過程能力分析的來龍去脈
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過程能力分析離不開正態(tài)分布的知識，所以我們先從直方圖及正態(tài)分布講起。
一、直方圖與正態(tài)分布
描繪計量型數(shù)據(jù)的分布離不開直方圖，下面先來回顧一下直方圖的畫法：
1、確定所要研究的對象，為了能更準確的反映總體的狀況，至少收集100個數(shù)據(jù)。
2、計算數(shù)據(jù)的極差，極差＝最大值－最小值。
3、確定分組數(shù)，一般來說可以按k=1+3.32lg(n)來定分組數(shù)，其中，n為樣本量。
4、計算組距，
5、確定組界，組界由下組界和上組界構(gòu)成。第一組的下組界為最小值－最小分度值的一半，第一組的上組界為第一組的下組界＋組距，以此類推。
6、統(tǒng)計數(shù)據(jù)落入每組中的頻數(shù)。
7、以組距為底，頻數(shù)為高畫直方，就可以得到一張直方圖。
下面舉一個畫直方圖的例子：
您在一家汽車工廠工作，目前正面臨所用凸輪軸長度的變異性問題。您想了解由兩家供應商提供的凸輪軸的質(zhì)量是否相當，因此從每家隨機抽取 100 件凸輪軸測量其長度。請分別給這兩家供應商的數(shù)據(jù)畫兩張直方圖。
手工畫直方圖比較繁瑣，我們可以利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析軟件——Minitab來畫直方圖，畫出的直方圖如下：
從上面兩張圖可以發(fā)現(xiàn)：供應商1提供的凸輪軸的長度數(shù)據(jù)比供應商2的更加集中一點，表現(xiàn)為中間多兩頭少，而供應商2的數(shù)據(jù)就比較分散，憑直覺判斷，我們應該選用供應商1的凸輪軸。
直方圖有頻數(shù)直方圖和頻率直方圖，上面我們介紹的就是頻數(shù)直方圖。如果在畫直方圖時把頻數(shù)替換為頻率就成了頻率直方圖。頻率是頻數(shù)除以樣本量，所以頻率直方圖就是頻數(shù)直方圖在坐標軸縮小“樣本量”倍，但從形狀上來看與頻數(shù)直方圖是一模一樣的。
下面我們要在頻率直方圖的基礎(chǔ)上來了解一下分布的概念。如果在畫頻率直方圖時我們限定兩個條件①收集的數(shù)據(jù)足夠多；②分組數(shù)為無窮多組，大家想一想，這樣畫出來的直方圖將會變成什么形狀？
（直方圖上的每個直方將會變成一條線）
每一條線的高度在數(shù)學上稱為“概率密度”，如果用一條光滑的曲線把這些線的端點連接起來，就是我們平時所講的分布曲線。所以分布曲線并不是很難理解的東西的，它實際上是概率密度函數(shù)在圖形上的反映。
數(shù)據(jù)的分布形狀有很多種類型，我們平時接觸到最多也是最常用的分布是正態(tài)分布。分布的形狀跟數(shù)據(jù)的類型有關(guān)。不同類型的數(shù)據(jù)具有不同的分布。數(shù)據(jù)通常分為兩類：連續(xù)型數(shù)據(jù)（或者叫做計量型數(shù)據(jù)）和離散型數(shù)據(jù)（或者叫做計數(shù)型數(shù)據(jù)）。所謂連續(xù)型數(shù)據(jù)就是數(shù)據(jù)之間的間隔是可以無限細分的，比如長度是可以無限細分的，米可以分成分米，厘米，毫米，微米，納米，……，所以長度就是一個連續(xù)型數(shù)據(jù)，體積、時間、壓力等都是連續(xù)型數(shù)據(jù)。離散型數(shù)據(jù)是指不能無限細分的，它總存在一個最小的數(shù)據(jù)間隔，比如，不合格品數(shù)，它只能以“整”個來描述，不可能說成1.5個不合格品，2.5個不合格品，象這樣一類的數(shù)據(jù)就是離散型數(shù)據(jù)，離散型數(shù)據(jù)還有很多，比如外觀缺陷數(shù)，瑕疵數(shù)等等。
我們平時接觸到最多也是最常用的分布是正態(tài)分布。正態(tài)分布也稱高斯分布，它是由德國數(shù)學家高斯于1809年正式給出表達式的。為了紀念高斯的偉大貢獻，在德國10馬克的鈔票上不但印上了高斯的頭像，而且把正態(tài)分布曲線連同它的表達式印在鈔票的正面。
