2018.03.28
公式太多，過(guò)于晦澀。
什么是數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)，作為人類(lèi)思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评硪约皩?duì)完美境界的追求．它的基本要素是：邏輯和直觀、分析和構(gòu)作、一般性和個(gè)別性
數(shù)學(xué)是思維表達(dá)
有記載的數(shù)學(xué)起源于東方．大約在公元前兩千年，巴比倫人就搜集了極其豐富的資料，這些資料今天看來(lái)應(yīng)屬于初等代數(shù)的范圍．至于數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代意義的一門(mén)科學(xué)，則是遲至公元前5至公元前4世紀(jì)才在希臘出現(xiàn)的
祈起源自東方
第1章自然數(shù)
雖然希臘人曾經(jīng)把點(diǎn)和線(xiàn)等幾何概念作為他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但是，所有的數(shù)學(xué)命題最終應(yīng)歸結(jié)為關(guān)于自然數(shù)〔1〕1，2，3，…的命題，這一點(diǎn)已變成了現(xiàn)代的指導(dǎo)原則．“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的是人的工作．”
自然數(shù)是數(shù)學(xué)終極問(wèn)題
第1章補(bǔ)充數(shù)論
高斯（Gauss）（1777～1855），是近代第一流的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)的許多不同分支都有他的貢獻(xiàn)；據(jù)說(shuō)他用下面的話(huà)表示他對(duì)數(shù)論的看法：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后．”
數(shù)學(xué)王子
一個(gè)大于1的正整數(shù)p，它除了1和它本身外沒(méi)有因子，就稱(chēng)它是素?cái)?shù)
素?cái)?shù)
每一個(gè)整數(shù)都能表示為素?cái)?shù)的乘積．
整數(shù)
關(guān)于素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)的證明（它是由歐幾里得給出的）至今仍然是數(shù)學(xué)推理的一個(gè)典范．這是用“反證法”來(lái)進(jìn)行的．
反證法
雖然素?cái)?shù)平均分布的問(wèn)題已被滿(mǎn)意地解決了，但還有其他許多被試驗(yàn)證實(shí)的猜想，迄今還不能證明它們是正確的
其中有一個(gè)是有名的哥德巴赫猜想，由試驗(yàn)觀察到，任何一個(gè)偶數(shù)（除了2，它本身是一素?cái)?shù)）都能表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和．
哥德巴赫問(wèn)歐拉：能不能證明這對(duì)于所有偶數(shù)都是對(duì)的，或者至少找出一個(gè)反例來(lái)否定它．歐拉沒(méi)能給出回答，而且從那時(shí)以來(lái)沒(méi)有一個(gè)人給出過(guò)回答．
哥德巴赫猜想，任何一個(gè)偶數(shù)都能表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和
另一個(gè)甚至比哥德巴赫問(wèn)題更引人注目的問(wèn)題，卻還沒(méi)有一點(diǎn)解決的途徑．人們?cè)缇妥⒁獾剑財(cái)?shù)經(jīng)常以p和p＋2的形式成對(duì)出現(xiàn)，例如，3和5，11和13，29和31，等等．人們相信“存在無(wú)窮多個(gè)這樣的素?cái)?shù)對(duì)”的命題是對(duì)的，但至今在解決這個(gè)問(wèn)題的方向上，還根本談不上有什么辦法．
素?cái)?shù)以p和p+2成對(duì)出現(xiàn)
關(guān)于畢達(dá)哥拉斯數(shù)的結(jié)果，自然地會(huì)引起這樣一個(gè)問(wèn)題：究竟有沒(méi)有自然數(shù)a，b，c能滿(mǎn)足a3＋b3＝c3或a4＋b4＝c4，或更一般地，對(duì)一給定的正整數(shù)指數(shù)n＞2
