熱傳導(dǎo)方程

方程及其定解問題的導(dǎo)出

齊次熱傳導(dǎo)方程：
$u_{t}=a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$
非齊次熱傳導(dǎo)方程：
$u_{t}=a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})+f$

當(dāng)物體體積很大，考慮時間很短和較小范圍內(nèi)的溫度變化情況，邊界條件所產(chǎn)生的影響可以忽略，這時就不放吧考察的物體視為充滿整個空間，而定解問題就成為柯西問題，此時初始條件為

$u(x,y,z,0)=\varphi(x,y,z)\;\;(-\infty<x,y,z<+\infty)$

擴散方程
$D(x,y,z)$ 稱為擴散系數(shù)，總?cè)≌?

擴散方程為
$N_{t}=(DN_x)_x+(DN_y)_y+(DN_z)_z$

如果 $D$ 是常數(shù)，記 $D=a^2$ ，擴散方程就化為與熱傳導(dǎo)方程完全相同的形式.

初邊值問題的分離變量法

初邊值問題:
$\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=0\;\;(t>0,0<x<l)\\ u(x,0)=\varphi(x)\\ u(0,t)=0\\ u_{x}(l,t)+u(l,t)=0 \end{cases}$

$h$ 為正常數(shù).

Sol: 分離變量法
令 $u(x,t)=X(x)T(t)$
代入方程有
$XT'=a^2X''T$
于是
$\dfrac{T'}{a^2T}=\dfrac{X''}{X}$
只有兩邊均等于常數(shù)時才成立. 令此常數(shù)為 $-\lambda$ ，則有

$T'+\lambda a^2T=0$
$X''+\lambda X=0$

由邊界條件得
$X(0)=0,\;\;X'(l)+hX(l)=0$

當(dāng) $\lambda\leqslant0$ 時，只有平凡解 $X\equiv0$
當(dāng) $\lambda>0$ 時，

$X(x)=A\cos\sqrt{\lambda}x+B\sin\sqrt{\lambda}x$

利用邊界條件 $X(0)=0$ 得 $A=0$ ，利用第二個邊界條件知

$B(\sqrt{\lambda}\cos\sqrt{\lambda}l+h\sin\sqrt{\lambda}l)=0$
為使 $X(x)$ 為非平凡解， $\lambda$ 應(yīng)滿足

$\sqrt{\lambda}\cos\sqrt{\lambda}l+h\sin\sqrt{\lambda}l=0$

即 $\lambda$ 應(yīng)是下述超越方程的正解：
$\tan\sqrt{\lambda}l=-\dfrac{\sqrt{\lambda}}{h}$

令

$v=\sqrt{\lambda}l$

則變?yōu)? $\tan v=-\dfrac{v}{lh}$

可知有無窮多個正根 $v_{k}>0\;(k=1,2,\cdots)$ ，滿足 $(k-\frac{1}{2})\pi<v_k<k\pi$ .

$v_k=\left(\dfrac{v_k}{l}\right)^2\;\;(k=1,2,\cdots)$
及相應(yīng)的固有函數(shù)

$X_k(x)=B_k\sin\sqrt{\lambda_k}x=B_k\sin\dfrac{v_k}{k}x\;\;(k=1,2,\cdots)$

同樣可以解得 $T_{k}=C_ke^{-a^2\lambda_kt}\;\;(k=1,2,\cdots)$

于是得到一列可分離變量的特解

$u_{k}(x,t)=A_ke^{-a^2\lambda_kt}\sin\sqrt{\lambda_k}x\;\;(k=1,2,\cdots)$

用疊加原理構(gòu)造級數(shù)形式的解

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}A_{k}e^{-a^2\lambda_kt}\sin\sqrt{\lambda_k}x$

又 $u(x,0)=\varphi(x)$

$\displaystyle\varphi(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}A_k\sin\sqrt{\lambda_k}x$

