以下是關(guān)于自由極值凹性和凸性的討論

無(wú)論海塞行列式主子式如何表述，總是與穩(wěn)定點(diǎn)是峰頂還是谷底這一問(wèn)題有關(guān)。即它們總是與一條曲線、一個(gè)曲面或者一個(gè)超曲面在穩(wěn)定點(diǎn)附近如何彎曲有關(guān)。

一、函數(shù)的凹凸性

在單選擇變量的情況下，即z=f(x)，峰頂或者谷底的圖形是以一條倒U形或 U形曲線表示。對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,y)，其峰頂（谷底）的形狀是以山丘形（碗形）表面來(lái)表示。在更多元層面，需要發(fā)揮想象在超平面中想象出“峰頂”或“谷底”。

一個(gè)在整個(gè)定義域中給出峰形（谷底）的函數(shù)被稱作凹（凸）函數(shù)。

在非嚴(yán)格的情況下，允許峰形或谷底包含一個(gè)或多個(gè)平坦的部分，比如線段或平面。在嚴(yán)格的情況下，就剔除了線段或平面的存在的可能性。如下圖，分別代表了嚴(yán)格凹函數(shù)和嚴(yán)格凸函數(shù)。

示例

凹函數(shù)的極值必然是極大值——峰頂。而且此極大值必然是絕對(duì)極大值，因?yàn)榉逍胃采w了整個(gè)定義域。但絕對(duì)極大值可能不是唯一的，因?yàn)槿绻椒灏艘粋€(gè)平頂，則可能存在多重絕對(duì)極大值。僅當(dāng)我們限定為嚴(yán)格凹性時(shí)，才可以排除后一種的可能性。此時(shí)峰值才包括一個(gè)單一的點(diǎn)，絕對(duì)極大值才是唯一的。唯一的絕對(duì)極大值也稱作強(qiáng)絕對(duì)極大值。

總結(jié)

二、凹凸性檢驗(yàn)

檢驗(yàn)

公式

（一）線性函數(shù)
若 f(x) 是一個(gè)線性函數(shù)，則此函數(shù)既可以是凹函數(shù)，也可以是凸函數(shù)，但不是嚴(yán)格凹或凸函數(shù)。

（二）函數(shù)的正負(fù)性與凹凸性
若 f(x)為凹函數(shù)，則 -f(x)為凸函數(shù) ，反 之亦然 ; 類似地 ，若 f(x) 為嚴(yán)格凹函數(shù)，則 -f(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)，反之亦然。

（三）函數(shù)的和
若 f(x) 與 g(x) 均為凹(凸)函數(shù)，則f(x) + g(x) 也為凹(凸)函數(shù);若 f(x) 和 g(x) 均為凹(凸)函數(shù)，且其中至少有一個(gè)為嚴(yán)格凹(嚴(yán)格凸)函數(shù)，則 f(x) + g(x) 為嚴(yán)格凹(嚴(yán)格凸)函數(shù) 。

參考資料
《數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本方法》第四版