可控定向聲源——參量陣

1. 簡(jiǎn)介

參量陣揚(yáng)聲器（Parametric Array Loudspeaker, PAL, 此文簡(jiǎn)稱參量陣），是一種利用介質(zhì)的非線性聲學(xué)效應(yīng)來(lái)產(chǎn)生定向聲波的聲學(xué)系統(tǒng)。

聲波波動(dòng)方程

要了解參量陣所用到的非線性聲學(xué)知識(shí)，還得從聲波波動(dòng)方程的推導(dǎo)看起。

聲場(chǎng)的特征可以通過(guò)介質(zhì)中的聲壓p、質(zhì)點(diǎn)振速v或介質(zhì)密度的變化量\rho'*來(lái)表示。通常顯式使用較多的是聲壓p，聲壓級(jí)即對(duì)測(cè)量聲壓與參考聲壓的比值取對(duì)數(shù)。聲壓在聲波傳播的過(guò)程中隨著時(shí)間和空間的變化而變化，如果能知道這種變化關(guān)系便能清楚的知道聲場(chǎng)中各個(gè)位置處的聲壓分布，而這種變化關(guān)系就是聲波的波動(dòng)方程。

聲音（包括超聲和次聲）的傳播，本質(zhì)是介質(zhì)振動(dòng)的傳播，而振動(dòng)這一物理過(guò)程必定滿足三個(gè)基本的物理定律，分別是牛頓第二定律、質(zhì)量守恒定律和物態(tài)方程。實(shí)際的聲場(chǎng)環(huán)境往往較為復(fù)雜，方程的推導(dǎo)總需要不同程度的假設(shè)條件，為闡釋基本原理，這里假設(shè)（1）理想流體，無(wú)粘滯性（2）均勻媒質(zhì)（3）絕熱傳播。在此條件下一維的三個(gè)基本方程分別可整理為：
描述勝場(chǎng)中聲壓p與質(zhì)點(diǎn)振速v之間關(guān)系的運(yùn)動(dòng)方程
\rho \frac{dv}{dt} = - \frac{\partial p}{\partial x}
描述質(zhì)點(diǎn)振速v與密度\rho之間關(guān)系的連續(xù)性方程
- \frac{\partial}{\partial x} (\rho v) = \frac{\partial \rho}{\partial t}
和描述壓強(qiáng)P的變化率與\rho的變化率之間關(guān)系的物態(tài)方程
dP = c^2 d\rho。

到這一步有了三個(gè)基本方程，但由于各個(gè)聲學(xué)量之間都是非線性關(guān)系，還無(wú)法得到單一參量表示的聲波波動(dòng)方程，因此再引入一個(gè)假設(shè)條件，也是線性聲學(xué)的基本假設(shè)，即（4）小振幅聲波。在此假設(shè)下，聲波的p, v, \rho'及其變化量都是微小量，此時(shí)便很大程度上可以忽略方程中更加微小的這些參量的二次及二次以上的項(xiàng)，進(jìn)而聯(lián)立三個(gè)方程消去其中兩個(gè)參量，得到均勻理想流體中小振幅聲波的波動(dòng)方程
\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \frac{1}{c_0^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2}。
接著便可以通過(guò)達(dá)朗貝爾公式等方法得到方程的一般解，或者通常情況可以假設(shè)信號(hào)為某種形式的時(shí)諧信號(hào)代入求解。

非線性聲學(xué)效應(yīng)

上世紀(jì)60年代，Westervelt發(fā)現(xiàn)發(fā)射兩個(gè)不同頻率的超聲波可以產(chǎn)生一個(gè)低頻的可聽(tīng)聲，該可聽(tīng)聲波由兩高頻聲波互調(diào)得到，為兩者的差頻。這就是介質(zhì)非線性的一種表現(xiàn)，是不滿足上面的波動(dòng)方程的。原因就在于上面的第四個(gè)假設(shè)條件，我們假設(shè)為小振幅聲波，故而舍棄了二階及以上的項(xiàng)。而想要得到非線性解，就需要保留一定的非線性項(xiàng)，通常保留到二階項(xiàng)。保留了二階項(xiàng)后的基本方程相比于線性方程均會(huì)發(fā)生變化，最后得到的波動(dòng)方程自然也隨之改變。該部分推導(dǎo)相對(duì)復(fù)雜，簡(jiǎn)單理解就是二次項(xiàng)使得所有信號(hào)之間發(fā)生互調(diào)，從而產(chǎn)生一系列和頻與差頻聲波。進(jìn)一步，不考慮更高頻段的信號(hào)，那些差頻信號(hào)又在一定的區(qū)域內(nèi)形成類似端射陣的虛擬聲源，進(jìn)而擴(kuò)散形成完整的聲波波束。


利用這一性質(zhì)，我們便可以通過(guò)發(fā)射超聲波來(lái)產(chǎn)生可聽(tīng)的聲波波束了。那么具體該如何利用呢？\color{red}{參量陣}Westervelt假設(shè)直接產(chǎn)生的超聲波束（初級(jí)聲波）具有極窄的波束，推導(dǎo)了由兩個(gè)單頻產(chǎn)生的差頻信號(hào)的指向性方程。Berktay給出了參量陣的遠(yuǎn)場(chǎng)解，體現(xiàn)了調(diào)制信號(hào)的包絡(luò)與在介質(zhì)中自解調(diào)結(jié)果的關(guān)系。直到現(xiàn)在，研究者們?nèi)匀辉诓粩嗤晟苹蚋倪M(jìn)參量陣的理論體系與設(shè)計(jì)方法，包括調(diào)制方法、指向性模型、預(yù)失真等等。

