? ? ? 拓?fù)鋷缀斡^念（幼兒頭腦中的觀念）是分離、次序、封閉和連續(xù)等關(guān)系都得到了清晰的體現(xiàn)。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3歲左右的兒童，他們頭腦中的幾何關(guān)鍵是拓?fù)涫降?，也就是說，構(gòu)成圖形的整體材料類似于橡皮泥，可以隨意拉伸，壓縮，只要沒有發(fā)生斷裂，粘連，它們總是一樣的。而且，他們擁有完全相同的拓?fù)鋷缀涡再|(zhì)。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如:點(diǎn)A與點(diǎn)B總是保持臨近關(guān)系，點(diǎn)A、B、C總是保持著相同的次序關(guān)系，點(diǎn)B總是被點(diǎn)A和點(diǎn)C封閉著，而且這幾個(gè)圖形總是保持著同樣的連續(xù)性。

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? ? ? ? 前歐式觀念（小學(xué)階段兒童頭腦中的觀念）是生活化的、具體的、物理性的。在作品中提現(xiàn)位一個(gè)完整的、情景化的生活世界，當(dāng)內(nèi)在的認(rèn)知圖式還不具備穩(wěn)定的可逆性，所以他們創(chuàng)作的情景世界是靜態(tài)的。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 立體感是其視覺和靜態(tài)表象? 相結(jié)合的產(chǎn)物，而不是依靠抽象的歐式幾何表現(xiàn)出來的。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 歐式幾何屬于中學(xué)階段? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 歐式幾何中，圓，橢圓，三角形，四邊形等都是完全不同的圖形。但是對(duì)于拓?fù)鋷缀味?，它們卻是完全一樣的，都是相對(duì)于開放圖形而言的封閉圖形。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 歐式幾何觀念是抽象的，無限的，形式化的。而6到12歲兒童創(chuàng)造的幾何觀念是具體的，有限的，物理性質(zhì)的，這正是我們將小學(xué)階段的幾何觀念稱為前歐式幾何空間觀念的主要原因。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 歐式幾何觀念是剛性的，一個(gè)圖形（包括一條線段）被拉伸或者壓縮，那么，長(zhǎng)度或者面積或者體積就會(huì)發(fā)生改變，這就是我們成人會(huì)認(rèn)為上面的三個(gè)圖形完全不同的根本理由。拓?fù)鋷缀魏蜌W式幾何也具有某種潛在的關(guān)聯(lián):在四到六歲，兒童通過觸摸、盲摸、手工建造、繪畫等形式多樣的游戲活動(dòng)，初步從拓?fù)鋷缀坞A段過渡到帶有剛性色彩的前歐式幾何階段。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 兒童能夠準(zhǔn)確地說出模型的名字，并非是兒童在純粹的自然狀態(tài)中習(xí)得的，而是被成人告知的。兒童最初對(duì)物體的分類能力主要依靠視覺和動(dòng)作。但是對(duì)類的命名能力卻主要來自于外部文化系統(tǒng)。如父母會(huì)一遍又一遍的指著各種積木和物體對(duì)兒童說這是球，這是正方體，這是圓柱體。所以兒童腦海中最初的關(guān)于空間立體圖形的觀念，是一個(gè)在父母反復(fù)告知、自身視覺、自身動(dòng)作等因素綜合作用下，逐步內(nèi)化的靜態(tài)表象之物。? ? ? ? ? ? ?

