問題一：已知一個圓的周長是6.28分米，求這個圓的面積。
解答：r=6.28÷2π=1（分米）? ? S=πr2=3.14×12=3.14（平方分米）
分析：這是一道常見的已知周長求面積的題目，所使用的知識點是蘇教版五年級下冊《圓的面積》。學生可以利用C=2πr或C=πd，求出該圓的半徑或直徑，再利用S=πr2求解。
但是，在《九章》中，提出了這樣一種解法：S=C2÷π÷4（傳統(tǒng)解法中π取3，所以原文是S=C2÷12，這里傳化了一下。）這樣，問題一可以這樣來解。
解答：S=C2÷π÷4=6.282÷π÷4=（2π）2÷π÷4=3.14（平方分米）
其實，這不過是對圓的面積公式進行了簡單的變換而已。如下圖：
這樣的變化讓我們繞過求圓的半徑，可以利用周長直接求解面積。除了這一點好處之外，它的優(yōu)越性到底體現(xiàn)在哪里？讓我們一探究竟。
《九章》中關于圓的面積記錄了4種算法，我們以問題二為例進行說明；
問題二：現(xiàn)有圓形田，圓周長為30步，直徑為10步。問田的面積是多少？（步：古代的計量單位）
算法一：以圓周之半與半徑相乘可得到圓田的面積。
算法二：圓周與直徑相乘，除以4。
算法三：直徑與直徑相乘，乘以3除以4。（備注：古代算法中π取3，所以這里的×3就是×π，在公式推導中已經(jīng)轉(zhuǎn)化過來了。）
算法四：圓周與圓周相乘，除以12（這里的除以12就相當于除以除以π再除以4）
綜上，我們就得到了圓面積的四種不同公式；
這樣的四種算法都可以變換成S=πR2。
? ? ? 從教學的角度考慮：在日常的教學中可能我們會更加注重學生對基本公式的記憶與運用，這種公式的變形往往被忽視，所以《九章》中的這四種算法對于學生理解公式之間的關系有很大的啟迪作用，可以鍛煉學生公式的互化能力。若是能夠熟練的運用，則會減少不必要的解題步驟，簡化過程。但是，從另一個角度思考，也會增加部分學生的記憶負擔，小學課標中并沒有明確提出學生需要掌握變形公式的能力，而這一點，往往到初中才會強調(diào)。
