給定自然數(shù)，令表示數(shù)據(jù)的Kolmogorov復(fù)雜度，若長度不大于的程序均無法用少于步的運(yùn)行生成，則稱的最大值為在顯著因子下的邏輯深度。

令代表任一超指數(shù)增長的遞歸函數(shù)（例如Ackermann函數(shù)），定義下列程序：

運(yùn)行全體長度小于的程序至多步，收集其中停機(jī)者的全部輸出，匯總為集合A。

于是，生成集合A需要上述程序和數(shù)據(jù),總長度為。集合A中的元素?zé)o法多于定義中的程序，故A的大小不超過2的次方。

任給一恒小于這一上界的增函數(shù)，則不在A中且長度不超過的總數(shù)不小于2的次方，從而大于。因此，若按字母序列出前個不在A中的數(shù)據(jù)，其長度均不超過。

據(jù)此我們構(gòu)造下列程序（包含可變參數(shù)）：

調(diào)用生成集合A，然后依字母序枚舉不在A中的元素，輸出其中第K個。要求

我們注意到，需要輸入的長度是，代入上述約束得最終程序長度不超過。

我們選取使得：

則總長度不大于n-s-1。

于是，我們用不大于n-s-1的信息量可以輸出一個不在A中的數(shù)據(jù)。但這種數(shù)據(jù)無法用小于n-1的信息量在R（n）步內(nèi)輸出（否則它就會落入A中）。從而這些數(shù)據(jù)的邏輯深度至少是R（n），顯著因子為s。

此類數(shù)據(jù)的個數(shù)就是K值的上限,根據(jù)選取它的條件可以得知：無論R（n）是增長多快的遞歸函數(shù)，長度上限n的數(shù)據(jù)中都有2的次方個案例達(dá)到所要求的邏輯深度！

由于長度不超過n的數(shù)據(jù)（含空串）共個，我們根據(jù)上式可知，無論我們將增長多快的遞歸函數(shù)作為“爆炸式增長”的標(biāo)準(zhǔn)，長度不超過n的數(shù)據(jù)中都會有的比例發(fā)生“深度爆炸”，達(dá)到天文數(shù)字的邏輯深度。這一特征可稱作邏輯深度特有的長度反比律。

推論：全體長度不超過n的數(shù)據(jù)的平均邏輯深度隨n的增長快于n的任意遞歸增函數(shù)。

同理可知，將顯著因子s增大可以指數(shù)地減少這些邏輯極深數(shù)據(jù)的比例。這也是它這一名稱的來由。