2. 基本原理

2.1 波束形狀與指向

在參量陣?yán)碚撝?，目前一個(gè)準(zhǔn)確度較高的理論模型為卷積模型，也是基于Westervelt指向性而來(lái)，通過(guò)卷積的形式聯(lián)合了乘積指向性，表現(xiàn)為
D_d(\theta) = [D_1(\theta)D_2(\theta)] * D_W(\theta)，其中D_1(\theta),D_2(\theta)分別是兩個(gè)超聲波的指向性，D_W(\theta)是Westervelt指向性，后者是衰減系數(shù)與差頻頻率的函數(shù)，因此我們可以通過(guò)控制超聲波的波束來(lái)控制最后差頻波的波束（對(duì)應(yīng)Berktay方程就是通過(guò)控制載波波束來(lái)控制解調(diào)波的波束）。

另外，參量陣的優(yōu)點(diǎn)也在這里明顯體現(xiàn)。由于超聲波的波長(zhǎng)要遠(yuǎn)小于聲波波長(zhǎng)，因此就陣列波束形成來(lái)說(shuō)，其波束控制可以在更小的孔徑內(nèi)完成。舉個(gè)例子，要形成一個(gè)1kHz、HPBW(半功率波束寬度)約12°的聲音波束，使用常規(guī)全向揚(yáng)聲器需要約1.4m的陣列孔徑，而參量陣只需要約8cm。更何況這都是基于遠(yuǎn)場(chǎng)的指向性預(yù)測(cè)，而前者的遠(yuǎn)場(chǎng)明顯要遠(yuǎn)于后者。

所以，要控制參量陣的音頻波束，就要控制其直接產(chǎn)生的超聲波的波束。因此，可以通過(guò)對(duì)超聲陣列做波束形成來(lái)調(diào)整其波束形狀，以及通過(guò)添加延時(shí)線來(lái)改變波束指向。

2.2 脈沖密度調(diào)制

要給超聲陣列添加延時(shí)線來(lái)控制轉(zhuǎn)向，需要考慮到所使用的采樣率能達(dá)到的轉(zhuǎn)向精度，當(dāng)采樣率較低時(shí)，每個(gè)時(shí)鐘對(duì)應(yīng)的延時(shí)較大，無(wú)法精確轉(zhuǎn)向。有許多種方法可以用來(lái)提高延時(shí)精度，其中有兩種較容易實(shí)施的分別是分?jǐn)?shù)時(shí)延法和PDM（Pulse Density Modulation）法，前者利用分?jǐn)?shù)時(shí)延濾波器來(lái)對(duì)每一路信號(hào)進(jìn)行非整數(shù)的延時(shí)，達(dá)到延時(shí)任意精度的效果，當(dāng)然，這需要額外消耗一定的運(yùn)算資源。而后一種方法，PDM，顧名思義，通過(guò)脈沖密度來(lái)存儲(chǔ)信號(hào)信息i，因此僅需1bit的數(shù)據(jù)位。PDM本身也屬于是量化位數(shù)為1bit時(shí)的Delta-Sigma調(diào)制，它通過(guò)提升采樣頻率來(lái)減少采樣位數(shù)，在保證量化信噪比的前提下，將存儲(chǔ)信號(hào)的數(shù)據(jù)位數(shù)降低至1bit。高采樣率、單bit存儲(chǔ)，自然地，它是一種很適于FPGA實(shí)現(xiàn)的一種方法。將信號(hào)通過(guò)PDM轉(zhuǎn)換為單bit信號(hào)，由于該信號(hào)采樣率的提升，直接添加整數(shù)延時(shí)即可實(shí)現(xiàn)較高精度的波束轉(zhuǎn)向，本系統(tǒng)便采用的這種方法。



這里給出了一種簡(jiǎn)單的PAL信號(hào)處理框圖，其中PDM部分采用了一個(gè)4階的CRFF結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。事實(shí)上具體所需要的采樣率和NTF（噪聲傳遞函數(shù)）的設(shè)計(jì)可根據(jù)實(shí)際需要的延時(shí)精度以及能達(dá)到的信噪比，參考單bit的Delta-Sigma調(diào)制器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3. 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

這是完整實(shí)現(xiàn)的一套多通道的系統(tǒng)，這里先給出它的系統(tǒng)設(shè)計(jì)框圖和對(duì)應(yīng)的實(shí)物照片。



Ref

《聲學(xué)基礎(chǔ)》杜功煥 等

Wiki: 波動(dòng)方程

Westervelt, P. J. (1963). Parametric acoustic array. The Journal of the Acoustical Society of America, 35(4), 535-537.

Berktay, H. (1965). Possible exploitation of non-linear acoustics in underwater transmitting applications. Journal of Sound and Vibration, 2(4), 435-461.

W.-S. Gan, J. Yang, & T. Kamakura (2012). A review of parametric acoustic array in air. Applied Acoustics, 73(12), 1211-1219.

C. Shi, Y. Kajikawa, & W.-S. Gan (2014). An overview of directivity control methods of the parametric array loudspeaker. APSIPA Transactions on Signal and Information Processing, 3.

C. Shi, Y. Wang, H. Xiao, et al. Extended convolution model for computing the far-field directivity of an amplitude-modulated parametric loudspeaker[J]. Journal of Physics D: Applied Physics, 2022, 55(24): 244002.

Y. Hatano, C. Shi, S. Kinoshita, & Y. Kajikawa (2015). Linearization of the parametric array loudspeaker upon varying input amplitudes. 2015 Asia-Pacific Signal and Information Processing Association Annual Summit and Conference (APSIPA),

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