題目描述

Suppose there are n facilities and m customers. We wish to choose:

(1) which of the n facilities to open

(2) the assignment of customers to facilities

The objective is to minimize the sum of the opening cost and the assignment cost.

The total demand assigned to a facility must not exceed its capacity.

解題思路

首先解析一下題目的意思。假設(shè)某地有n個(gè)可以開的工廠，m個(gè)顧客，每個(gè)工廠的開設(shè)都要不同的費(fèi)用，而顧客為了滿足自身的需求，到不同的工廠去消費(fèi)也要不同的費(fèi)用?，F(xiàn)在需要找出，在滿足了所有顧客的需求的情況下，最小的費(fèi)用。這里要注意，每家工廠都有自己的容量，不可以無限制的滿足顧客的需求，若一個(gè)工廠剩余的容量比某個(gè)顧客的需求要小，那么它是無法滿足顧客的需求；而對于顧客而言，他只能去一家工廠滿足自己的需求。

先來分析一下這里的約束條件。首先是工廠的開設(shè)費(fèi)用，每個(gè)工廠的開設(shè)都是需要一定費(fèi)用的；然后是顧客到工廠的花費(fèi)，顧客為了滿足自己的需求，需要找到容量足夠的而且花費(fèi)比較少的工廠；最后是工廠的容量，不能無限滿足所有顧客的需求。這個(gè)問題的約束條件非常多，如果用傳統(tǒng)的動態(tài)規(guī)劃的思路來做，狀態(tài)空間會非常大而且不好設(shè)計(jì)動態(tài)規(guī)劃轉(zhuǎn)移方程。因此，在這道題中我沒有用到動態(tài)規(guī)劃的思路。

貪心算法

如果動歸很難設(shè)計(jì)的話，第一時(shí)間想到的就是貪心的算法。在滿足約束的情況下找到最小解，貪心的思路就是：在滿足每一個(gè)需求的時(shí)候都找一個(gè)最小的花費(fèi)。設(shè)計(jì)起來也比較簡單：假設(shè)所有工廠都是開放的，對于每一個(gè)顧客的需求，我們都找一個(gè)最小的，而且容量還足夠的工廠。

FOR each customer:
  loop: find the factory with the smallest cost
  if the capacity of the factory smaller than the demand of the customer
    goto loop
  else
    total cost += the cost of the customer going to the factory
FOR each factory:
  if nobody going to the factory
    total cost -= the opening cost

以上就是貪心算法的大概流程，我們需要遍歷一次所有的顧客需求，然后找到最小的花費(fèi)，這里可以用優(yōu)先隊(duì)列（heap）或者用排序算法從頭開始找最好的工廠。由于題目保證了每個(gè)樣例都有解，因此不需要特意考慮如果對于一個(gè)需求而言沒有任何一個(gè)工廠能夠有足夠的容量來滿足的情況。

盡管如此，貪心算法找到的solution并不是沒有提升空間。這個(gè)算法只能解決customer到工廠最小花費(fèi)的問題，但是沒有考慮到開設(shè)工廠需要的花費(fèi)，因此，從根本上來說，貪心算法達(dá)到的解不會是全局最優(yōu)解。另外，由于現(xiàn)在是按照順序?qū)︻櫩瓦M(jìn)行遍歷，前面的顧客可能會占據(jù)了后面的顧客的工廠容量，因此，達(dá)到的解也不一定是最優(yōu)的。

為了讓貪心算法盡可能逼近最優(yōu)解，我們可以采用隨機(jī)調(diào)換顧客順序的方式，將得到的結(jié)果進(jìn)行對比，得到相對較好的解。

模擬退火算法

前面提到了，貪心算法得到的解只是一個(gè)局部的最優(yōu)解，并不能達(dá)到全局最優(yōu)解。而這時(shí)，用模擬退火算法就可以有一定幾率跳出局部最優(yōu)解，到達(dá)全局最優(yōu)解。

一開始，先隨機(jī)一個(gè)解，這個(gè)解需要滿足：

1. 所有顧客都被滿足
2. 工廠還有剩余容量
   然后，通過模擬退火算法：

T := INITIAL_TEMPERATURE
WHILE T > END_TEMPERATURE
  for i from 1 to 1500:
    generate new solution
    if the cost of the new solution is smaller than the cost of the origin
      accept the new solution
    else
      delta := new_cost - self.cost
      probility := exp(-delta / T)
      if probility > random
        accept the new solution
  T := T * 0.98

以上是模擬退火算法的大體流程。生成新解的方式（鄰域搜索方式）是：（1）隨機(jī)選取兩個(gè)顧客交換它們的工廠（2）隨機(jī)改變一個(gè)顧客的工廠。當(dāng)然，生成的新解同樣也需要滿足原來的約束條件。

從結(jié)果可以看出，退火算法可以跳出局部最優(yōu)解，但是，最后收斂的解也不一定是全局最優(yōu)解，但值得肯定的是，退火算法得到的結(jié)果是比貪心的結(jié)果要優(yōu)秀的。但不足的地方是，模擬退火算法的收斂需要很長的時(shí)間，而貪心算法則很快就能找到一個(gè)解。

結(jié)果分析

從這里我們可以很清晰的看出，退火算法得到的結(jié)果比貪心算法是有很大的提升的。

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