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從哲學的角度看數學的進制計數法和無限小數
下面,我以把 x 單位長度的線段分成 n 等份為例,從哲學的角度來闡述一下數學的進制計數法和無限小數.
人類這樣定義了用 B 進制計數法把 x 單位長度的線段分成 n 等份的規(guī)則：
第一步,獲取 x/n 的整數部分.
看看線段有幾個整 n 個單位長,如果線段有 m 個整 n 個單位長,m 就是 x/n 的整數部分.
第二步,獲取 x/n 的小數部分.
1.如果線段的余下部分（即 x-mn 部分）正好有 k 個整 1／B^1 單位長,那么獲取 x/n 的小數部分成功,n 等份分割線段結束,每段長度為 m.k .否則下一步.
2.如果線段的余下部分（即 x-mn 部分）正好有 k 個整 1／B^2 單位長,那么獲取 x/n 的小數部分成功,n 等份分割線段結束,每段長度為 m.k .否則下一步.
3.如果線段的余下部分（即 x-mn 部分）正好有 k 個整 1／B^3 單位長,那么獲取 x/n 的小數部分成功,n 等份分割線段結束,每段長度為 m.k .否則下一步.
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按上述規(guī)則,用十進制計數法把 x 單位長度的線段分成 n 等份：
第一步,獲取 x/n 的整數部分.
看看線段有幾個整 n 個單位長,如果線段有 m 個整 n 個單位長,m 就是 x/n 的整數部分.
第二步,獲取 x/n 的小數部分.
1.如果線段的余下部分（即 x-mn 部分）正好有 k 個整 1／10 單位長,那么獲取 x/n 的小數部分成功,n 等份分割線段結束,每段長度為 m.k .否則下一步.
2.如果線段的余下部分（即 x-mn 部分）正好有 k 個整 1／100 單位長,那么獲取 x/n 的小數部分成功,n 等份分割線段結束,每段長度為 m.k .否則下一步.
3.如果線段的余下部分（即 x-mn 部分）正好有 k 個整 1／1000 單位長,那么獲取 x/n 的小數部分成功,n 等份分割線段結束,每段長度為 m.k .否則下一步.
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那么無限小數是怎么產生的呢?
人們在試圖獲取 x/n 的小數部分時,總是（這也是沒辦法的）看線段的余下部分（即 x-m*n 部分）是不是正好有 k 個整 1／B^i [注：i 是自然數] 單位長,如果沒有就再看是不是正好有 k 個整 1／B^(i+1) 單位長,如此下去,直到發(fā)現(xiàn)余下部分正好有 k 個整 1／B^(i+j) [注：j 也是自然數] 單位長,才真正得到了小數部分 k .但是,因為物質是連續(xù)的（至少至今在人們的頭腦中是這樣的）,所以這樣的“正好”并不總是存在,很多情況是永遠沒有的,因此人們不得不在頭腦中形成無限小數這個概念,實際上現(xiàn)實物質世界沒有無限小數.如果一直不能發(fā)現(xiàn)這樣的“正好”就只能取近似值做小數部分了,畢竟人類還要生存發(fā)展,不能跟無限小數沒休止地馬拉松.
所以,數學不是自然存在的,它只是人類在生活和科學上經常使用的一種工具而不是目的,它只是人類量化自然界的一門語言,而且大部分的量化是無可奈何地近似量化.