關(guān)于畢達(dá)哥拉斯數(shù)的評(píng)注，費(fèi)馬寫(xiě)道，對(duì)任意的n＞2，方程（3）在自然數(shù)中是不可解的．但他寫(xiě)道，紙的空白邊緣太少，不能把他所發(fā)現(xiàn)的這個(gè)美妙證明寫(xiě)下來(lái)了．
費(fèi)馬大定理
自然數(shù)是從計(jì)算有限集合的元素個(gè)數(shù)的過(guò)程中抽象出來(lái)的．但在日常生活中，我們不僅要數(shù)單個(gè)的對(duì)象，而且也需要度量像長(zhǎng)度、面積、重量和時(shí)間這樣的量引進(jìn)有理數(shù)，除了有其“實(shí)際”原因以外，還有一個(gè)更內(nèi)在的，從某些方面來(lái)看甚至是更為迫切的理由
在通常的自然數(shù)的算術(shù)中，我們總能進(jìn)行兩個(gè)基本運(yùn)算：加法和乘法．但是“逆運(yùn)算”減法和除法并不總是可行的
為什么引入有理數(shù)
在有理數(shù)的范圍內(nèi)，所謂有理運(yùn)算——加、減、乘、除——可以無(wú)限制地進(jìn)行，而決不會(huì)超出這個(gè)范圍之外．這樣一個(gè)封閉的數(shù)的范圍稱(chēng)為一個(gè)域．
有理數(shù)是個(gè)域
正整數(shù)序列1，2，3，4…是最早和最重要的無(wú)限集．這個(gè)序列沒(méi)有末尾，沒(méi)有“終結(jié)”，這事實(shí)并不神秘，因?yàn)椴徽撜麛?shù)n有多大，總有下一個(gè)整數(shù)n＋1
一個(gè)形如a＋bi的符號(hào)，其中a和b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，稱(chēng)為帶有實(shí)部a和虛部b的復(fù)數(shù)．在這些符號(hào)的加法和乘法運(yùn)算中，除了i2總是用1來(lái)代替以外，將把i看成和一個(gè)普通實(shí)數(shù)一樣．
復(fù)數(shù)
1900年，在巴黎的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)上，希爾伯特在一個(gè)著名的演講中，提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，它們都是易于敘述的，有些用初等和普通的語(yǔ)言就可以敘述，但是都還沒(méi)有得到解決
希爾伯特的23個(gè)問(wèn)題已經(jīng)解決
第4章射影幾何公理體系非歐幾里得幾何
一條直線(xiàn)的理想點(diǎn)稱(chēng)為這直線(xiàn)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)．
直線(xiàn)
數(shù)學(xué)中的公理方法至少要追溯到歐幾里得時(shí)代．
用通常的話(huà)來(lái)說(shuō)，公理體系的觀點(diǎn)可以描述如下：在一個(gè)演繹系統(tǒng)中，證明一個(gè)定理就是表明這個(gè)定理是某些先前業(yè)已證明過(guò)的命題的必然邏輯結(jié)果；而這些命題的證明又要利用另一些已證明的命題，這樣一直逆推上去．所以數(shù)學(xué)證明的過(guò)程是一個(gè)無(wú)限逆推的不可能完成的任務(wù)，除非允許在某一點(diǎn)停下來(lái)．因此，必須有一些稱(chēng)為公設(shè)或公理的命題，把它們當(dāng)作真的事實(shí)接受下來(lái)，而無(wú)須加以證明．
公里無(wú)需證明是必須的
這些公理必須是相容的，就是說(shuō)，從它們出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)的任意兩個(gè)定理都不會(huì)相互矛盾；而且這些公理必須是完備的，就是說(shuō)，這個(gè)系統(tǒng)中的每一個(gè)定理都能由它們導(dǎo)出．為了經(jīng)濟(jì)起見(jiàn)，也希望這些公理是獨(dú)立的，就是說(shuō)，其中沒(méi)有一個(gè)公理是其他公理的邏輯推論
公理的特型