? ? ? 在傳統(tǒng)教育中，往往錯(cuò)誤的把空間幾何觀念的建構(gòu)建立在簡(jiǎn)單抽象之上。比如，給兒童提供一堆各式各樣的幾何模型，然后讓兒童歸納總結(jié)（抽象）出幾何體的概念。? ? ? ? ? ? ? ? 一條鐵軌是直線嗎？筆直的電線桿子是直線還是線段？九歲的兒童用長(zhǎng)乘以寬求出數(shù)學(xué)書的封面的面積時(shí)，這個(gè)面積是歐式幾何中所說的一個(gè)封閉的平面圖形的面積嗎？答案都是否定的，因?yàn)檫@些日常生活中常見的物體既有粗細(xì)，又有長(zhǎng)短，還有厚薄，最重要的是，它們都是有限的，而不是無限的！不管木棍有多么細(xì)，它總是有粗細(xì)的；不管數(shù)學(xué)書的封面有多么薄，它也總是有厚薄的。這些吊詭的問題，實(shí)則觸及了我們平時(shí)習(xí)焉不察的歐式幾何的本質(zhì)。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 歐式幾何的直線，線段，三角形，柱，錐，臺(tái)，球等各種幾何觀念，其實(shí)在我們有限的生活世界中并不存在。它們并不是客觀物體的直接簡(jiǎn)單抽象之物，只能存在于人類的想象世界之中，它們是人類大腦中看不見，摸不著的形式化的觀念存在物。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 各式各樣的幾何體模型（柱、錐、臺(tái)、球等），學(xué)生看似能夠從中抽象出圓柱概念（其他），但是這并不意味著圓柱作為一種歐式幾何觀念預(yù)存于模型中（模型其實(shí)僅僅提供了一種外在的認(rèn)知刺激）。? ? ? ? ? 對(duì)于原初的幾何學(xué)家們來說，模型是不存在的，他們看到，并且生活于其中的只是一種具體的、物理性的生活世界。他們創(chuàng)造了直線觀念，從客觀來講幾乎是無中生有；從主觀來講，他們其實(shí)已經(jīng)對(duì)生活世界中某種重要的物理形態(tài)進(jìn)行了聚焦和思考。然而，在他們頭腦的意識(shí)思維活動(dòng)中，經(jīng)歷無限的、開放的、豐富的想象性構(gòu)造活動(dòng)，直線觀念才能最終被創(chuàng)造出來——這個(gè)創(chuàng)造的過程，是兒童基于自己頭腦中的已有觀念的反省抽象，而絕不是簡(jiǎn)單抽象的結(jié)果。

? ? ? 在漫長(zhǎng)的人類文化進(jìn)化史中，人類創(chuàng)造了一系列的中介符號(hào)來表達(dá)這些觀念，有文字符號(hào)，如:直線，線段，三角形等；也有數(shù)學(xué)圖形符號(hào)，如／（直線，射線、三角形）等。這些符號(hào)是觀念的名字，而不是觀念本身。

? ? 兒童在6歲左右這個(gè)階段已經(jīng)接觸了大量的繪本故事，經(jīng)典童話和民間故事等，兒童跟故事中的主人公之間會(huì)產(chǎn)生奇妙的自居效應(yīng)，從而變成擅長(zhǎng)奇思妙想的高手。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)成人觀看和表達(dá)客觀世界的模式被歐式幾何觀念格式化以后，他們看到兒童用拓?fù)鋷缀斡^念創(chuàng)作的繪畫作品后，會(huì)走向兩個(gè)極端:要么認(rèn)為都是一切亂七八糟的，不值一提的東西，要么認(rèn)為都是極富天才創(chuàng)意的偉大作品。前者是極端的成人視角，把兒童視為不成熟的，甚至帶有殘疾的成人，而后者則是極端的兒童視角，把兒童視為最富創(chuàng)意的完美之人，甚至一頭亞洲象的涂鴉也會(huì)成為值得收藏的后現(xiàn)代藝術(shù)精品。二者顯然是都不可取的。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果一個(gè)六歲兒童的繪畫作品充滿了想象力，那么，他的確處于當(dāng)下最好的生命狀態(tài)之中。然而，作為教師，我們應(yīng)該引導(dǎo)兒童以符合兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的方式，逐步將內(nèi)在空間觀念從拓?fù)鋷缀伟l(fā)展到更高級(jí)的歐式幾何和攝影幾何階段。

? ? ? 通過制作活動(dòng)，兒童一方面可以運(yùn)用彩妮依據(jù)他們腦海中的樣子（立體圖形）制作出立體模型；另一方面，這樣的制作活動(dòng)本身又可以積累豐富的動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)，通過逐步內(nèi)化這些動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)，兒童腦海中的立體圖形觀念也會(huì)變得更為穩(wěn)定和清晰。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 感知立體圖形的游戲玩起來? ? ? ? ? ? ? ? 第一階段:戴上眼罩摸一摸? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.平面圖形和立體圖形能不能同時(shí)出現(xiàn)在我們的課堂里？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 有人說，不能！我們都是先認(rèn)識(shí)立體圖形，然后才談平面圖形，因?yàn)楹⒆觽兪紫仁巧钤谝粋€(gè)立體的世界之中，然后才能看到存在于立體圖形之上的平面圖形。