蟾圓幾度，分袂未遙。暌違風采，時殷企念。季冬寒甚，不審諸君動止何似?對于上回的文章，很多朋友表示講得太慢了。對此我以為，不是講得慢，實在是你們樂理基礎太好了。
先澄清一個錯誤。上一篇文章純律中a1的音高，以及c1到a1的頻率比都是錯的，不小心把五度相生律中的數(shù)據(jù)給粘上去了。這一錯誤將會在下一篇文章中更正。在此特別感謝飛天合唱團中的中堅力量、活潑可愛的@嚴程皓同學。
上回介紹的是十二平均律，其特點就是十二、平均（不明白的朋友請自行復習前一篇）?？梢?，只要一個人有小學水準的語文素養(yǎng)、初中水平的邏輯分析能力、稍微高一點的數(shù)學知識儲備（得會做對數(shù)、指數(shù)運算），那么學習律學根本就不是問題。
接下來說五度相生律。先要說明，這里的五度是指純五度。在十二平均律中，純五度音程對應的是7個半音，意即，兩音頻率比為2^(7/12)。而現(xiàn)在既然不使用十二平均律了，對純五度的定義方法自然也要換個方式。
早在遙遠的春秋時代，畢達哥拉斯及其學派發(fā)現(xiàn)當認為弦樂器的弦長比分別為2:1、3:2、4:3時，可以發(fā)出很和諧的聲音。用當代術(shù)語描述就是，2:1、3:2、4:3的現(xiàn)場比分別對應純八度、純五度、純四度的音程?，F(xiàn)在我們得出結(jié)論：
結(jié)論1：（非十二平均律下的）純五度是指弦長比分別為3:2的相同琴弦發(fā)出的聲音的音程。
等等，好像哪里不對。我們明明講的是律學，為什么突然蹦出一個弦長比？全然分からない。
那我們繼續(xù)分（chě）析（dàn）。稍微涉及一點高中知識以外的內(nèi)容，沒有興趣的朋友請直接跳到結(jié)論。根據(jù)高中物理，我們知道當緊張的琴弦振動發(fā)聲的時候，弦上各處在平衡位置附近做簡諧振動（不考慮阻尼）。這是典型的橫波，具體來說，是一種典型的雙端固定的一維波動。用方程來描述是：
其中，u(x,t)指x處在t時刻偏離平衡位置的位移，F(x,t)是垂直弦的外力，k=√(T/ρ)為一常數(shù)（有很直觀的物理含義，后面會說），T為弦上的張力，ρ為弦的密度。經(jīng)計算，其通解為（通解的物理含義是弦的自由振動分量，特解對應受迫振動的振動分量）：
其中，f1、f2為任意具有連續(xù)二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)?？紤]到真實情景為一根長為L的雙端固定的琴弦，帶入邊界條件
可以求出f1、f2的更為精確的形式。
然而我們并不需要這么做。只需要分析式(2)的物理含義，可以很容易地發(fā)現(xiàn)，x+kt、x-kt的形式暗示了橫波在弦上能夠向兩個方向傳播。那么，這個處核心地位的k有什么物理含義呢？
答案已經(jīng)呼之欲出了，是波速。觀察雙端固定琴弦的的駐波形狀，易知，穩(wěn)定駐波的波長是
回憶高中物理，振動的頻率
其中振動的基頻（此時N取1）為
我們發(fā)現(xiàn)，弦長和頻率（基頻）成反比關(guān)系。再聯(lián)系前文（我知道你們肯定都忘了）純五度的3:2關(guān)系，我們可以得出結(jié)論：
結(jié)論2：（非十二平均律下的）純五度下，兩音的頻率比為2:3。
順便一提，在這種規(guī)律下，純八度頻率比仍然是1:2，這和我們前一篇的結(jié)論是不相違背的。好了，經(jīng)過繁復的推導，我們知道了一些結(jié)論，但是這有什么用呢？
根據(jù)(6)易得，琴弦的振動不會是簡單的簡諧振動，而是應當寫成類似于
的形式。等等，這個形式好像在哪里見過……
顯然，根據(jù)傅氏級數(shù)的相關(guān)知識，F(t)是一個以為頻率的周期函數(shù)。也就是說，每一個單音，實際上都是一組以Nω為頻率的正弦波的疊加。根據(jù)小學數(shù)學知識，如果兩個單音的基頻的最小公倍數(shù)小，那么其各次諧波中有很多頻率是重疊的，因此聽起來和諧。反之則聽上去不和諧。試想，如果某甲唱1000Hz，而某乙唱998Hz，那么幾乎兩個人聲音中的每一次的諧波成分都在堅定地打著架（拍現(xiàn)象，篇幅原因這里不展開說了），這樣的聽覺效果將是多么的慘絕人寰。難怪我們敬愛的程哥（北航飛天合唱團常任指揮）總會讓某些唱不準的人閉嘴（比如我）呢。
書歸正傳（今天好像格外地愛跑題呢），我們發(fā)現(xiàn)用2:3頻率比來定義純五度（以及1:2的純八度，3:4的純四度），得到的音程是非常和諧的。
那既然你這么和諧，就用純五度（上方純五度就是下方純四度，反之亦然）和純八度來標定其余的一切音程吧?！宥认嗌删褪沁@樣的思路。
比如說，C上方五度是G，那么頻率比就是3/2。再五度相生一次可以生出上一組的E，那么C和E的關(guān)系就是（注意要降一個八度）
其余以此類推，通過這種方法可以得出所有的音程之間的關(guān)系?，F(xiàn)在回頭再看表1
是否會有了新的感受呢？希望朋友們能在這篇文章中得到收獲。下面給出五度相生律的定義：
結(jié)論3：五度相生律是根據(jù)復合音的第二分音和第三分音的純五度關(guān)系，即由某一音開始向上推一純五度，產(chǎn)生次一律，再由次一律向上推一純五度，產(chǎn)生再次一律，如此繼續(xù)相生所定出的音律叫做五度相生律。
值得說明的是：（1）第幾分音的概念我會在下一篇文章的介紹，這里我們只要知道這和結(jié)論2中所闡述的結(jié)論是一致的就可以了。（2）五度相生律是從任意一個音開始相生都可以的（方便起見，文中從C開始生。實際上從任意一個音開始生，得到的音程的頻率比都是一樣的）。
說了這么多，大家也累了吧。下一篇文章將介紹第三種律制——純律，以及三種律制之間的一些關(guān)系。
放張美圖給諸君養(yǎng)養(yǎng)眼。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?深淵之蛙
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2017.1.17
