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? ? ? ? 到了三國(guó)兩晉南北朝時(shí)代，我國(guó)的數(shù)學(xué)科學(xué)已閃爍著耀眼的光芒，出現(xiàn)了歷史上杰出的數(shù)學(xué)家劉徽和祖沖之。這兩個(gè)不朽的人物為我國(guó)數(shù)學(xué)奠定了牢固的基礎(chǔ)。
? ? ? ??先說劉徽，他是三國(guó)時(shí)代魏國(guó)人。關(guān)于他的身世和生平事跡，由于資料有限，我們了解得很少。他的活動(dòng)區(qū)域大致在山東半島和江蘇北部一帶。劉徽自幼熟讀《九章算術(shù)》，在魏陳留王景元四年（263）前后，為我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》作注，做了許多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)理論工作，對(duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成和發(fā)展影響很大，在數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。
《九章算術(shù)》體現(xiàn)了中國(guó)古代自先秦到東漢以來的數(shù)學(xué)成就。但當(dāng)時(shí)沒有發(fā)明印書的方法，這樣好的書也只能靠筆來抄寫。在輾轉(zhuǎn)傳抄的過程中，難免會(huì)出現(xiàn)很多的錯(cuò)誤，加上原書中是以問題集的形式編成，文字過于簡(jiǎn)單，對(duì)解法的理論也沒有科學(xué)的說明。這種狀況明顯地妨礙了數(shù)學(xué)科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。
劉徽為《九章算術(shù)》作注，在很大程度上彌補(bǔ)了這個(gè)重大的缺陷。在《九章算術(shù)注》中，他精辟地闡明了各種解題方法的道理，提出了簡(jiǎn)要的證明，指出個(gè)別解法的錯(cuò)誤。尤其可貴的是，他還做了許多創(chuàng)造性的工作，提出了不少遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過原著的新理論?？梢哉f，劉徽的數(shù)學(xué)理論工作為建立具有獨(dú)特風(fēng)格的我國(guó)古代數(shù)學(xué)科學(xué)的理論體系，打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
劉徽在《九章算術(shù)注》中，最主要的貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法，開創(chuàng)了圓周率研究的新階段。
圓周率即圓的周長(zhǎng)和直徑的比率，它是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要的數(shù)據(jù)，因此，推算出它的準(zhǔn)確數(shù)值，在理論上和實(shí)踐上都有重要的意義和貢獻(xiàn)。在世界數(shù)學(xué)史上，許多國(guó)家的數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)把圓周率作為重要研究課題，為求出它的精確數(shù)值作了很大努力。在某種意義上說，一個(gè)國(guó)家歷史上圓周率精確數(shù)值的準(zhǔn)確程度，可以衡量這個(gè)國(guó)家數(shù)學(xué)的發(fā)展情況。
劉徽由此指出：圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積，但“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣。這段話包含有初步的極限思想，思路非常明晰，為我國(guó)古代的圓周率計(jì)算確立了理論基礎(chǔ)。
劉徽還明確地概括了正負(fù)數(shù)的加減法則，提出了多元一次方程組的計(jì)算程序，論證了求最大公約數(shù)的原理，對(duì)最小公倍數(shù)的算法也有一定的研究。這些都是富有創(chuàng)造性的成果，因此可以說，劉徽通過注解《九章算術(shù)》，豐富和完善了中國(guó)古代的數(shù)學(xué)科學(xué)體系，為后世的數(shù)學(xué)發(fā)展奠立了基礎(chǔ)。
劉徽撰寫的《重差》，原是《九章算術(shù)注》的第十卷，后來單獨(dú)刊行，被稱作《海島算經(jīng)》。這是一部說明各種高度或距離的測(cè)量和計(jì)算方法的著作。就是關(guān)于幾何測(cè)量方面的著作。