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 這一邏輯看似合理，然而卻忽視了最重要的一點(diǎn)，那就是孩子們的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，他們并非是心如白板，因?yàn)樵谏蠈W(xué)之前，他們或通過父母?jìng)魇诤徒?jīng)過學(xué)前教育，對(duì)于平面圖形的了解更多于立體圖形。也正因?yàn)榇?，更多的孩子容易將長(zhǎng)方體叫做長(zhǎng)方形，將球換作圓。? ? ? ? ? ? ? 2.讓孩子僅僅依靠視覺，看著圖形，我們告訴他名字，觀察出特點(diǎn)，孩子們就能形成關(guān)于各種形狀的觀念嗎？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 答案當(dāng)然是否定的。對(duì)于一年級(jí)的兒童，如果想讓他們對(duì)各種幾何物體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)男睦肀憩F(xiàn)，那么他們必須有足夠的擺弄這些物體的經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該讓他們蒙著眼睛去用手摸這些物體的輪廓，并叫他們畫出這些圖形，這是光靠看和聽所取代不了的。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一板塊:討論規(guī)則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 應(yīng)該輕拿輕放。要讓學(xué)習(xí)用具發(fā)揮它應(yīng)該有的作用。兩個(gè)人共用一套，不能自己一直用。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二板塊:命名立體圖形? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正方體是方方的，摸起來平平的，有尖尖的角，還有邊（棱）。? ? ? ? ? ? 球摸起來圓圓的，滑滑的，能滾，沒有尖尖的角，沒有平平的面。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圓柱體上下面平平的圓圓的，側(cè)面摸起來也是圓圓的，很光滑，能滾。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圓錐頂上尖尖的，底下是圓形的。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第三板塊:對(duì)比中認(rèn)識(shí)圖形。? ? ? ? ? ? ? 通過觸摸辨別各種立體圖形的特征。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第四板塊:盲摸游戲? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 先請(qǐng)一名同學(xué)上臺(tái)演示怎么盲摸。戴上眼罩，在暗箱中摸出形狀，說出它的名字，并用語言描述它的特征。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第五板塊:盲摸挑戰(zhàn)游戲? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在這一環(huán)節(jié)，除了易錯(cuò)的長(zhǎng)方體，還增加平面圖形的卡片和一些比較特殊的立體圖形，如扁扁的圓柱體，圓臺(tái)，橢球。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二階段:用彩泥制作立體教室? ? ? ? ? 第一板塊:討論規(guī)則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 我們要用手上的彩泥把這些立體圖形捏塑出來。老師說開始做的時(shí)候才動(dòng)，別的同學(xué)發(fā)言或者老師說話的時(shí)候，我們要學(xué)會(huì)傾聽。? ? ? ? ? ? ? 第二板塊:制作立體圖形? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在制作立體圖形的過程中，基本上是老師說一個(gè)圖形，學(xué)生們迅速捏一個(gè)，捏好后再描述。 （先用手把它搓成一個(gè)圓條，然后把兩頭分別放在桌子上壓平，再把多出來的弄掉，這就是圓柱體。）? （先捏一個(gè)球，然后也是每個(gè)面都放在桌子上壓一下，再用手這樣捏一捏，就能捏出角和棱。）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第三板塊:捏塑立體教室 （捏教室里各種立體圖形）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第三階段:你能從建筑物中看出立體圖形嗎？ （六棱柱、圓錐體、三角錐、四棱錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)、球缺）? （天安門、金字塔、天壇、佛塔、印度泰姬陵、法國(guó)建筑）? ? ? ? ? ? ? ? ? 學(xué)生寫繪? ?