正態(tài)分布的數(shù)學表達式為：
這個數(shù)學表達式中豎線后面的兩個字母是正態(tài)分布的兩個分布參數(shù)。μ是正態(tài)分布的分布中心， σ2是正態(tài)分布的方差，σ就是正態(tài)分布的標準差。我們只要知道這兩個參數(shù)，一條正態(tài)分布曲線就可以把它確定下來。任何一條正態(tài)分布曲線都可以形象地描述為“中間高、兩邊低、左右對稱、延伸到無窮”的鐘形曲線。
分布中心反映了正態(tài)分布在橫軸上的位置，而標準差反映了正態(tài)分布的離散狀況，以下是不同分布中心和標準差的正態(tài)分布的比較。
有一類正態(tài)分布我們必須熟練應用，那就是標準正態(tài)分布。所謂標準正態(tài)分布就是分布中心為0，標準差為1的正態(tài)分布，任何一個正態(tài)分布都可以通過
數(shù)學變換轉(zhuǎn)換成標準正態(tài)分布。以下就是一個分布中心為10，標準差為2的正態(tài)分布轉(zhuǎn)換前后的圖形。
下面我們來說說如何來計算μ和σ。μ和σ在數(shù)理統(tǒng)計上有專門的定義，但如果按照定義去求μ和σ的精確值幾乎不大可能。我們通常是利用樣本的狀況去推斷總體的狀況，這在統(tǒng)計學上就稱為參數(shù)估計。比如對于正態(tài)分布的中心和標準差，我們就可以用樣本均值
和樣本標準差s來估計。為了使估計值和精確值有所區(qū)分，我們用
分別表示μ和σ的估計值。
下面我們對上面提到的凸輪軸長度的數(shù)據(jù)再用正態(tài)分布曲線擬合一下，可以得到以下圖形：
現(xiàn)在我們可以用數(shù)據(jù)來解釋供應商1與供應商2之間的差異了：供應商 1 的凸輪軸似乎比供應商 2 的凸輪軸短。這可以從表格中的平均值（分別為 599.5 和 600.2）以及擬合正態(tài)分布峰值的相對位置看出來。
供應商 2 樣本的標準差 (1.874) 遠遠高于供應商 1 的標準差 (0.6193)。這使得供應商 2 的擬合正態(tài)分布較低且較寬。供應商 2 的產(chǎn)品中大量變異性可能是導致凸輪軸長度不一致的主要原因。
二、過程輸出與正態(tài)分布
過程輸出 → 產(chǎn)品 → 產(chǎn)品可以用質(zhì)量特性值來表示 → 質(zhì)量特性值可分為計量型和計數(shù)型數(shù)據(jù) → 數(shù)學理論上可以證明，如果某項計量型數(shù)據(jù)的指標受到很多項隨機因素的干擾，而每項干擾都很小的話，則所有干擾影響的綜合結(jié)果將導致此項指標的分布為正態(tài)分布
通過上面這段文字的指引，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果過程的輸出可以用計量型數(shù)據(jù)來表示的話，那么往往就可以用正態(tài)分布來表示過程的輸出。正因為我們要了解過程的輸出，而輸出又可以用正態(tài)分布來表示，這就是我們?yōu)槭裁匆獙W習正態(tài)分布的原因。
三、正態(tài)分布與過程不合格品率
也許生產(chǎn)控制人員最關(guān)心的問題就是產(chǎn)品的不合格品率。那么我們有沒有辦法通過正態(tài)分布來求產(chǎn)品的不合格品率呢？
假如有一個磨加工車間在磨一只產(chǎn)品，它的規(guī)范限是9.8—10.2，通過抽取樣本畫出的頻率直方圖如下：
圖上的兩條紅線就是產(chǎn)品的規(guī)范限，從圖上標明的數(shù)據(jù)很容易可以知道，這個樣本中的不合格品率是0.01＋0.01＋0.02＝0.04，也就是把所有超過規(guī)范限的“直方”加起來。而通過前面所學的知識我們知道，頻率直方圖上的一個直方在正態(tài)分布曲線圖上就是一條線，如果要通過正態(tài)分布曲線來求不合格品率，只需把超出規(guī)范限以外的所有的“線”加起來，而所有的線加起來就構(gòu)成了“面積”。所以利用正態(tài)分布求不合格品率就變成了求超出規(guī)范限以外的正態(tài)分布曲線與橫軸所圍成的面積。
