在之前的幾篇文章中，我們介紹了非線性有限元分析中的超彈模型，同時(shí)也詳細(xì)介紹了Arruda-Boyce和neo-Hookean兩個(gè)經(jīng)典模型。今天我們就來(lái)介紹另一個(gè)經(jīng)典的超彈模型：Mooney-Rivlin。

Mooney-Rivlin分別以兩位力學(xué)家M. Mooney和R. S. Rivlin的姓氏組合來(lái)命名。1940 年，Mooney在著名的Journal of Applied Physics期刊發(fā)表一篇名為A theory of large elastic deformation的論文，8年后的1948年，Rivlin在Philosophical Transactions of the Royal Society of London期刊上發(fā)表了名為L(zhǎng)arge elastic deformations of isotropic materials的文章。于是就有了今天的Mooney-Rivlin模型，曾一度統(tǒng)領(lǐng)橡膠力學(xué)研究的整壁江山。同時(shí)，也為其他以應(yīng)變張量不變量（invariant）為核心的模型奠定了基礎(chǔ)。另一類超彈模型是以主拉伸（principal stretches）為核心的模型，如Ogden模型，我們會(huì)在以后的文章中介紹到。

1893年，Mooney出生于美國(guó)密蘇里州的堪薩斯城，24歲時(shí)獲得密蘇里大學(xué)的本科學(xué)位，30歲時(shí)獲得芝加哥大學(xué)的博士學(xué)位。曾是美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)的的會(huì)士（National Research Council Fellow）,也曾經(jīng)在西部電氣公司和美國(guó)橡膠公司擔(dān)任物理學(xué)家。和我們之前介紹的Rivlin一樣，Mooney博士將一生的工作和研究都貢獻(xiàn)給了高分子材料力學(xué)。當(dāng)然Mooney要比Rivlin年長(zhǎng)個(gè)20多歲。關(guān)于Rivlin博士已經(jīng)在上一篇文章中有介紹，這里就不再贅述了。

和其他超彈模型一樣，我們用彈性應(yīng)變能來(lái)表征力學(xué)性能。Mooney-Rivlin根據(jù)階數(shù)高低，常見(jiàn)的有4種：2參數(shù)，3參數(shù)，5參數(shù)，和9參數(shù)應(yīng)變能。

Mooney-Rivlin 2參數(shù)的彈性應(yīng)變能為：

Mooney-Rivlin 3參數(shù)的彈性應(yīng)變能為：

Mooney-Rivlin 5參數(shù)的彈性應(yīng)變能為：

Mooney-Rivlin 9參數(shù)的彈性應(yīng)變能為：

從上面的4個(gè)彈性應(yīng)變能公式可以看出：

1. 高階數(shù)的應(yīng)變能模型可以模擬更加復(fù)雜的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，但也意味著需要更多的計(jì)算量，實(shí)驗(yàn)，以及參數(shù)擬合。同時(shí)增加了非線性求解器的負(fù)擔(dān)，可能會(huì)導(dǎo)致更難收斂。

2. Mooney-Rivlin模型是多項(xiàng)式（Polynomial）模型的特殊形式。當(dāng)N=1時(shí)，多項(xiàng)式模型縮減為2參數(shù)Mooney-Rivlin，當(dāng)N=2時(shí)，多項(xiàng)式模型縮減為5參數(shù)Mooney-Rivlin；當(dāng)N=3時(shí)，多項(xiàng)式模型縮減為9參數(shù)Mooney-Rivlin。

3. 2參數(shù)模型中，當(dāng)參數(shù)C01為零時(shí)，簡(jiǎn)化為Neo-Hookean模型（C10系數(shù)2倍關(guān)系）。非零的C01項(xiàng)使得單軸拉伸受力下的變形預(yù)測(cè)更為準(zhǔn)確，但該模型還不能準(zhǔn)確模擬多軸受力數(shù)據(jù)?；蛘哂赡撤N變形試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，不能用來(lái)預(yù)測(cè)其它類型的變形。

4. 2參數(shù)模型的剪切模量為定常系數(shù)\mu=2（C10+C01），不適合用來(lái)模擬炭黑填料硫化橡膠。C10和C01均為正定常數(shù)。對(duì)于大多數(shù)橡膠，C10/C01≈0.1~0.2時(shí)，在應(yīng)變150%以內(nèi)可得合理的近似。

5. 三項(xiàng)或多項(xiàng)Mooney-Rivlin模型可以描述非定常剪切模量。然而，引入高次項(xiàng)后需小心計(jì)算，因其可能會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定應(yīng)變能值，得到超出試驗(yàn)范圍的非物理結(jié)果。

應(yīng)變能函數(shù)的選用與正定性

這四種函數(shù)的Mooney-Rivlin模型實(shí)際仿真中應(yīng)該選用哪個(gè)呢？往往根據(jù)材料實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線來(lái)確定。如單曲率（沒(méi)有拐點(diǎn)）應(yīng)力應(yīng)變曲線，可以使用2或3參數(shù)。雙曲率（含有一個(gè)拐點(diǎn)）可以使用5參數(shù)。三曲率（含有2個(gè)拐點(diǎn)）可需選用9參數(shù)模型。

同時(shí)為了產(chǎn)生有效且正確的超彈材料特性，Mooney-Rivlin參數(shù)須滿足特定的正定性要求。如不能滿足這些約束條件，可能導(dǎo)致求解無(wú)法收斂。對(duì)于不同參數(shù)的Mooney-Rivlin，滿足正定性的參數(shù)約束要求如圖所示。

總體來(lái)說(shuō)，Mooney-Rivlin模型得到了廣泛的認(rèn)可和應(yīng)用。尤其是在小應(yīng)變范圍內(nèi)（0~100%拉伸和30%壓縮）能夠較好的表征橡膠材料的力學(xué)行為。不同參數(shù)的模型也提供給用戶針對(duì)不同工況更多的選擇。然而，Mooney-Rivlin也有一些局限性：

1. 不適合用于變形超過(guò)150%的工況。

2. 高階Mooney-Rivlin由于參數(shù)較多，參數(shù)相對(duì)比較難從手冊(cè)或文獻(xiàn)中獲得，需要通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合來(lái)得到。

3. 不適用于可壓縮超彈材料，如泡沫材料的分析。

4. 對(duì)所輸入數(shù)據(jù)范圍以外的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)誤差較大。

Mooney-Rivlin超彈模型的非線性有限元分析

本例中，我們將使用5參數(shù)Mooney-Rivlin對(duì)橡膠材料的壓縮狀態(tài)進(jìn)行分析。

定義Mooney-Rivlin超彈材料

這里我們模擬橡膠材料，并輸入?yún)?shù)為：C10=-0.55 MPa, C01=0.7 MPa, C20=1.7 MPa, C11=2.5 MPa, C02=-0.9 MPa, D1=0.001 MPa^-1。

建立模型

建立一個(gè)直徑為10mm，高為10mm的圓柱體。劃分網(wǎng)格。固定底部約束。并對(duì)頂部面施加向下5mm的位移。

求解

由于非線性較強(qiáng)，我們?cè)O(shè)置30個(gè)子步。并點(diǎn)擊求解按鈕。

查看結(jié)果

等效應(yīng)力分布如圖所示?？梢园l(fā)現(xiàn)在等步位移工況下，應(yīng)力呈非線性分布遞增。

下面送上操作視頻，供大家參考。