規(guī)則。如何解決呢？很簡(jiǎn)單，關(guān)于“理發(fā)師是否給自己理發(fā)”，理發(fā)師可以再制定一個(gè)新規(guī)則。

2、維氏對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)家更多是在發(fā)明

從羅素時(shí)代至今，很多學(xué)者會(huì)認(rèn)為數(shù)學(xué)家的工作是在發(fā)現(xiàn)真理。但在維氏看來(lái)，數(shù)學(xué)家的工作更多的是在發(fā)明。

維特根斯坦反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)家不是發(fā)現(xiàn)者，而是發(fā)明者?！保终f(shuō)“數(shù)學(xué)家一直在發(fā)明新的描述形式。有的人受實(shí)際需要的刺激，另一些人出自審美需要，還有些人以其他種種方式。”

數(shù)學(xué)家的工作與純邏輯家的工作不同，他們并不只是進(jìn)行分析與推理，更重要的是進(jìn)行綜合與創(chuàng)造，歐氏幾何與非歐氏幾何的公理都是綜合與創(chuàng)造。當(dāng)數(shù)學(xué)家在概念框架內(nèi)推演定理，他們是在進(jìn)行分析與推理，這時(shí)候比較接近于“發(fā)現(xiàn)”。當(dāng)數(shù)學(xué)家在給出定義、公理與概念框架的時(shí)候，他們是在綜合與創(chuàng)造，這時(shí)候比較適用于“發(fā)明”。

所謂的發(fā)現(xiàn)觀，就是數(shù)學(xué)理論本來(lái)就在那里，就像是客觀真理或者上帝旨意，而數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了它。所謂的發(fā)明觀，就是數(shù)學(xué)理論本來(lái)是沒(méi)有的，數(shù)學(xué)家發(fā)明了它構(gòu)造了它甚至可以改變它。

3、關(guān)于羅素悖論

理發(fā)師悖論可以表達(dá)成集合論的形式，就是羅素悖論。

R={x | x不屬于x }，然后現(xiàn)在問(wèn)R是否屬于R。如果R不屬于R，那么根據(jù)定義，R屬于R；如果R屬于R，那么根據(jù)定義，R不屬于R。

基于這兩種不同的數(shù)學(xué)哲學(xué)基礎(chǔ)，面對(duì)悖論問(wèn)題時(shí)，可以得出很不相同的分析方式和解決方式。一百年前出現(xiàn)羅素悖論的時(shí)候，數(shù)學(xué)家們普通接受“發(fā)現(xiàn)”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)，當(dāng)數(shù)學(xué)出現(xiàn)悖論的時(shí)候，就覺(jué)得天塌下來(lái)了：我的上帝，是不是客觀真理出問(wèn)題了，或者上帝旨意出問(wèn)題了？如果是以維氏“發(fā)明”的數(shù)學(xué)哲學(xué)觀點(diǎn)，就覺(jué)得沒(méi)有什么大不了的，根本不是客觀真理出問(wèn)題了，而是數(shù)學(xué)家主觀觀念出問(wèn)題了。數(shù)學(xué)家構(gòu)造的規(guī)則矛盾了，在矛盾的地方再構(gòu)造一個(gè)新規(guī)則就是了。

舉個(gè)例子，就像一開(kāi)始根據(jù)乘法來(lái)定義除法a/b=c iff a=b*c，就會(huì)得出0/0=2=3這樣的矛盾。怎么解決這里的矛盾呢？難道要取消所有的除法？當(dāng)然不是了，只需要在矛盾的地方重新定義一下：0不能作除數(shù)。瞧，問(wèn)題就解決了。

那么，具體到羅素悖論，如何分析和解決呢？很簡(jiǎn)單，R是數(shù)學(xué)家發(fā)明構(gòu)造的，數(shù)學(xué)家給出的規(guī)則對(duì)于“R是否屬于R” 給出了一個(gè)矛盾式的規(guī)則，相當(dāng)于沒(méi)有定義。沒(méi)有定義起碼有三種可能性：缺少定義，重言定義，矛盾定義。例如對(duì)于變量x沒(méi)有任何定義，這是缺少定義；對(duì)于x定義為x，這是重言定義；對(duì)于x定義為（x=0 if x=1 and x=1 if x=0），這是矛盾定義。這三種定義，都沒(méi)有給出正確的定義。

那么，如何解決羅素悖論呢？很簡(jiǎn)單，對(duì)于“R是否屬于R”此處進(jìn)行重新定義，屬于不屬于都可以，或者說(shuō)此處沒(méi)有意義也可以。數(shù)學(xué)家構(gòu)造的理論出現(xiàn)矛盾了，就像人們講話(huà)出現(xiàn)了矛盾了一樣，解決的方法很簡(jiǎn)單：“對(duì)不起，我沒(méi)有注意到這里有矛盾，我重新說(shuō)明一下，此處應(yīng)該是如此如此。。?！?/b>

如果你認(rèn)為數(shù)學(xué)家是在發(fā)現(xiàn)客觀真理，那么你就不會(huì)接受維氏的分析和解決。如果你認(rèn)為數(shù)學(xué)家是在發(fā)明主觀理論，那么維氏的分析和解決再清楚再簡(jiǎn)單再合理不過(guò)了。

愛(ài)因斯坦說(shuō)：“我們面對(duì)的重大問(wèn)題無(wú)法在我們制造出這些問(wèn)題的思考層次上解決?！?/p>

有時(shí)候，數(shù)學(xué)的問(wèn)題，應(yīng)該在數(shù)學(xué)之外得到解決。

進(jìn)一步參閱：

1、莊朝暉，基于對(duì)角線引理和維特根斯坦思想對(duì)于悖論的分析，第六屆全國(guó)分析哲學(xué)學(xué)術(shù)研討會(huì)，山西大學(xué)，中國(guó)，2010年8月（入選《中國(guó)分析哲學(xué) 2010》，中國(guó)現(xiàn)代外國(guó)哲學(xué)學(xué)會(huì)分析哲學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)編，浙江大學(xué)出版社，2011年10月，67頁(yè)-76頁(yè)）

2、 莊朝暉，關(guān)于對(duì)角線方法和停機(jī)問(wèn)題的評(píng)論，第五屆兩岸邏輯教學(xué)與研究學(xué)術(shù)會(huì)議，重慶西南大學(xué)，2012年4月.

3、莊朝暉，基于直覺(jué)主義對(duì)哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼脑u(píng)論，《廈門(mén)大學(xué)學(xué)報(bào)（哲社版）》，第2期，2008（并以此文獲得首屆洪謙哲學(xué)論文獎(jiǎng)）