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向量空間

集合和組
集合和組的區(qū)別，這兩者都是一堆元素的組合，但集合是無(wú)序、不重復(fù)的，而組是有序、可重復(fù)且長(zhǎng)度確定的。
域

R :全體實(shí)數(shù)的集合，即實(shí)數(shù)域，C：全體復(fù)數(shù)的集合，即復(fù)數(shù)域，F：包括R 和C

向量空間和向量

從 F 域中選擇任意m個(gè)元素組成的有序列表，而所有有序列表的集合稱為向量空間 $R^m$ ，這個(gè)集合中每一個(gè)有序列表，即向量
$\mathbf{F}^{m}=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{m}\right): x_{j} \in \mathbf{F}, j=1, \cdots, m\right\}$

例：在全體實(shí)數(shù)中選擇兩個(gè)數(shù)組成的有序列表如 (1,2)，(3,4),(-1,9),這些有序列表的全部集合即實(shí)數(shù)域的二維向量空間 $R^2$

向量空間的本質(zhì)是多個(gè)向量的集合，那么這個(gè)集合的子集即 子空間 或者線性子空間

嚴(yán)格的向量空間數(shù)學(xué)定義是指滿足交換律、結(jié)合律、加法單位元等等一些列運(yùn)算規(guī)律的元素集合，但這種方式實(shí)在太抽象，不如從空間幾何上理解，把向量看作為空間中一個(gè)個(gè)的箭頭或者點(diǎn)，而這些箭頭的集合就是向量空間，雖然看起來(lái)這個(gè)想象空間非常的擁擠。

線性組合

V是F域上的向量空間， $v_1,v_2,....v_n$ 是其中的一組向量，那么將這組通過(guò)標(biāo)量乘法先后相加，即得到該向量組的一個(gè)線性組合
$a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m \\ v_1,v_2...v_m \in V \\ a_1,a_2...a_m \in F$

張成的空間

向量空間V中的一組向量通過(guò) 線性組合獲得的所有向量的集合稱為這一組向量的 張成空間
$span(v_1,...v_m)=\{a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m:a_1...a_m\in F\}$
張成描述的是多次線性組合的過(guò)程，而張成后形成的空間，依然是一個(gè)向量的集合。這個(gè)空間可以等于向量空間 V，也可以是 V的子集。

線性相關(guān)

對(duì)于空間 V中的一組向量 $\{v_1,...v_m\}$ ,如果使得 $a_1v_1+a_2v_2+....a_mv_m=0$ 的等式只有 $a_1=a_2=....a_m=0$ 的唯一解，那么稱這一組向量是線性無(wú)關(guān)的，反之如果存在其他解這一組向量是線性相關(guān)的。

通俗的理解，線性無(wú)關(guān)or相關(guān)是描述一組向量的，在這一組向量中，其中任何一個(gè)向量都不能通過(guò)其他向量的線性組合獲得到，那么這一組向量是線性無(wú)關(guān)的，反之則是線性相關(guān)的。從空間上理解，向量是空間里面的箭頭，而線性組合包含的標(biāo)量乘法和相加就是箭頭的拉伸壓縮和疊加，如果一組向量中，任何一個(gè)向量都無(wú)法通過(guò)其他向量的壓縮和疊加來(lái)獲得，那么自然是線性無(wú)關(guān)。

基向量

如果 V中的一組向量是線性無(wú)關(guān)的，且這一組向量的張成空間等于 V，那么這一組向量為基向量

V是向量空間，例如 $R^3$ ，代表實(shí)數(shù)的三維向量空間?；蛄渴且唤M向量，這一組向量張成的空間等于 V，即這一組向量通過(guò)線性組合，可以獲得這個(gè)向量空間 V中的任意其他向量。
$v=a_1v_1+..a_mv_m,a_1...a_m\in F$
為什么基向量一定是線性無(wú)關(guān)的？因?yàn)槿绻蛄渴蔷€性相關(guān)的，那么在該組向量中必然存在某個(gè)向量 $u$ 可以通過(guò)該組中的其他向量線性組合得來(lái)。也就是說(shuō)，這個(gè)向量 $u$ 對(duì)于基向量本身來(lái)說(shuō)，是多余的，因此基向量必然線性無(wú)關(guān)。

向量的點(diǎn)積(內(nèi)積)

如果向量 $\vec{v},\vec{u}$ 都是n維向量，那么兩個(gè)向量的點(diǎn)積為各維度上數(shù)值的乘積的和:
$\boldsymbol{\vec{v}} \cdot \boldsymbol{\vec{u}}=\boldsymbol{\vec{u}} \cdot \boldsymbol{\vec{v}}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$
向量的點(diǎn)積是標(biāo)量，當(dāng)點(diǎn)積為0時(shí)，表示兩向量是正交的。

向量的叉積(外積)

向量 $\vec{v},\vec{u}$ 的叉積是向量，膜長(zhǎng)為 $\vec{v},\vec{u}$ 構(gòu)成的“面積”大小，方向正交與 $\vec{v},\vec{u}$ 張成的空間，滿足右手定則。

線性映射和矩陣

線性映射也就是線性變換，其本質(zhì)是一種函數(shù)，輸入和輸出都是向量空間，描述的是向量空間V映射到向量空間W的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。從V 到W的線性映射必須滿足兩個(gè)條件：

