線性代數(shù)的本質(zhì)——筆記3

基變換

之前的我們都是在基向量為\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}下表示向量和線性變換。一個(gè)很自然的想法，空間中的基向量有無(wú)數(shù)組，如果選擇其他基向量作為我們的基向量，相應(yīng)地，坐標(biāo)系也會(huì)發(fā)生變動(dòng)。已知一個(gè)向量在某組基向量下的坐標(biāo)，如何表示其在另一個(gè)坐標(biāo)系（基向量）下的坐標(biāo)呢？這就涉及到基向量的相互轉(zhuǎn)換了。

1.她坐標(biāo)系向量\Rightarrow我坐標(biāo)系向量

舉個(gè)例子，我選擇了一組基向量\vec{i_1}=\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}，\vec{j_1}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}。小麗選擇了一組基向量\vec{i_2}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}，\vec{j_2}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}。上述基向量表示都是在我的坐標(biāo)系下，而以小麗的視角來(lái)看（小麗的坐標(biāo)系下），她選的基向量是\vec{i_2}=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}，\vec{j_2}=\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}。

有了上面的前提，來(lái)看問(wèn)題：

如果小麗坐標(biāo)系下有一個(gè)向量表示為\vec{u}=\begin{bmatrix}-1\\2 \end{bmatrix}，即\vec{u}=-1\vec{i_2}+2\vec{j_2}(以小麗的視角)，那么在我們的坐標(biāo)系下\vec{u}的坐標(biāo)會(huì)是什么？

如下圖所示：

小麗的向量變?yōu)槲业南蛄?/div>

在給出的條件中，我們知道了線性變換A=\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}表示將我們的基向量變換為小麗的基向量，也就是把我的坐標(biāo)系變?yōu)榱诵←惖淖鴺?biāo)系。但是，注意！

小麗的坐標(biāo)系下的向量在變換之后仍然使用我們的“語(yǔ)言”(基向量)來(lái)描述。因此，小麗坐標(biāo)系中的任一向量在進(jìn)行變換A后就變成了我“語(yǔ)言”表示的向量。

所以\vec{u}的坐標(biāo)是\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\\1\end{bmatrix}(在我的坐標(biāo)系下，用我的基向量表示)

我坐標(biāo)系表示(-1,2)

看完了上述問(wèn)題，大家可能會(huì)覺(jué)得疑惑，明明是：

Question: 小麗坐標(biāo)系下向量坐標(biāo)\Longrightarrow我坐標(biāo)系下向量坐標(biāo)

可是:
answer:我坐標(biāo)系\Longrightarrow小麗坐標(biāo)系（我的基向量表述）

大家不妨這么理解：

空間中向量想要相同，需要向量的方向和大小都相同。而坐標(biāo)系這個(gè)東西只是我們?yōu)榱朔奖阊芯慷藶槎x的，真實(shí)空間中并不存在任何坐標(biāo)系。小麗的向量\vec{u}=\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}在空間中的位置和大小都已經(jīng)確定（在她的基向量下），而小麗和我的基向量在同一個(gè)坐標(biāo)系下不相同，必然導(dǎo)致小麗的\vec{u}和我的\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}不是同一個(gè)向量。因此，要將我空間的\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}變換為小麗的\vec{u}，自然就需要進(jìn)行一個(gè)線性變換，也就是把基向量用同一坐標(biāo)系表示。這里就是把小麗的基向量轉(zhuǎn)換為我的基向量表示。

相信大家這時(shí)候開始懵逼了，怎么出現(xiàn)了我坐標(biāo)系下的\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}呢？

因?yàn)樾←愖鴺?biāo)系下的\vec{u}=\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}已經(jīng)在空間中確定好了，不管坐標(biāo)系如何變，反正\vec{u}的位置和大小不會(huì)變。而要找到\vec{u} 在我坐標(biāo)系下的表示，自然就要從我坐標(biāo)系下找一個(gè)向量(設(shè)為\vec{q})，它在經(jīng)變換后能夠與\vec{u}向量重疊。此時(shí)變換后的\vec{q}向量即是\vec{u}向量在我坐標(biāo)系下的表示。

那\vec{q}為什么偏偏是\begin{bmatrix} -1\\2 \end{bmatrix}？為什么不是其他向量經(jīng)變換后與\vec{u}重疊？

線性空間中，向量是在基向量下表示的，不管基向量怎么變，向量對(duì)基向量的縮放倍數(shù)肯定是不變的，這在之前我的筆記1中有提到。也就是說(shuō)小麗坐標(biāo)系下
\vec{u}=-1\vec{i_2}+2\vec{j_2}

它在我坐標(biāo)系下的坐標(biāo)不是\begin{bmatrix} -1\\2\end{bmatrix}，但肯定能表示成-1 \begin{bmatrix} x_1\\y_1 \end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}的形式，x_1，x_2，x_3，x_4是兩個(gè)基向量的坐標(biāo)，它們可以是任意的。

