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計算器與數(shù)學

說起數(shù)學計算器，我們常見的是加減乘除四則運算，有了它，我們就可以擺脫筆算和心算的痛苦。四位數(shù)以上的加減乘除在數(shù)學的原理上其實并不難，但是如果不借助于計算器，光依賴我們的運算能力（筆算和心算），不僅運算的準確度大打折扣，而且還會讓我們對數(shù)學的運用停留在一個非常淺的層次。

盡管四則運算如此簡單，但是多位數(shù)運算的心算卻在我們生活中被歸為天才般的能力。但是數(shù)學的應用應該生活化、普及化，而不是只屬于天才的專利，計算器改變了這一切，這就是計算器的魅力。

計算器還可以做科學運算，比如乘方、開方、指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)等，盡管這些知識在我們初中時代，通過紙筆也是能運算起來的，但是也僅限于一些極其常用和簡單的運算，一旦復雜起來，通過紙筆來運算就是一項復雜的工程了。所以說，計算器可以讓我們離數(shù)學的應用更近。

但是我們學生時代所學的數(shù)學可遠不止這些，尤其是高等數(shù)學（微積分）、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計等數(shù)學知識應用非常廣泛（我也是后來才知道），但是由于他們的運算非常復雜，我們即便掌握了這些知識，想要應用它又談何容易，那有沒有微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計等的計算器呢？

答案是有的，它們就是計算機代數(shù)系統(tǒng)Computer Algebra System，簡稱CAS，Python的Sympy庫也支持帶有數(shù)學符號的微積分、線性代數(shù)等進行運算。

有了計算器，我們才能真正脫離數(shù)學復雜的解題本身，把精力花在對數(shù)學原理和應用的學習上，而這才是（在工作方面）數(shù)學學習的意義。

計算機代數(shù)系統(tǒng)

Sympy可以實現(xiàn)數(shù)學符號的運算，用它來進行數(shù)學表達式的符號推導和驗算，處理帶有數(shù)學符號的導數(shù)、極限、微積分、方程組、矩陣等，就像科學計算器一樣簡單，類似于計算機代數(shù)系統(tǒng)CAS，雖然CAS通常是可視化軟件，但是維基百科上也把Sympy歸為CAS。

幾大知名的數(shù)學軟件比如Mathematica、Maxima、Matlab(需Symbolic Math Toolbox)、Maple等都可以做符號運算，在上篇文章中我們已經(jīng)拿Python和R、Matlab對比了，顯然Python在指定場景下確實優(yōu)勢非常明顯，于是我又調研了一下Sympy與Mathematica的比較，在輸入公式以及生成圖表方面，Sympy確實不行（這一點Python有其他庫來彌補），Mathematica能夠做什么，Sympy基本也能做什么。

所以說Python在專業(yè)數(shù)學（數(shù)學、數(shù)據(jù)科學等）領域，由于其擁有非常多而且強大的第三方庫，構成了一個極其完善的生態(tài)鏈，即使是面對世界上最為強勢最為硬核的軟件也是絲毫不虛的。

本專欄用Python學數(shù)學的下一期也會介紹一些非常實用的數(shù)學工具和數(shù)學教材資源，讓數(shù)學的學習更簡單更生動。

Sympy的符號運算

如果之前是學數(shù)學相關專業(yè)了解計算機代數(shù)系統(tǒng)CAS，就會對數(shù)學符號的運算比較熟悉，而如果之前是程序員，可能會有點不太明白，下面我們就來了解一下。

Sympy與Math函數(shù)的區(qū)別

我們先來看一下Sympy庫和Python內置的Math函數(shù)對數(shù)值計算的處理有什么不同。為了讓代碼可執(zhí)行，下面的代碼都是基于Python3的完整代碼。

importsympy,mathprint(math.sqrt(8))print(sympy.sqrt(8))

執(zhí)行之后，結果顯示為：

2.82842712474619032*sqrt(2)

math模塊是直接求解出一個浮點值，而Sympy則是用數(shù)學符號表示出結果，結合LaTex的語法就可以得出我們在課本里最熟悉的的：

。

數(shù)學符號與表達式

我們要對數(shù)學方程組、微積分等進行運算時，就會遇到變量比如x,y,z,f等的問題，也會遇到求導、積分等代數(shù)符號表達式，而Sympy就可以保留變量，計算有代數(shù)符號的表達式的。

fromsympyimport*x=Symbol('x')y=Symbol('y')k,m,n=symbols('k m n')print(3*x+y**3)