那么如何來求“超出規(guī)范限以外的正態(tài)分布曲線與橫軸所圍成的面積”呢？這個比較復雜，需要運用高等數(shù)學里的積分的方法求。但是我們可以借助MINITAB軟件把它求出來。比如上面所舉的例子，磨加工高度的規(guī)范限是9.8—10.2，現(xiàn)在通過抽取樣本計算出均值為10.1，標準差為0.1，我們可以先通過正態(tài)分布求出該磨加工過程的合格品率。
通過上圖可知，該磨加工過程的合格品率為84%，那么不合格品率就是16%。
假如通過改進過程，使得過程的平均值靠近公差帶中心，即10，我們再來看一下過程的不合格品率會發(fā)生什么變化。
這時，過程的合格品率就提高到了95.4%，而不合格品率就降低為4.6%。
如果過程的均值沒有發(fā)生變化，但設(shè)法提高了過程的加工精度，標準差由0.1減小為0.07，我們再來看一下過程的不合格品率又發(fā)生了什么變化。
我們可以發(fā)現(xiàn)合格品率由84%提高到了92.3%，而不合格品率降為7.7%。
最后我們得出減小過程不合格品率的兩種策略：
在產(chǎn)品的公差范圍不變的情況下，通過改進過程，使得過程的均值向公差帶中心靠攏和/或減小過程的變差，可以顯著地減小過程的不合格品率。
在兩種策略中，相比較而言，讓過程均值向公差帶中心靠攏更容易實現(xiàn)一些。所以在過程不合格品率過大的情況下，首先要分析一下過程均值有沒有跟公差帶中心靠攏，然后再設(shè)法提高加工的精度。
四、過程能力指數(shù)
通過上面的介紹，我們知道，過程是可以用分布來描述的。而分布有它的一些特定的參數(shù)，比如分布中心和標準差。分布參數(shù)不同，滿足顧客要求的能力也不同。比如標準差大的比標準差小的滿足顧客要求的能力要差，因為標準差大的過程產(chǎn)生的不合格品會多一些。我們通常把6倍的標準差稱為過程的能力。把過程能力與顧客的要求（即公差范圍）去比較，稱為過程能力指數(shù)。所以過程能力指數(shù)是表征過程滿足顧客要求的能力的指標。
過程能力指數(shù)的計算公式是：
但是，如果標準差相同，分布中心不同，這兩個過程滿足顧客要求的能力也是不同的。如下圖所示，兩個過程標準差相同，但分布中心相差ε，這兩個過程的不合格品率也是不同的。
如果光從Cp來表示還不能區(qū)分這兩個過程滿足顧客能力的大小，所以又增加了一個指數(shù)Cpk：
其中ε為過程分布中心偏離公差帶中心的距離。
對Cpk的算式進行簡單處理，可以得到如下等式：
令：T＝USL－LSL
接下來的問題是，如何來估計總體的標準差σ？在解決這個問題之前，我們先要了解一下穩(wěn)定的和不穩(wěn)定的過程。
所謂穩(wěn)定的過程是在任何一個時刻去觀測過程，它的分布位置和分布寬度都是恒定不變的。如下圖所示的就是一個穩(wěn)定的過程。它的特點是過程的均值和標準差都保持不變。
而不穩(wěn)定的過程是指在不同的時刻去觀測過程，它的分布位置和分布寬度都可能會發(fā)生變化。如下圖所示的就是一個不穩(wěn)定過程。
對于不穩(wěn)定的過程，任一時刻的過程的輸出的標準差都可能會不同，用任一時刻的過程輸出的標準差來代表整個過程的標準差都是片面的，不合理的。因此計算過程能力指數(shù)有一個前提條件，那就是：過程必須預先用控制圖來判斷是穩(wěn)定的。在這種狀態(tài)下可以用
來估計σ，其中
是控制圖當中的極差平均值，
是一個跟子組大小有關(guān)的系數(shù)，可查表。比如當子組大小為5的時候，
。
在這時候過程能力指數(shù)就可表示為：
可是如果過程確實是不穩(wěn)定的怎么辦？這時候我們可以用合并的標準差，也就是樣本標準差s來估計總體的標準差。
當σ用s來估計時，得到的就不是過程能力指數(shù)，而是過程性能指數(shù)Ppk。
接下來我們來看看
和6s有什么區(qū)別。我們用圖示的方法來說明。
對于穩(wěn)定的過程，任一時刻的輸出的中心和分布寬度基本上是不變的。如果把某一時刻的過程輸出當成一個子組，那么每個子組之間只存在著組內(nèi)波動，
，
，……，表示的就是組內(nèi)波動。它不存在著組與組之間的波動。而且組內(nèi)的波動也是相等的，只是由于抽樣的緣故，它們之間會存在略小的差別?？偟倪^程波動可以用各個組內(nèi)波動的平均