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? ? ? 第四階段:立體王國(guó)會(huì)發(fā)生怎樣的的故事 呢？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一板塊:立體王國(guó)的故事? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 立體王國(guó)里，有這樣幾個(gè)村落，長(zhǎng)方體村，正方體村，圓柱體村，球村，圓錐體村。每個(gè)村子看起來都大不一樣，每個(gè)村的人的形狀也都不一樣。在球村里，所有的東西都是球體的，房子是球體，桌子是球體，水杯是球體，吃飯的碗也是球體。最神奇的是，就連村民都是一個(gè)個(gè)的球，有大大的球，也有小小的球，還有不大不小的球。? ? ? ? ? 而圓柱體的村落里，所有的東西都是圓柱體體的:房子是圓柱體，桌子是圓柱體，水杯是圓柱體，吃飯的碗也是圓柱體。村民自然也是圓柱體，有瘦高瘦高的圓柱體，有矮胖矮胖的圓柱體，還有又矮又胖的圓柱體。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 長(zhǎng)方體的村落里，所有的東西都是長(zhǎng)方體的，房子是長(zhǎng)方體，桌子是長(zhǎng)方體，水杯是長(zhǎng)方體，吃飯的碗是長(zhǎng)方體。人也都是一個(gè)個(gè)的長(zhǎng)方體，有扁扁的長(zhǎng)方體，也有長(zhǎng)長(zhǎng)的長(zhǎng)方體，還有兩面都是正方形的長(zhǎng)方體。（對(duì)比實(shí)物講其它村落）? ? ? ? ? ? 每個(gè)村子的村民世世代代都各自住在自己的村落里，誰也沒有也不敢邁出村門一步。因?yàn)槊總€(gè)村子只有自己的形狀，所以每個(gè)村里的人都認(rèn)為，世界上所有的東西都是長(zhǎng)得和自己一個(gè)樣子。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直到有一年冬天，球村的調(diào)皮鬼球球跑出了村子。原來，它在家憋悶得慌，于是趁媽媽沒有注意偷偷溜出村子去玩雪。半路上，它遇到了同樣出門玩耍的圓柱體。它倆見了面，眼睛都瞪直了，互相繞著對(duì)方走了整整三大圈。欸？你、你、你怎么長(zhǎng)得跟我好像不太一樣呢？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 球球大肚子一挺，對(duì)著圓柱體說:“你看看我，渾身圓滾滾的，趴在地上想怎么滾就怎么滾！”圓柱體把腦袋伸給球球:“你看看我，上面是圓圓的，平平的，”它又抬抬腳，“下面也是圓圓的，平平的。你會(huì)在地上滾有什么了不起？我也會(huì)?！彼鼮榱孙@示自己不比球球差，也在地上打起滾來。? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 互相自我介紹后，它們很快就成了好朋友，一起在雪地上高興的玩了起來。看看，它們?cè)谘┑厣狭粝铝艘淮畠盒∧_印。（球留下的腳印是點(diǎn)，圓柱體留下的腳印是圓形。）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 師用事先準(zhǔn)備好的球和圓柱體蘸水，在黑板上印。（球滾動(dòng)起來，留下的是一條線，圓柱體留下的是長(zhǎng)方形，圓錐留下的是圓形。）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第二板塊:立體王國(guó)故事寫繪