1.3.4 概率的連續(xù)性的證明

性質(zhì)1.3.7（概率的連續(xù)性） 若P為事件域\mathscr{F}上的概率，則P 既是下連續(xù)的，又是上連續(xù)的

證明：

先列出需要用到的幾個(gè)公理/定理/定義

可列可加性公理

若A_{1},A_{2},...A_{n},...互不相容，則
P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})

有限可加性

若有限個(gè)事件A_{1},A_{2},...A_{n}互不相容，則有
P(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})=\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})

極限事件定義

對\mathscr{F}中任一單調(diào)不減的事件序列F_{1}\subset F_{2}\subset ...\subset F_{n}\subset ...，稱可列并\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{n}為\{F_{n}\}的極限事件，記為
\lim_{n \to \infty}F_{n}=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i}...........................................................................1.3.U1
對\mathscr{F}中任一單調(diào)不增的事件序列E_{1}\supset E_{2}\supset ...\supset E_{n}\supset ...，稱可列并\bigcap_{i=1}^{\infty}E_{n}為\{E_{n}\}的極限事件，記為
\lim_{n \to \infty}E_{n}=\bigcap_{i=1}^{\infty}E_{i}...........................................................................1.3.U1

下連續(xù)的定義

\mathscr{F}中任一單調(diào)不減的事件序列\{F_{n}\}，下面等式均成立
\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n}).........................................................1.3.U2
則稱概率P是下連續(xù)的

上連續(xù)的定義

\mathscr{F}中任一單調(diào)不增的事件序列\{E_{n}\}，下面等式均成立
\lim_{n \to \infty}P(E_{n})=P(\lim_{n \to \infty}E_{n}).........................................................1.3.U3
則稱概率P是上連續(xù)的

德摩根公式（事件的運(yùn)算性質(zhì)4.對偶律）

事件并的對立等于對立的交：\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}
事件交的對立等于對立的并：\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}

先證明P的下連續(xù)性，

1)先設(shè)\{F_{n}\}是\mathscr{F}中一個(gè)單調(diào)不減的事件序列，即
\lim_{n \to \infty}F_{n}=\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i}

2)\because 1.3.U2 & 1.3.U1
證\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n})
等價(jià)于
證\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\bigcup_{i=1}^{\infty}F_{i})

3)定義F_{0}=\varnothing，則證原命題又等價(jià)于
證\lim_{n \to \infty}P(F_{n})= P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(F_{i}-F_{i-1}))
由于F_{i-1} \subset F_{i}，顯然(F_{i}-F_{i-1}))兩兩不相容
由可列可加性公理得
P(\bigcup_{i=1}^{\infty}(F_{i}-F_{i-1}))=\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1})
\therefore證原命題等價(jià)于
證\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1})......................................1.3.U4

4)\because\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1}) = \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1}).............1.3.U5
由有限可加性得
\sum_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1}) = P(\bigcup_{i=1}^{n}P(F_{i}-F_{i-1})) = P(F_{n})
代入1.3.U5得
\sum_{i=1}^{\infty}P(F_{i}-F_{i-1}) = \lim_{n \to \infty}P(F_{n})
代入1.3.U4
\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=\lim_{n \to \infty}P(F_{n})
左右兩邊相等，原命題
\lim_{n \to \infty}P(F_{n})=P(\lim_{n \to \infty}F_{n})
得證

再證明P的上連續(xù)性，

1)同理先設(shè)\left\{E_{n}\right\}是\mathscr{F}中一個(gè)單調(diào)不增的事件序列，則
\left\{\overline{E}_{n}\right\}為單調(diào)不減的事件序列，

2)1-\lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =\lim_{n \to \infty}P(\overline{E}_{n}) = P(\lim_{n \to \infty}\overline{E}_{n})
由1.3.U1概率的下連續(xù)性得
P(\lim_{n \to \infty}\overline{E}_{n}) =P(\bigcup_{n=1}^{\infty}\overline{E}_{n})

3)由德摩根公式得
P(\bigcup_{n=1}^{\infty}\overline{E}_{n}) =P(\overline{\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}})
\therefore 1-\lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =P(\overline{\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n}}) =1-P(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})
\therefore \lim_{n \to \infty}P(E_{n}) =P(\bigcap_{n=1}^{\infty}E_{n})

Q.E.D

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