隱函數(shù)
如果方程f(x,y)=0能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)是隱函數(shù)。而函數(shù)就是指：在某一變化過程中，兩個(gè)變量x、y，對于某一范圍內(nèi)的x的每一個(gè)值，y都有確定的值和它對應(yīng)，y就是x的函數(shù)。這種關(guān)系一般用y=f(x)即顯函數(shù)來表示。f(x,y)=0即隱函數(shù)是相對于顯函數(shù)來說的。
其實(shí)隱函數(shù)的知識(shí)并不難理解，我們以前學(xué)的因變量y在函數(shù)一邊的叫做顯函數(shù)；隱函數(shù)就是將y“隱藏”在一個(gè)式子里即和 自變量x在一邊的函數(shù)。它的難點(diǎn)在于如何利用隱函數(shù)求導(dǎo)。接下來，我就和大家聊一聊隱函數(shù)的求導(dǎo)。
在做題的時(shí)候我們經(jīng)常會(huì)聽到“對x求導(dǎo)”的說法，這個(gè)就是我們往往不好理解的地方，知道如何處理x卻不知道如何處理y，下面我就主要圍繞這個(gè)來展開。舉個(gè)例子：
這個(gè)式子你當(dāng)然可以將隱函數(shù)顯化得出結(jié)果-?但是這樣做題有些無法顯化的函數(shù)就沒法算了，所以我今天著重給大家講一下它的通用解法：首先第一個(gè)x的導(dǎo)數(shù)是2這個(gè)大家都知道，可是y咱們也需要處理，怎么處理？無論函數(shù)是否可以顯化，x是自變量y是因變量（y是關(guān)于x的函數(shù)）是一定的吧。之后呢？就是說在y這里對x求導(dǎo)就是對含有x的小函數(shù)求導(dǎo)（我這里說小函數(shù)是為了和原來的隱函數(shù)區(qū)分一下的），這回結(jié)果不就是y′(即dy/dx)嗎？這么一變形，就出現(xiàn)了2+3dy/dx=0導(dǎo)數(shù)就是-2/3盡管答案一樣但是這種思考方式就會(huì)在做題的時(shí)候給你帶來好處。
那么咱們換一個(gè)有點(diǎn)難度的，帶平方的該如何計(jì)算呢？
求x=-3/5時(shí)的導(dǎo)數(shù)。
x那邊不用說導(dǎo)數(shù)就是3，6y的平方怎么辦？咱們可以這么想，令y方等于m，那么這個(gè)“小函數(shù)”就變成了一個(gè)復(fù)合函數(shù)了，變成了m=y^2和y與x關(guān)系的復(fù)合函數(shù)。既然是復(fù)合函數(shù)，那么在這里的求導(dǎo)，實(shí)質(zhì)上就是對這個(gè)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，那么我們就可以計(jì)算了：3+6*2y*dy/dx=0，那么dy/dx=-3/12y由于我是隨便出的例子，經(jīng)過計(jì)算此時(shí)y等于零，導(dǎo)數(shù)不存在。但是無論什么題都是這么是思考的。
最后還有一個(gè)對數(shù)求導(dǎo)法，是用來求冪指函數(shù)的。舉個(gè)例子，
左邊就是還要把lny視作一個(gè)整體來看，右邊要注意的事導(dǎo)數(shù)相乘時(shí)的運(yùn)算。
求導(dǎo)法則
對于一個(gè)隱函數(shù)已經(jīng)確定存在且可導(dǎo)的情況下，我們可以用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t來進(jìn)行求導(dǎo)。在方程左右兩邊都對x進(jìn)行求導(dǎo)，由于y其實(shí)是x的一個(gè)函數(shù)，所以可以直接得到帶有 y' 的一個(gè)方程，然后化簡得到 y' 的表達(dá)式。
隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求解一般可以采用以下方法：
先把隱函數(shù)轉(zhuǎn)化成顯函數(shù)，再利用顯函數(shù)求導(dǎo)的方法求導(dǎo)；隱函數(shù)左右兩邊對x求導(dǎo)（但要注意把y看作x的函數(shù)）； 利用一階微分形式不變的性質(zhì)分別對x和y求導(dǎo)，再通過移項(xiàng)求得的值； 把n元隱函數(shù)看作(n+1)元函數(shù)，通過多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的商求得n元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。舉個(gè)例子，若欲求z = f(x,y)的導(dǎo)數(shù)，那么可以將原隱函數(shù)通過移項(xiàng)化為f(x,y,z) = 0的形式，然后通過（式中F'y,F'x分別表示y和x對z的偏導(dǎo)數(shù)）來求解。
