完備性，出自分析或者說是拓?fù)?，?shí)數(shù)集的完備性就是最小上界公理，反映的是某種極限的存在，相對于所有的上界，最小的那一個。這種完備性還可以通過柯西序列來描述，也就是任意的柯西序列是收斂序列。其實(shí)，這些序列都可以看作ω序列，也就是可數(shù)序列，可以通過自然數(shù)來標(biāo)積每一項(xiàng)。

對于這種思想的推廣就是范疇的完備性，對應(yīng)的序列就是ω序列，也可以用集合來描述，視為特定結(jié)構(gòu)的集合，這樣就完美的實(shí)現(xiàn)了上面兩個概念在范疇中的一種推廣。

首先是ω序列，其實(shí)就是范疇中的ω圖，可以記為一個函子

這在形式上就是熟悉的數(shù)列，對應(yīng)于這個圖，可以定義極限，類似于數(shù)列的極限，不過，這里的箭頭其實(shí)附加了一些比較強(qiáng)的約束。

比如將偏序集視為范疇時，箭頭就是偏序關(guān)系，所以這個圖其實(shí)就是一個單調(diào)序列，極限就是序列的極限。由于這個箭頭的方向是指向這個極限的，所以應(yīng)該稱其為余極限，當(dāng)任意的ω序列都有余極限時，就稱這個范疇是ω余完備的。相比于柯西序列，要求是非常嚴(yán)格的。這樣的完備的子集也是一個范疇，記為，也就是一個縮寫，ω型的complete完備的poset偏序集范疇。

也是很有意思的，通過最小的無窮序數(shù)就將分析中的序列概念代數(shù)化了。反映了分析中的結(jié)構(gòu)，其實(shí)就是以序結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的。布爾巴基學(xué)派就認(rèn)為數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)就是代數(shù)結(jié)構(gòu)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和序結(jié)構(gòu)三種。

不過，實(shí)際上，這些所謂的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，其實(shí)也是互相交融的，比如通過拓展代數(shù)運(yùn)算的范圍，序結(jié)構(gòu)就可以視為代數(shù)的，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也可以視為代數(shù)的，但是，這樣的代數(shù)就變成符號了。