輸出的結果為：3*x + y**3，轉化為LaTex表示法之后結果為

，輸出的結果就帶有x和y變量。Symbol()函數(shù)定義單個數(shù)學符號；symbols()函數(shù)定義多個數(shù)學符號。

折疊與展開表達式

factor()函數(shù)可以折疊表達式，而expand()函數(shù)可以展開表達式，比如表達式：

，折疊之后應該是

。我們來看具體的代碼：

fromsympyimport*x,y=symbols('x y')expr=x**4+x*y+8*xf_expr=factor(expr)e_expr=expand(f_expr)print(f_expr)print(e_expr)

表達式的折疊與展開，對應的數(shù)學知識就是因式分解，相關的數(shù)學知識在人教版初二的教程里。用Python學習數(shù)學專欄的目的就是要Python與初高中、大學的數(shù)學學習結合起來，讓數(shù)學變得更加簡單生動。

表達式化簡

simplify()函數(shù)可以對表達式進行化簡。有一些表達式看起來會比較復雜，就拿人教版初二上的一道多項式的乘法為例，簡化

。

fromsympyimport*x,y=symbols('x y')expr=(2*x)**3*(-5*x*y**2)s_expr=simplify(expr)print(s_expr)

求解方程組

在人教版的數(shù)學教材里，我們初一上會接觸一元一次方程組，初一下就會接觸二元一次方程、三元一次方程組，在初三上會接觸到一元二次方程，使用Sympy的solve()函數(shù)就能輕松解題。

解一元一次方程

我們來求解這個一元一次方程組。(題目來源于人教版七年級數(shù)學上)

fromsympyimport*x=Symbol('x')print(solve(6*x+6*(x-2000)-150000,x))

我們需要掌握Python的代碼符號和數(shù)學符號之間的對應關系,解一元一次方程就非常簡單。

解二元一次方程組

我們來看如何求解二元一次方程組。（題目來自人教版七年級數(shù)學下）

fromsympyimport*x,y=symbols('x y')print(solve([x+y-10,2*x+y-16],[x,y]))

很快就可以得出{x: 6, y: 4}，也就是

。

解三元一次方程組

我們來看如何解三元一次方程組。（題目來自人教版七年級數(shù)學下）

執(zhí)行之后，很快可以得出結果{x: 8, y: 2, z: 2}，也就是

解一元二次方程組

比如我們來求解人教版九年級一元二次方程組比較經(jīng)典的一個題目，

.

fromsympyimport*x,y=symbols('x y')a,b,c=symbols('a b c')expr=a*x**2+b*x+cs_expr=solve(expr,x)print(s_expr)

執(zhí)行之后得出的結果為[(-b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a), -(b + sqrt(-4*a*c + b**2))/(2*a)],我們知道根與系數(shù)的關系二次方程會有兩個解，這里的格式就是一個列表。轉為我們常見的數(shù)學公式即為：

微積分Calculus

微積分是大學高等數(shù)學里非常重要的學習內容，比如求極限、導數(shù)、微分、不定積分、定積分等都是可以使用Sympy來運算的。

求極限

Sympy是使用limit(表達式，變量，極限值)函數(shù)來求極限的，比如我們要求

的值。

fromsympyimport*x,y,z=symbols('x y z')expr=sin(x)/xl_expr=limit(expr,x,0)print(l_expr)

執(zhí)行后即可得到結果為1。

求導

可以使用diff(表達式,變量,求導的次數(shù))函數(shù)對表達式求導，比如我們要對

進行

求導，以及求導兩次，代碼如下：

fromsympyimport*x,y=symbols('x y')expr=sin(x)*exp(x)diff_expr=diff(expr,x)diff_expr2=diff(expr,x,2)print(diff_expr)print(diff_expr2)

求導一次的結果就是exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x)，也就是

；求導兩次的結果是2*exp(x)*cos(x)，也就是

求不定積分

Sympy是使用integrate(表達式,變量)來求不定積分的，比如我們要求

fromsympyimport*x,y=symbols('x y')expr=exp(x)*sin(x)+exp(x)*cos(x)i_expr=integrate(expr,x)print(i_expr)

執(zhí)行之后的結果為：exp(x)*sin(x)轉化之后為：

求定積分

Sympy同樣是使用integrate()函數(shù)來做定積分的求解，只是語法不同：integrate(表達式,（變量,下區(qū)間,上區(qū)間))，我們來看如果求解

fromsympyimport*x,y=symbols('x y')expr=sin(x**2)i_expr=integrate(expr,(x,-oo,oo))print(i_expr)

執(zhí)行之后的結果為sqrt(2)*sqrt(pi)/2，也就是

Sympy能夠做的也遠不止這些，初高中、大學的數(shù)學運算題在Sympy極為豐富的功能里不過只是開胃入門小菜而已。