劉徽在《九章算術(shù)注》的自序中說：“事類相類，各有攸歸。故枝條雖分，而同本干者，知發(fā)其一端而已?！眲⒒盏难芯糠椒ê脱芯砍晒麑?duì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了非常深刻的影響，為我國(guó)數(shù)學(xué)科學(xué)史增添了光輝的一頁。近年來，國(guó)內(nèi)外出版了許多種關(guān)于研究的專集和專著，他的《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》被翻譯成許多國(guó)家的文字，向世界顯示了中華民族燦爛的古代文明。
劉徽之后的200 年，我國(guó)南北朝時(shí)期又出現(xiàn)了一位大科學(xué)家祖沖之。他認(rèn)為劉徽采用割圓術(shù)只算到正3072 邊形就停止了，得出的結(jié)果還是不夠準(zhǔn)確。如果能在劉徽3072 邊形的基礎(chǔ)上割之又割，作出6144、12288??邊形，不就可以求出更精確的圓周率嗎？
祖沖之不滿足于前人的成就，決定攀登新的高峰。他通過長(zhǎng)期刻苦鉆研，在兒子祖暅的協(xié)助下，反復(fù)測(cè)算，終于求得了精確度更高的圓周率?！端鍟ぢ蓺v志》記載了他的成就：
“宋末，南徐州從事史祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)3 丈1 尺4 寸1 分5 厘9 毫2 秒7 忽
（3.1415927 丈），朒數(shù)3 丈1 尺4 寸1 分5 厘9 毫2 秒6 忽（3.1515926 丈），正數(shù)在盈朒之間。密律：圓徑113，圓周355。約律：圓徑7，周23?！?/p>
從上述文字記載來看，祖沖之對(duì)圓周率貢獻(xiàn)有3 點(diǎn)：
1、計(jì)算出圓周率在3.1415926 到3.1415927 之間，即3.1415926＜π＜3.1415927，在世界數(shù)學(xué)史上第一次把圓周率推算準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后7 位。
這在國(guó)外直到1000 年后，15 世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西計(jì)算到小數(shù)16 位，才打破祖沖之的紀(jì)錄。
2、祖沖之明確地指出了圓周率的上限和下限，用兩個(gè)高準(zhǔn)確度的固定數(shù)作界限，精確地說明了圓周率的大小范圍，實(shí)際上已確定了誤差范圍，這是前所未有的。
3、祖沖之提出約率20/7 和密率355/113。這一密率值是世界上第一次提出，所以有人主張叫它“祖率”。在歐洲，德國(guó)人奧托和荷蘭人安托尼茲得到這一結(jié)果，已是16 世紀(jì)了。祖沖之是怎樣得出這一結(jié)果的呢？他應(yīng)該是從圓內(nèi)接正6 邊形、12 邊形、24 邊形??一直計(jì)算到12288 邊形和24576 邊形，依次求出它們的邊長(zhǎng)和面積。
這需要對(duì)有9 位有效數(shù)字的大數(shù)進(jìn)行加減乘除和開方運(yùn)算，共一百多步，其中近50 次的乘方和開方，有效數(shù)字達(dá)17 位之多。當(dāng)時(shí)，數(shù)字運(yùn)算還沒有用紙、筆和數(shù)碼，而是用落后的籌算法。通過縱橫相間的小竹棍來演算，可見祖沖之付出多么艱巨的勞動(dòng)，需要具備多么嚴(yán)肅認(rèn)真的精神。
祖沖之和他的兒子祖暅（gèng）還用巧妙的方法解決了球體積的計(jì)算問題。在他們之前，《九章算術(shù)》中已經(jīng)正確地解決了圓面積和圓柱體體積的計(jì)算問題。
但是在這本書中，關(guān)于球體積的計(jì)算公式卻是錯(cuò)誤的。劉徽雖然在《九章算術(shù)注》中指出了這個(gè)錯(cuò)誤，但是也未能求出球體積的計(jì)算公式。
200 年后，祖沖之父子繼續(xù)劉徽的工作，在我國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次導(dǎo)出了正確的球體積公式。值得注意的是，祖暅在推算求證的過程中，得出了“等高處的橫截面積相等，那么二個(gè)立體的體積必然相等”的結(jié)論。
這個(gè)問題在1000 年后才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利提出，被人稱為“卡瓦列利定理”，其實(shí)我們完全有權(quán)利稱它為“祖暅定理”。
祖沖之父子的研究成果匯集在一部名叫《綴術(shù)》的著作中，被定為“十部算經(jīng)”之一?？上У氖?，到了宋朝以后，這部偉大的著作就失傳了。
祖沖之的科學(xué)成就，在我國(guó)以至世界科學(xué)技術(shù)發(fā)展史上，將永遠(yuǎn)放射光芒。為了紀(jì)念這位偉大的科學(xué)家，國(guó)際上把月球背面的一個(gè)山谷，命名為“祖沖之”，可見人們對(duì)祖沖之的敬仰。
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