$\begin{aligned} M_k =&\int_0^{l}\sin^2\sqrt{\lambda_k}x\textu0z1t8osx=\int_0^l\dfrac{1-\cos2\sqrt{\lambda_k}x}{2}\textu0z1t8osx\\ =&\dfrac{l}{2}-\dfrac{\sin2\sqrt{\lambda_k}l}{4\sqrt{\lambda_k}}=\dfrac{l}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{\lambda_k}}\dfrac{\tan\sqrt{\lambda_k}l}{1+\tan^2\sqrt{\lambda_k}l}\\ =&\dfrac{l}{2}-\dfrac{-\dfrac{v_k}{lh}}{2\frac{v_k}{l}\left(1+\dfrac{v_k^2}{l^2h^2}\right)}\\ =&\dfrac{l}{2}+\dfrac{h}{2(h^2+\lambda_k)} \end{aligned}$

于是得到
$\displaystyle A_k=\dfrac{1}{M_k}\int_0^l\varphi(\xi)\sin\sqrt{\lambda_k}\xi\textu0z1t8os\xi$

于是得到初邊值問題
$\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=0\;\;(t>0,0<x<l)\\ u(x,0)=\varphi(x)\\ u(0,t)=0\\ u_{x}(l,t)+u(l,t)=0 \end{cases}$
的形式解為

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{M_k}\int_0^{l}\varphi(\xi)\sin\sqrt{\lambda_k}\xi\textu0z1t8os\xi\cdot e^{-a^2\lambda_kt}\sin\sqrt{\lambda_k}x$

柯西問題

設(shè) $f(x)$ 是定義在 $(-\infty,+\infty)$ 上的函數(shù)，它在 $[-l,l]$ 上有異界連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則在 $(-l,l)$ 中 $f(x)$ 可以展開為傅里葉級數(shù)

$\displaystyle f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\dfrac{n\pi}{l}x+b_n\sin\dfrac{n\pi}{l}x\right)$

并且

$\displaystyle a_n=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^lf(\xi)\cos\dfrac{n\pi}{l}\xi\textu0z1t8os\xi$
$\displaystyle b_n=\dfrac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(\xi)\sin\dfrac{n\pi}{l}\xi\textu0z1t8os\xi$
$(n=0,1,2,\cdots)$

$\begin{aligned} f(x)=&\dfrac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\textu0z1t8os\lambda\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)\cos\lambda(x-\xi)\textu0z1t8os\xi \end{aligned}$
該積分表達式稱為 $f(x)$ 的傅里葉積分.

$\displaystyle g(\lambda)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\xi)e^{-i\lambda\xi}\textu0z1t8os\xi$

稱 $g(\lambda)$ 為 $f(x)$ 的傅里葉變換，記為 $F[f]$

$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}g(\lambda)e^{i\lambda x}\textu0z1t8os\lambda$
稱 $f(x)$ 為 $g(\lambda)$ 的傅里葉逆變換，記為 $F^{-1}[g]$ .

當(dāng) $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上連續(xù)可導(dǎo)且絕對可積時，它的傅里葉變換存在，且逆變換等于 $f(x)$ .

性質(zhì) 1 線性變換
$F[\alpha f_1+\beta f_2]=\alpha F[f_1]+\beta[f_2]$
其中 $\alpha,\beta\in C$ ， $f_2,f_2$ 為函數(shù).

如果對給定的 $f_1(x),f_2(x)$ ，當(dāng) $x\in(-\infty,+\infty)$ 時，

$\displaystyle f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-t)f_2(t)\textu0z1t8ost$
存在，則稱 $f(x)$ 為 $f_1(x)$ 與 $f_2(x)$ 的卷積，記為 $f_2*f_2$ . 顯然，當(dāng) $f2，f_2$ 為絕對可積時， $f_2*f_1=f_1*f_2$ ，即卷積是可以交換的.