在歐幾里得幾何中，有一條對(duì)應(yīng)于拉緊的琴弦或一束光線(xiàn)的公理，其“真實(shí)性”，并非顯然．這就是有名的平行線(xiàn)唯一性公設(shè)．它斷言：通過(guò)不在給定直線(xiàn)上的任一點(diǎn)，能畫(huà)一條且只能畫(huà)一條直線(xiàn)平行于該給定直線(xiàn)．這個(gè)公理引人注目的特點(diǎn)是，想象一條直線(xiàn)向兩邊無(wú)限延伸，然后作出關(guān)于這條直線(xiàn)整個(gè)范圍的論斷．因?yàn)?，說(shuō)兩條直線(xiàn)平行，就是說(shuō)不論它們延伸多么遠(yuǎn)，它們絕不相交．不用說(shuō)，在任何固定的有限距離內(nèi)，不論多么大，過(guò)一點(diǎn)都有許多直線(xiàn)不與一給定直線(xiàn)相交．
然而歐幾里得幾何的所有其他公理都具有有限性．在那里，它們處理的是直線(xiàn)的有限部分和有限范圍內(nèi)的
平行公理在歐幾里得幾何里很不和諧
平面圖形．平行公理不能通過(guò)經(jīng)驗(yàn)加以驗(yàn)證，這個(gè)事實(shí)引起了這樣的問(wèn)題：它究竟是不是獨(dú)立于其他公理．如果它是其他公理的必然邏輯推論，那就可以不把它作為公理，而用其他歐幾里得公理加以證明．
我們只須造這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何“模型”，使它滿(mǎn)足除了平行公設(shè)外的所有歐幾里得公理．
在這模型中，過(guò)給定直線(xiàn)外一點(diǎn)可以畫(huà)出無(wú)窮多條“直線(xiàn)”“平行于”這直線(xiàn)．這樣的幾何稱(chēng)為波約伊－羅巴契夫斯基幾何或“雙曲幾何”（后一個(gè)名稱(chēng)的起因見(jiàn)此處）．
非歐幾何，除了平行都滿(mǎn)足
雖然實(shí)驗(yàn)沒(méi)有作出結(jié)論，但它表明了歐幾里得幾何和雙曲幾何只有在大范圍內(nèi)才有所不同，而對(duì)相對(duì)小的
圖形來(lái)說(shuō)是如此緊密地吻合，以至于是和實(shí)驗(yàn)一致的．因此，只要所考慮的純粹是空間的局部性質(zhì)，那么在這兩個(gè)幾何之間進(jìn)行選擇完全視其簡(jiǎn)單和方便而定
非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)，其革命性意義在于它摧毀了這樣的觀念：歐幾里得公理是我們關(guān)于物理現(xiàn)實(shí)的實(shí)驗(yàn)知識(shí)必須適應(yīng)的始終不變的數(shù)學(xué)模式
這個(gè)想法首先是黎曼在1851年被授予哥廷根大學(xué)名譽(yù)講師時(shí)，他在就職演講中提出的．具有封閉的有限直線(xiàn)的幾何能以一種完全相容的方式給出
黎曼幾何
第5章拓?fù)鋵W(xué)
在給一個(gè)地圖著色時(shí)，習(xí)慣上是，對(duì)任意兩個(gè)有一段共同邊界的國(guó)家使用兩種不同的顏色．經(jīng)驗(yàn)表明，任何地圖不論它包括多少?lài)?guó)家，也不論它們的位置如何，要這樣給它上色，只用四種不同的顏色就夠了．
四色問(wèn)題
第一個(gè)是切線(xiàn)問(wèn)題：確定已知曲線(xiàn)的切線(xiàn)，這是微分學(xué)的基本問(wèn)題．
第二個(gè)是求積問(wèn)題：確定已知曲線(xiàn)內(nèi)部的面積，這是積分學(xué)的基本問(wèn)題．牛頓和萊布尼茨的偉大功績(jī)?cè)谟谒麄兠鞔_地認(rèn)識(shí)到了這兩個(gè)問(wèn)題之間的密切聯(lián)系
微積分的2個(gè)基本問(wèn)題
為了計(jì)算平面圖形的面積，我們選擇邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度的正方形作為面積的單位．
面積
微積分的第一個(gè)基本概念是積分．這一節(jié)我們將把積分理解為用極限方法求得的曲線(xiàn)下的面積
積分是求面積
微積分的另一個(gè)基本概念——導(dǎo)數(shù)，則是在17世紀(jì)才由費(fèi)馬及其他人建立起來(lái)的
導(dǎo)數(shù)
萊布尼茨和牛頓的巨大功績(jī)，就在于他們首先明確地認(rèn)識(shí)到并應(yīng)用了這個(gè)微積分基本定理
這兩人的偉大在于認(rèn)識(shí)并應(yīng)用了微積分基本原理
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