題目描述

給定一個整數(shù) n，計算所有小于等于 n 的非負整數(shù)中數(shù)字 1 出現(xiàn)的個數(shù)。

示例1

輸入：
13
輸出：
6
解釋：
數(shù)字 1 出現(xiàn)在以下數(shù)字中: 1, 10, 11, 12, 13 。

題解

這題是我搜數(shù)位 dp 題目搜出來的，于是我直接用數(shù)位 dp 方法把它過了，后來發(fā)現(xiàn)其實沒必要這么麻煩，簡單的計算就能算出來了，這里兩個方法我都講一下。

數(shù)學方法

我們不妨用 n = 12345 來舉個例子。要求小于等于 n 的數(shù)字里有多少個 1 ，我們不妨轉(zhuǎn)換個角度，看某一位數(shù)字是 1 的話，有多少數(shù)字小于 n 。

例如從右向左數(shù)第 i = 2 位（數(shù)字 3 ），如果這一位取 1 ，那么左邊 2 位如果取 0~11 ，那么右邊 2 位就沒有任何限制，從 0 取到 99 都行。如果左邊 2 位如果取 12 ，那么就得考慮 n 中第 i 位是幾了，如果大于 1 ，那么右邊 2 位還是沒有限制；如果等于 1 ，那么右邊 2 位只能取 0~45 ；如果等于 0 ，那就沒得取了。

下面這張圖是我打的草稿，看的更清楚一點：

image

一般化描述就是，考慮從右往左數(shù)第 i 位是 1 的數(shù)字數(shù)量。那么 n 中第 i 位左邊部分的數(shù)字是 ，而右邊可以取的數(shù)量是 ，相乘就是總的數(shù)量 。如果左邊直接取最大值，那么就要考慮第 i 位數(shù)字是幾了，計算可以得到第 i 位數(shù)字為 ，記為 x 。如果 ，那么右邊無限制，有 種取法；如果 ，那么右邊有 種取法；如果 ，那么右邊無法取，因為第 i 位都沒法取 1 。

綜上，令 ，那么答案就是：

數(shù)位dp

數(shù)位 dp 就麻煩許多了，不想看的可以直接跳過了。

首先我們從最高位開始往右遞歸計算，用 pos, count, limit 來表示計算到第 pos 位（從左往右，和數(shù)學方法不一樣）時，已經(jīng)出現(xiàn)了 count 個 1 ，并且之后的數(shù)字有無限制（也就是能否取遍 0~9 ），這種狀態(tài)之下方法數(shù)是多少。

那么第 pos 位我們可以取的數(shù)字有哪些呢？如果 limit = 1 也就是有限制，那么只能取 0~n中第pos位，如果沒有限制那就取 0~9 。

假設(shè)第 pos 位取 1 ，那么 pos 就轉(zhuǎn)移到了 pos+1 ，count 轉(zhuǎn)移到了 count+1 ，limit 呢？只有當原來有限制，并且第 pos 位正好取了最大值也就是 n 中第 pos 位數(shù)字時，limit 還是 1 ，否則的話限制取消，后面的數(shù)字隨便取。如果第 pos 位不取 1 ，那么除了 count 不變以外，其他兩個狀態(tài)還是跟上面一樣轉(zhuǎn)移。

終止狀態(tài)的話，如果遍歷到了最后一位結(jié)束，就返回 count 數(shù)量就行了，表示當前數(shù)字中有 count 個 1 。

這樣的話會有很多重復計算的狀態(tài)，所以需要用到記憶化搜索，用 dp[pos][count] 來保存 pos, count, limit=0 狀態(tài)下的答案。為什么只保存 limit=0 的答案呢？因為只有無限制的情況下，后面的數(shù)字才能隨便取，跟 n 是多少沒有關(guān)系。否則的話 n 變了后面的值就會受限于 n ，那么就不是一個定值了，沒法保存。

那么 limit=1 不保存的話會不會超時呢？不會的，因為每一位只有一種取法會使得后面的數(shù)字繼續(xù)有限制，所以整體上來看，有限制的狀態(tài)個數(shù)是個常數(shù)，并不需要擔心超時。

代碼

數(shù)學方法（c++）

class Solution {
public:
    int countDigitOne(int n) {
        int res = 0;
        for (long i = 1; i <= n; i *= 10) {
            res += n / (i * 10) * i;
            int x = (n / i) % 10;
            res += x > 1 ? i : (n % i + 1) * x;
        }
        return res;
    }
};

數(shù)位dp（c++）

class Solution {
public:
    int a[14];
    int dp[14][14];
    
    int dfs(int pos, int count, int limit) {
        if (!pos) return count;
        if (!limit && dp[pos][count] != -1) return dp[pos][count];
        int res = 0, ub = limit ? a[pos] : 9;
        for (int i = 0; i <= ub; ++i) {
            res += dfs(pos-1, count+(i==1), limit&&i==a[pos]);
        }
        return limit ? res : dp[pos][count]=res;
    }
    
    int countDigitOne(int n) {
        memset(dp, -1, sizeof dp);
        int len = 0;
        while (n) {
            a[++len] = n % 10;
            n /= 10;
        }
        return dfs(len, 0, 1);
    }
};

數(shù)學方法（python）

class Solution:
    def countDigitOne(self, n: int) -> int:
        res, i = 0, 1
        while i <= n:
            res += n // (i * 10) * i
            x = (n // i) % 10
            res += i if x > 1 else (n % i + 1) * x
            i *= 10
        return res