加性

對(duì)于所有的 $u,v \in V$ 線性變換T滿足 $T(u+v)=T(u)+T(v)$

齊性

對(duì)于所有的 $u \in V,\lambda \in F$ 線性變換T滿足 $T(\lambda u)=\lambda T(u)$

線性變換的數(shù)學(xué)符號(hào)就是矩陣，矩陣即線性變換的信息載體。那么如何理解矩陣的數(shù)學(xué)含義？

<1>線性變換的對(duì)象是向量空間，即空間V中的全部任意向量

<2>任何一個(gè)向量空間中的所有向量都可以通過(guò)基向量的線性組合獲得

<3>經(jīng)過(guò)線性變換后，新的向量空間中的所有向量是新的基向量線性組合結(jié)果

<3>只要記錄原空間 V的基向量線性變換后的新坐標(biāo)，就可以通過(guò)線性組合推導(dǎo)出任意向量經(jīng)過(guò)線性變換后的新坐標(biāo)

所以，矩陣記錄的是，經(jīng)過(guò)線性變換后，原來(lái)的基向量在新向量空間中的位置信息

例如對(duì)于R²的空間V 有一對(duì)基向量 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ，對(duì)于任意一個(gè)該空間的向量 $p(x,y)$ 可以表示成 $\vec{p}=x\vec{i}+y\vec{j}$ 。經(jīng)過(guò)線性變換后， $\vec{p}$ -> $\vec{q}$ ，基向量 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ --> $\vec{i^{\prime}}$ , $\vec{j^{\prime}}$ 。假設(shè)變換后新的基向量坐標(biāo)為 $\left[\begin{array}{l}a\\b\end{array}\right]$ , $\left[\begin{array}{l}c\\d\end{array}\right]$ 那么 $\vec{q}$ 可以表示為:
$\vec{q}=x\left[\begin{array}{l}a\\b\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{l}c\\d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}ax+cy\\bx+dy\end{array}\right]$
將變換后的基向量作為列向量組合在一起，就變成了矩陣 matrix,記作 $M(T)$
$matrix=\left[\begin{array}{l}a &c\\b & d\end{array}\right]$

從空間幾何角度去看待矩陣，要比從多元一次方程組來(lái)看待矩陣要直白形象得多。

逆矩陣

矩陣T表示從向量空間 V到向量空間W的映射關(guān)系，那么矩陣S表示從W到T的映射關(guān)系，則T為W的逆矩陣，W為T的逆矩陣。一個(gè)矩陣與它的逆矩陣相乘所得為單位矩陣 I，單位矩陣表示恒等映射，即一模一樣的空間映射。
$T T^{-1}=T^{-1}T=I$

矩陣的轉(zhuǎn)置

矩陣A 的轉(zhuǎn)置 $A^t$ 是通過(guò)互換行列的角色得到的矩陣：
$(A^t)_{k,j}=A_{j,k}$

矩陣的秩

對(duì)于矩陣 $A^{m*n}$ ,其行秩為 $m$ ,列秩為 $n$ 。矩陣A的秩等于矩陣A的列秩

行列式

在線性映射過(guò)程中，原向量空間的基向量 $\vec{i},\vec{j}$ 被映射到了 $\vec{i`},\vec{j`}$ ,行列式表示映射完成后，新的基向量構(gòu)成的"面積"，這里的面積是廣義的，如果是 $F^2$ 的映射，那么是平行四邊形的面積，如果是 $F^3$ 的映射，那么指的是平行四面體。行列式是描述線性映射后對(duì)空間的影響的一個(gè)指標(biāo)。例如，如果 $det{A}=0$ 那么原向量空間被映射到更低的維度上，甚至直接被拍扁在0維。對(duì)于較簡(jiǎn)單的二維矩陣行列式計(jì)算如下:
$det(\left[\begin{array}{l}a &c\\b & d\end{array}\right])=ad-bc$

零空間

對(duì)于線性映射T，T的零空間(記作 $null T$ )是指向量空間 V中那些被T 映射到0上的向量的集合。
$null T=\{v \in V:Tv=0\}$
即輸入的向量集V，經(jīng)過(guò)線性映射T 后形成了新的向量集W，這個(gè)過(guò)程中，原屬于V中的一部分向量經(jīng)過(guò)映射后，“不幸”的被拍死在零點(diǎn)（原點(diǎn)）上，這群不幸的向量的集合就是線性映射的零空間 nullT，零空間是 V的子空間。

特征向量、特征值

對(duì)于算子T，將空間V映射到W的過(guò)程中，一部分向量 $\vec{v}$ 被映射到 $\lambda \vec{v}$ 上，則 $\lambda$ 為特征值， $\vec{v}$ 是基于 $\lambda$ 的特征值。一個(gè)n*n的矩陣有n個(gè)特征值，特征值之和為矩陣的跡
$T\vec{v}=\lambda \vec{v} \\ \vec{v}\in{V}$

特征向量的特性在于，經(jīng)過(guò)同一個(gè)矩陣進(jìn)行映射，無(wú)論多少次，特征向量的方向始終不變，而模長(zhǎng)變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Clambda" alt="\lambda" mathimg="1">的k次冪倍。這一特點(diǎn)在求解矩陣的n次冪時(shí)非常重要:
$A^k\vec{v}=\lambda^k\vec{v},\lambda 為特征值，v為特征向量$

參考資料:

《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》第三版
線性代數(shù)的本質(zhì) - 系列合集

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[筆記](méi) 線性代數(shù)

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