知識(shí)點(diǎn)
- 導(dǎo)數(shù)值與該點(diǎn)及其鄰域有關(guān)
-
,
-
處可導(dǎo)能推出
- 只有
- 洛必達(dá)
- 可導(dǎo) + 不可導(dǎo) = 不可導(dǎo)
- 可以不單調(diào)
- 連乘連除時(shí)使用
題型
- 使用三部曲
- 這個(gè)題只有一個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)是不能用洛必達(dá)的（洛必達(dá)條件之一：去心鄰域可導(dǎo)），而且也沒說導(dǎo)函數(shù)在這點(diǎn)連續(xù)，用到后面是也會(huì)出錯(cuò)，參見李正元例2.6
- 相切：導(dǎo)數(shù)值相等，函數(shù)值相等
法二：舉特例
利用結(jié)論
- 有定義的點(diǎn)可用導(dǎo)數(shù)公式直接求（比如左半部分的求導(dǎo)），無定義的點(diǎn)可用定義求導(dǎo)數(shù)（比如右半部分的求導(dǎo)）
- 分段求導(dǎo)問題：李正元例2.13，2.14，2.15，2.31，2.32，2.36，2.37
- 注意區(qū)分三種方法的使用
- 注意個(gè)別題不是分段函數(shù)，但是導(dǎo)函數(shù)在某些點(diǎn)無定義，所以要單獨(dú)求那個(gè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，比如：李正元例2.7（Ⅱ）
- 左右有別，左和右分別只能確定左右導(dǎo)數(shù)，左右導(dǎo)數(shù)存在且相等才能說有導(dǎo)數(shù)
-
只能趨近于
- 后一個(gè)因子趨近于0，所以無法說明前一項(xiàng)（導(dǎo)數(shù)）存在
D項(xiàng)
-
在0處可以不連續(xù)
- 同時(shí)滿足這兩條的才行
- A不滿足①，C不滿足②
- 可導(dǎo) + 可導(dǎo) = 可導(dǎo)
- 可導(dǎo) + 不可導(dǎo) = 不可導(dǎo)
- 更廣泛一點(diǎn)的結(jié)論：李正元例2.24，不一定是乘
，只要乘一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)且不可導(dǎo)的函數(shù)都有這個(gè)結(jié)論
- 李正元例2.25
- 參考李正元例2.22、2.23，函數(shù)與絕對(duì)值函數(shù)的可導(dǎo)性的關(guān)系
- 從幾何意義來看，B項(xiàng)不妨令
，則有左半鄰域內(nèi)
，右半鄰域內(nèi)
，所以
在這點(diǎn)會(huì)有尖點(diǎn)（利用前面講的某個(gè)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于0的結(jié)論）
- 開
次方的極限，等于根號(hào)下大的那個(gè)
- 偶函數(shù)
- 從幾何意義上看，
處左右切線斜率分別為0, 3，所以有兩個(gè)點(diǎn)不可導(dǎo)（偶函數(shù)圖像對(duì)稱）
- n階導(dǎo)沒說連不連續(xù)，洛必達(dá)只能用到
階
- 函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值相等
- 求一次導(dǎo)，變一次奇偶性
- 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則
- 內(nèi)外層都存在只是復(fù)合導(dǎo)存在的充分條件
- 內(nèi)外只有一個(gè)存在，或者都不存在是不能斷定復(fù)合導(dǎo)不存在的
錯(cuò)誤做法
- 經(jīng)典的錯(cuò)誤，標(biāo)準(zhǔn)的零分
- 不滿足鄰域內(nèi)有定義（極限可以在該點(diǎn)無定義，但是要求鄰域內(nèi)有定義）
- 第一步注意加絕對(duì)值
- 觀察歸納往往更簡(jiǎn)單
- 降次，然后帶公式
- 李正元151和152頁（
)
- 泰勒用來算具體點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)
- 要會(huì)寫其他點(diǎn)的泰勒公式