來估計。從波動引起的機理上來說，組內(nèi)波動主要由偶然因素引起，組間波動由異常因素引起。所以穩(wěn)定的過程也可以說是只有偶然因素在起作用的過程。而不穩(wěn)定的過程是除了組內(nèi)波動以外，還有組間波動，組間波動主要表現(xiàn)為子組的分布中心發(fā)生了漂移，而且從上圖可以看出組內(nèi)的波動也可能是不相等的。不穩(wěn)定的過程是除了偶然因素在起作用以外還有異常因素在起作用的過程。所以總的過程標準差必須用合并的標準差，即樣本標準差s來估計。這個s既包括了偶然因素引起的波動，又包括了異常因素引起的波動，最后計算出來的s應該比其中任何一個都要大。如果一個過程計算出的s與
差不多大，那么我們也可以大致推斷過程是穩(wěn)定的。
正因為
與6s存在上面這樣的一種關(guān)系，所以從理論上來說過程性能指數(shù)Ppk總要比Cpk小。
因為在實際過程運行中，穩(wěn)定是相對的，變化是絕對的。不發(fā)生變化（這種變化是由于異常因素在起作用而引起）的過程幾乎是不可能，即便是穩(wěn)定的過程，也只能是保持在相對來說比較長的一段時間內(nèi)。所以我們有時把過程能力指數(shù)稱為短期過程能力指數(shù)，把過程性能指數(shù)稱為長期過程能力指數(shù)。
如果把一個過程比作一個人的話，那么一個穩(wěn)定的過程就相當于是一個精神正常的人，而一個不穩(wěn)定的過程就象是一個有精神病的人，我們誰都希望跟精神正常的人打交道，誰都不愿意跟精神不正常的人相處。因為我們對一個精神病人的行為是無法把握的，這就會增加我們心中的恐懼感。讓過程處于穩(wěn)定受控狀態(tài)是現(xiàn)場控制人員的一項重要任務。上面我們也提到，過程總有一種由穩(wěn)定向不穩(wěn)定變化的趨勢，怎么樣發(fā)現(xiàn)過程已經(jīng)開始發(fā)生變異是采取措施的關(guān)鍵?？刂茍D就是幫助我們識別過程發(fā)生變異的重要工具。如果我們在控制圖上規(guī)定一些采取措施的“行動點”，及時對開始變異的過程加以調(diào)整，我們是完全能夠使過程處于穩(wěn)定狀態(tài)的。
下面舉一個利用MINITAB進行過程能力分析的例子。
某臺機器連續(xù)生產(chǎn)鋼珠，直徑是它的一個重要質(zhì)量特性。為對鋼珠直徑進行控制，每隔15分鐘抽樣1次，每次抽取產(chǎn)品5個，共抽樣25次。測量并記錄數(shù)據(jù)。經(jīng)檢驗鋼珠直徑服從正態(tài)分布，試繪制Xbar—R控制圖并進行過程能力分析。
首先是利用MINITAB畫出控制圖，判斷這個過程是否處于穩(wěn)定狀態(tài)。
叢圖上可知，所有的點都在控制限內(nèi)，并且也沒有非隨機的趨勢，因此我們可以判斷生產(chǎn)過程處于穩(wěn)定狀態(tài)。接下來我們進行過程能力的分析。
觀察上圖，可以獲得很多信息。首先，圖正中帶兩條擬合曲線的直方圖給了我們最直觀的認識。兩條線幾乎完全重合，將左上角的標準差（組內(nèi)）＝0.024841與標準差（總體）＝0.024722相比，相差甚微，這說明除了組內(nèi)的偶然因素引起的波動以外，幾乎不存在組間波動。其次，Cp＝0.67，Cpk＝0.67，兩者均小于1.33，說明過程能力不足，需要改進過程，兩者沒有差別，說明主要改進方向是設(shè)法降低過程的偶然因素引起的波動。再次，圖左下方的PPM值的統(tǒng)計從可能出現(xiàn)的不良率這個角度解釋了過程能力的優(yōu)劣。
五、過程能力指數(shù)和不合格品率之間的關(guān)系
從過程能力指數(shù)的計算公式
可知，提高過程能力指數(shù)的途徑有三種：
1、增大公差范圍。
2、減少分布中心和公差帶中心的偏移量。
3、減少過程輸出的標準差。
在上面講到不合格品率的內(nèi)容時，我們也分析了減少不合格品率的途徑。通過對比，我們發(fā)現(xiàn)減少不合格品率與提高過程能力指數(shù)的途徑是一樣的，這說明兩者之間肯定存在著千絲萬縷的聯(lián)系。那么它們之間到底存在著什么樣的精確關(guān)系呢？下面就為大家來解析這個問題。
上圖中α為超出公差下限的不合格品率，β超出公差上限的不合格品率。M是公差帶中心，μ是過程分布中心。USL是公差上限，LSL是公差下限。由前面學過的知識可知：
