參考
數(shù)學(xué)中的空間
現(xiàn)代數(shù)學(xué)以集合為研究對象。如果研究班上的同學(xué)，則研究對象就是班上所有同學(xué)組成的集合。
有了研究對象，還需要有研究對象需要遵循的規(guī)則。比如要研究班級談戀愛的情況，則定義一個規(guī)則：班里每一名同學(xué)可以和另一名同學(xué)(不能和自己)之間建立戀愛關(guān)系(不限男女)。定義一個規(guī)則后就得到了一個賦有某種規(guī)則的班級同學(xué)的集合，即一個同學(xué)戀愛空間。
如果在同學(xué)戀愛空間上再定義交友關(guān)系，則得到一個同學(xué)戀愛交友空間。也就是說關(guān)系可以疊加。
定義的規(guī)則就是公理，以后任何操作以及推導(dǎo)都只能在公理的基礎(chǔ)上進(jìn)行，為解決問題提供更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。
總而言之，數(shù)學(xué)中的空間的組成包括兩個部分：研究的對象和內(nèi)在的規(guī)則，或者叫做元素和結(jié)構(gòu)。
1、線性空間
線性空間就是定義了加法和數(shù)乘的空間。
線性空間中的元素可以是任何東西。線性空間中的元素滿足線性結(jié)構(gòu)，即滿足加法和數(shù)乘。定義加法和數(shù)乘需要8條公理：
(1)
(2)
(3) ,其中
為
元素
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
空間里的一個元素可以由其他元素線性表示，就是線性空間。
2、度量空間
度量空間就是定義了距離的空間。
距離有很多，例如歐式距離、曼哈頓距離、閔可夫斯基距離、馬氏距離、切比雪夫距離等等。最常用的兩點之間連線的距離稱為歐式距離。
距離就是兩個元素對應(yīng)一個數(shù)。為集合中兩個元素，則
決定了一個數(shù)。定義距離有三條要遵守的要求：
(1) 非負(fù)性、同一性：當(dāng)且僅當(dāng)
時取等。
(2) 對稱性：
(3) 三角不等式：
3、賦范空間
賦范空間就是定義了范數(shù)的空間。
距離是針對兩個元素，而范數(shù)是針對一個元素。定義范數(shù)需要遵守三個要求：
(1) 非負(fù)性：
(2) 齊次性：
(3) 三角不等式：
定義了范數(shù)，可以在此基礎(chǔ)上定義距離：也就是說范數(shù)比距離更具體，有了范數(shù)已定能用范數(shù)定義距離，但是又距離不能定義范數(shù)。
4、線性賦范空間
線性賦范空間就是定義了加法、數(shù)乘、范數(shù)的空間。
5、巴拿赫空間
巴拿赫空間就是完備的賦范空間，定義了距離、范數(shù)、完備性。
完備簡單來講就是定義了極限，無論怎么取極限，它的極值都不會跑出這個空間。
- 完備空間的定義：如果一個空間是完備的，則該空間中的任何一個柯西序列都收斂在該空間中。
柯西序列就是隨著序數(shù)增加，值之間的距離越來越小的序列。(就是定義了一個極限)
比如實數(shù)集是完備的，而有理數(shù)集是不完備的。有理數(shù)數(shù)列取極限可能是無理數(shù)。
柯西序列中提到了距離的概念，也就是說在定義完備空間之前，先要有距離的概念。所以完備空間也是完備度量空間。
6、內(nèi)積空間
內(nèi)積空間是定義了內(nèi)積的空間。
內(nèi)積將兩個矢量與一個純量連接起來，允許我們嚴(yán)格地談?wù)撌噶康摹皧A角”和“長度”，并進(jìn)一步談?wù)撌噶康恼恍浴?br>
內(nèi)積可以定義范數(shù)，也就是說內(nèi)積比范數(shù)更具體。
7、歐式空間
歐式空間是定義了內(nèi)積的有限維實線性空間。
8、希爾伯特空間
希爾伯特空間是完備的內(nèi)積空間。
9、拓?fù)淇臻g
拓?fù)淇臻g只定義交并運算，即交并運算后仍屬于同一集合，包括空集。
空間的關(guān)系
線性空間：只有加法和數(shù)乘。
度量空間：定義了距離。
賦范空間：定義了范數(shù)。
線性賦范空間：線性空間 + 范數(shù)。
線性度量空間：線性空間 + 距離。
內(nèi)積空間：定義了內(nèi)積。
拓?fù)淇臻g：定義了交并運算。
巴拿赫空間：賦范空間 + 完備性。
希爾伯特空間：內(nèi)積空間(無限維) + 完備性。
注：范數(shù)比距離更具體，內(nèi)積比范數(shù)更具體。
結(jié)尾
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