我們想找到一個(gè)向量能跟\vec{u}重疊，那么很好辦了，在我坐標(biāo)系下對(duì)基向量縮放倍數(shù)為-1，2的就是\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}。只有它才能經(jīng)線性變換后變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cvec%7Bu%7D" alt="\vec{u}" mathimg="1">，接下來(lái)就是之前的坐標(biāo)計(jì)算了。

我坐標(biāo)系下的向量
小麗坐標(biāo)系下的向量

可能大家還是會(huì)覺(jué)得很繞很燒腦，沒(méi)關(guān)系，多看幾遍，最好是自己動(dòng)手在紙上推演這個(gè)過(guò)程，相信一定可以弄懂的。

2.我坐標(biāo)系向量\Rightarrow她坐標(biāo)系向量

有了第一節(jié)的基礎(chǔ)，那么第二節(jié)就很好理解了。

還是第一節(jié)的例子，不過(guò)此時(shí)情況反轉(zhuǎn)了，已知我坐標(biāo)系下的向量\vec{u}=\begin{bmatrix}-4\\1\end{bmatrix}，那么這個(gè)\vec{u}在小麗坐標(biāo)系下如何表示呢？我們?cè)O(shè)其為\vec{z}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}。

用第一節(jié)的方式來(lái)理解，我坐標(biāo)系下\vec{u}為已知向量，同時(shí)小麗坐標(biāo)系下也有一個(gè)\vec{v}=\begin{bmatrix} -4\\1\end{bmatrix}向量，注意這倆個(gè)不是同一個(gè)向量，因?yàn)樗鼈冊(cè)诳臻g中的方向和大小都不一樣(兩者基向量不同)。那么問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

從\vec{v}轉(zhuǎn)換（想象成移動(dòng)向量線段的箭頭，尾部也就是原點(diǎn)保持不動(dòng)）為\vec{z}。

至于為什么可以這么變，大家可以看前一節(jié)的解釋。

現(xiàn)在問(wèn)題就簡(jiǎn)單了，在小麗坐標(biāo)系下她的基變量是怎么變換的呢？自然就是第一節(jié)中線性變換的逆變換。也就是
\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}^{-1}

具體如下：
小麗的基向量\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}（小麗的坐標(biāo)系下），變換為我的基向量（小麗的坐標(biāo)系下），原本我們不知道我坐標(biāo)系下\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}在小麗坐標(biāo)系下如何表示，但是我們知道之前小麗坐標(biāo)系下的基向量在我坐標(biāo)系下如何表示，也就是
\begin{bmatrix} 2&-1\\1&1\end{bmatrix}

那么現(xiàn)在只要取逆就行，它表示將小麗的基向量移動(dòng)到了我基向量原本所在的位置，同時(shí)用的小麗的坐標(biāo)系表示。

逆變換

3.她坐標(biāo)系向量\Rightarrow她坐標(biāo)系向量

還有一種情況也是比較常見(jiàn)的，全程都在小麗的坐標(biāo)系下進(jìn)行變換，也就是說(shuō)以我的視角來(lái)看基向量不是\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}，\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}了。

這時(shí)候怎么瀟灑地寫出變換后的她坐標(biāo)系向量呢？

直接寫肯定不行，因?yàn)槲覀儾恢佬←愖鴺?biāo)系下基向量是如何變換的。我們只知道我坐標(biāo)系下基向量是如何變換的。

那么只好曲線迂回了，回想下1、2節(jié)的情況，我們可以列出下列步驟：

她坐標(biāo)系向量\Rightarrow我坐標(biāo)系向量\Rightarrow她坐標(biāo)系向量

所以事情就簡(jiǎn)單了，按之前的1、2節(jié)來(lái)吧。

1.她坐標(biāo)系向量\Rightarrow我坐標(biāo)系向量
小麗坐標(biāo)系下的任意向量\vec{v}，經(jīng)過(guò)第一節(jié)的變換，得到結(jié)果如下：
\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}\vec{v}

變成了我坐標(biāo)系下向量，那就好辦了，我坐標(biāo)系下可以觀察到基向量，想怎么變就怎么變，一切都在我的掌控中:)

2.線性變換
假設(shè)她空間中坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)了90度，也就是在我空間中旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸90度。那么結(jié)果如下：
\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&-1\\1&1 \end{bmatrix}\vec{v}

3.我坐標(biāo)系向量\Rightarrow她坐標(biāo)系向量
直接用第二節(jié)的結(jié)論，得到：
\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}0&-1\\ 1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&-1\\1&1\end{bmatrix}\vec{v}

看成一個(gè)線性變換

這就是最后的答案了，是用她坐標(biāo)系表示的向量。是不是感覺(jué)很眼熟，來(lái)看下相似矩陣的定義：

在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。設(shè)A，B為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣P存在，使得
P^{-1}AP=B
則稱矩陣A與B相似，記為A~B。

原來(lái)相似矩陣是指不同坐標(biāo)系下的相同變換。它們的表達(dá)不一樣，但效果卻是一樣的。都是對(duì)空間進(jìn)行了相同的線性變換。例如上文說(shuō)的都對(duì)空間旋轉(zhuǎn)了90度。

4.參考

主要內(nèi)容來(lái)源于b站up主@3Blue1Brown的線性代數(shù)的本質(zhì)

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