中心極限定理證明

中心極限定理

設X_1,X_2,...,X_n獨立同分布，期望為\mu，標準差為\sigma，隨機變量T_n=\frac{\sum_{k=1}^{n}{X_k}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}的分布函數(shù)為
\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}{F_n(x)} &= P\left(\frac{\sum_{k=1}^{n}{X_k}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\leq{x}\right) \\ &= \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \end{aligned}
即，T=\lim_{n\to\infty}T_n服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為f(t)=\lim_{n\to\infty}f_n(t)

證明：
不妨設X_i的概率密度為g_i，令Q_k= \frac{{X_k}-\mu}{\sigma\sqrt{n}}，這里可求出Q_k的概率密度，暫設為q_k
則，T_n=\sum_{k=1}^{n}Q_k
由下面第一小節(jié)知概率密度f_n為q_k的卷積，利用卷積公式有f_n= {\mathcal{F}^{-1}}\prod_{k=1}^{n}{\mathcal{F}}(q_k)
由下面第二小節(jié)求得{\mathcal F}(q_k)=1-\frac{\omega^2}{2n}
在由下面三四小節(jié)，可得f(t)= \lim_{n\to\infty}f_n(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}

1.U=X+Y的概率密度函數(shù)為f*g

對于獨立隨機變量X,Y，其聯(lián)合分布概率密度h(x,y)=f(x)g(y)，則U=X+Y的分布函數(shù)為
\begin{aligned} H(u) & = \iint_{}^{x+y\leq{u}}h(x,y)dxdy \\ & =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{u-y}h(x,y)dxdy \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{u}h(t-y,y)dtdy \\ & = \int_{-\infty}^{u} \left[ \int_{-\infty}^{+\infty}f(t-y)g(y)dy \right] dt \\ & = \int_{-\infty}^{u}(f*g)dt \end{aligned}
從而可知U=X+Y的概率密度函數(shù)為f*g

2.Q=\frac{X-\mu}{\sigma\sqrt{n}}的傅里葉變換1-\frac{ \omega^2 }{ 2n }

轉化P\left(\frac{\sum_{k=1}^{n}{X_k}-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\le{x}\right)=P\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{{X_k}-\mu}{\sigma\sqrt{n}}\le{x}\right)后，將每一項表示為Q=\frac{X-\mu}{\sigma\sqrt{n}}，由Q(q)= P\left(\frac{X-\mu }{\sigma\sqrt{n}}\le{q}\right)=\int_{-\infty}^{\sigma\sqrt{n}{q+\mu}}f(t)dt=\int_{-\infty}^{q}\sigma\sqrt{n}f(\sigma\sqrt{n}{t+\mu})dt知每一項的概率密度函數(shù)q(t)= \sigma\sqrt{n}f(\sigma\sqrt{n}{t+\mu})。其傅里葉變換為
\begin{aligned} {\mathcal{F}}(\omega) & = \int_{-\infty}^{+\infty}\sigma\sqrt{n}f(\sigma\sqrt{n}{t+\mu})e^{-j\omega{t}}dt \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}}}dx \\ & \approx \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \left( 1-j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}}+\frac{1}{2}(-j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}})^2 \right) dx \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx - \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}} dx + \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\frac{1}{2}(-j\omega\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{n}})^2 dx \\ & = 1-\frac{\omega^2}{2n} \\ \end{aligned}

3.\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=\sqrt{2\pi}

由標準正態(tài)分布\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx=1可得

4.T的概率密度函數(shù)

\begin{aligned} f(t) & = \lim_{n\to\infty}{ f_n(t)} \\ & = \lim_{n\to\infty}{\mathcal F}^{-1}({\mathcal F}^n(\omega)) \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{\omega^2}{2n}\right)^ne^{jwt}d\omega \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{\omega^2}{2}}e^{jwt}d\omega \\ & = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{(j\omega)^2+2jwt}{2}}d\omega \\ & = \frac{1}{2\pi}e^{-\frac{t^2}{2}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{(j\omega+t)^2}{2}}d\omega \\ \end{aligned}
又因為
\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{(j\omega+t)^2}{2}}d\omega & \xlongequal{ x=\frac{j\omega+t}{j}} \int_{-\infty}^{+\infty}e^{\frac{(jx)^2}{2}}d(x-\frac{t}{j}) \\ & = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx = \sqrt{2\pi} \\ \end{aligned}
從而得到f(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}

附錄：大數(shù)定律

\lim_{n\to\infty}{P(\frac{\sum{x_k}}{n}-\frac{\sum{Ex_k}}{n}\geq\epsilon)}=\int_{x-\mu\ge\epsilon}f(x)dx \leq \int{(\frac{x-\mu}{\epsilon})^2f(x)}dx=\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}

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