性質(zhì) 2
$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的卷積的傅里葉變換等于 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的傅里葉變換的乘積，即
$F[f_1*f_2]=F[f_1]\cdot F[f_2]$

性質(zhì) 3
$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 乘積的傅里葉變換等于 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 的傅里葉變換的卷積乘以 $\dfrac{1}{2\pi}$ ，即

$F[f_2\cdot f_2]=\dfrac{1}{2\pi}F[f_1]*F[f_2]$

性質(zhì) 4

如果 $f(x).f'(x)$ 都是可以進行傅里葉變換的，而且當(dāng) $|x|\to\infty$ 時， $f(x)\to0$ ，則成立

$F[f'(x)]=i\lambda F[f(x)]$

性質(zhì) 5

如果 $f(x)$ 及 $xf(x)$ 都可以進行傅里葉變換，那么
$F[-ixf(x)]=\dfrac{\textu0z1t8os}{\textu0z1t8os\lambda}F[f]$

熱傳導(dǎo)方程柯西問題的求解

$\begin{cases} u_{t}=a^2u_{xx}\\ u(x,0)=\varphi(x) \end{cases}$

解為

$\displaystyle u(x,t)=\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(\xi)e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2t}}\textu0z1t8os\xi$

也成為泊松公式.

非齊次熱傳導(dǎo)方程的柯西問題

$\begin{cases} u_{t}=a^2u_{xx}+f\\ u(x,0)=0 \end{cases}$

解為

$\displaystyle u(x,t)=\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{f(\xi,\tau)}{\sqrt{t-\tau}}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2(t-\tau)}}\textu0z1t8os\xi\textu0z1t8os\tau$

由疊加原理可以得到柯西問題的解為

$\begin{cases} u_{t}=a^2u_{xx}+f\\ u(x,0)=\varphi(x) \end{cases}$

的解為

$\begin{aligned} u(x,t) =&\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(\xi)e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2t}}\textu0z1t8os\xi\\ &+\dfrac{1}{2a\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t}\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{f(\xi,\tau)}{\sqrt{t-\tau}}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2(t-\tau)}}\textu0z1t8os\xi\textu0z1t8os\tau \end{aligned}$

極值原理、定解問題解的唯一性和穩(wěn)定性

極值原理

第一類邊值問題中：

$\underset{R_T}{\max}u(x,t)=\underset{\Gamma_T}{\max}u(x,t),\;\;\underset{R_T}{\min}u(x,t)=\underset{\Gamma_T}{\min}u(x,t)$

Thm

熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題

$\begin{cases} u_t=a^2u_{xx}+f(x,t)\\ u(x,0)=\varphi(x)\\ u(a,t)=\mu_1(t)\\ u(\beta,t)=\mu_2(t) \end{cases}$

在區(qū)域 $R_T$ 上的解是唯一的，而且連續(xù)地依賴于邊界 $\Gamma_T$ 上所給定的初始條件及邊界條件.

Thm

對任意給定的 $T>0$ ，熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題在 $R_T$ 上的解是唯一的，且連續(xù)地依賴于初值 $\varphi(x)$ 以及邊界條件中的函數(shù) $\mu_1(t),\mu_2(t)$ .

Thm

柯西問題

$\begin{cases} u_t=a^2u_{xx}+f\\ u(x,0)=\varphi(x)\;\;(-\infty<x<\infty) \end{cases}$

在有界函數(shù)類中的解是唯一的，而且連續(xù)依賴于所給的初始條件.

解的漸近性態(tài)

Thm

假設(shè)初始函數(shù) $\varphi(x)$ 滿足 $\varphi\in C^2,\;\varphi(0)=0,\varphi'(l)+h\varphi(l)=0$ 則當(dāng) $t$ 趨于無窮時，問題
$\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=0\;\;(t>0,0<x<l)\\ u(x,0)=\varphi(x)\\ u(0,t)=0\\ u_{x}(l,t)+u(l,t)=0 \end{cases}$
的唯一的經(jīng)典解指數(shù)衰減地趨于零，確切地說，當(dāng) $t\to+\infty$ 時，對一切 $x\in[0,l]$ ，

$|u(x,t)|\leqslant Ce^{-a^2\lambda\to0}$

其中 $C$ 為一個與解無關(guān)的正常數(shù).

這個唯一經(jīng)典解是

$\displaystyle u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{M_k}\int_0^{l}\varphi(\xi)\sin\sqrt{\lambda_k}\xi\textu0z1t8os\xi\cdot e^{-a^2\lambda_kt}\sin\sqrt{\lambda_k}x$

如果 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}|\varphi(x)|\textu0z1t8osx$ 收斂，則稱 $\varphi\in L^1(\mathbb{R})$ ，并記