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前言

倒立擺系統(tǒng)（Inverted Pendulum System, IPS）是一個(gè)典型的復(fù)雜、不穩(wěn)定、非線性、多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)，是進(jìn)行控制理論研究的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能有效地反映控制中的許多基本問(wèn)題：如非線性問(wèn)題、魯棒性問(wèn)題、穩(wěn)定化系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題以及跟蹤問(wèn)題。

通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的控制可以檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問(wèn)題的能力。同時(shí)倒立擺模型在軍工、航空航天、機(jī)器人領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，如火箭發(fā)射時(shí)的垂直控制，導(dǎo)彈飛行中的姿態(tài)控制等，足式機(jī)器人（humanoid）行走平衡控制。

控制目標(biāo)

一階倒立擺系統(tǒng)的控制問(wèn)題就是通過(guò)計(jì)算給定直流電機(jī)電流大小，即小車運(yùn)動(dòng)所需力的大?。刂谱饔茫┦箶[桿偏角和小車位置（系統(tǒng)輸出）能夠盡快達(dá)到一個(gè)平衡點(diǎn)（注意這里有多個(gè)控制目標(biāo)），并使之沒(méi)有大的振蕩和超調(diào)。進(jìn)一步，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后能克服各種隨機(jī)擾動(dòng)（例如人為撥動(dòng)擺桿使之突然偏離平衡點(diǎn)）而仍能保持穩(wěn)定運(yùn)行。

建模分析

分別對(duì)小車和擺桿進(jìn)行受力分析，建立動(dòng)力學(xué)方程。注意，這里的建模我們忽略空氣流動(dòng)阻力和其他次要摩擦力作用。

Cart-pendulum

小車運(yùn)動(dòng)

小車水平方向的運(yùn)動(dòng)：
$F - H{\text{ = }}M\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}x$

$H$ 為擺桿對(duì)小車的作用力， $F$ 為可控的對(duì)小車的外部輸入， $x$ 是小車位置也是系統(tǒng)的一個(gè)輸出。

擺桿運(yùn)動(dòng)

對(duì)擺桿的動(dòng)力學(xué)建模分解為水平方向，垂直方向及擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)。

水平方向受力分析：
$H = m\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}(x + l\sin \theta )$

$H = m \ddot x + ml \ddot \theta \cos \theta - ml \dot \theta ^2 \sin \theta$

注：這里的 $\theta$ 和 $x$ 都是關(guān)于時(shí)間 $t$ 的函數(shù)，是動(dòng)態(tài)變量。特別的， $\theta$ 也是系統(tǒng)的一個(gè)輸出。

垂直方向受力分析：
$V =mg + m\frac{{{d^2}}}{{d{t^2}}}( l\cos \theta )$

$V = mg - ml \ddot \theta \sin \theta - ml \dot \theta ^2 \cos\theta$

擺桿繞其重心的力矩平衡方程：
$J\ddot \theta = Vl \sin \theta - Hl \cos \theta$

$J$ 為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

模型簡(jiǎn)化

到目前為止倒立擺系統(tǒng)建模已經(jīng)完成，我們可以清楚的看到倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的、關(guān)于狀態(tài)變量非線性的、多變量耦合的、多輸出系統(tǒng)。

需要注意的是，我們期望擺桿的運(yùn)動(dòng)屬于小傾角運(yùn)動(dòng)，因此我們可以在期望位置（平衡點(diǎn)）對(duì)系統(tǒng)作線性化處理從而簡(jiǎn)化模型： $\dot \theta ^2 \approx 0, \sin \theta \approx \theta, \cos \theta \approx 1$ 。此外， $\theta + \phi = \pi$ ，則有 $\cos \theta = -\cos \phi, \sin \phi = \sin \theta$ 。代入簡(jiǎn)化，得：

$H = m \ddot x + ml \ddot \theta$

$V = mg - ml \ddot \theta \theta$

$J \ddot \phi = Vl \theta - Hl$

聯(lián)立以上幾式，且有 $J = \frac{4}{3} m l ^2$ ，我們可得：
$(M + m) \ddot x + ml \ddot \theta = F$

$\frac{7}{3}l \ddot \theta + \ddot x = g \theta$

到目前為止，倒立擺動(dòng)態(tài)模型簡(jiǎn)化完畢，我們可以運(yùn)用古典控制理論或現(xiàn)代控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，分別建立傳遞函數(shù)模型或狀態(tài)空間模型。

基于傳遞函數(shù)模型的古典控制理論，更適合于單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)，由于倒立擺系統(tǒng)有兩個(gè)控制目標(biāo)，因此我們選擇基于狀態(tài)空間模型的現(xiàn)代控制理論分析方法。當(dāng)然，要是不嫌麻煩完全可以建立兩個(gè)輸入輸出傳遞函數(shù)進(jìn)行分析。

狀態(tài)空間模型

$\begin{aligned} \dot x&= Ax+ Bu \\ y &= Cx + Du\\ \end{aligned}$

我們?nèi)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=M%3D0.5%2C%20m%3D0.2%2C%20g%20%3D%209.8%2C%20l%20%3D%200.3" alt="M=0.5, m=0.2, g = 9.8, l = 0.3" mathimg="1">，代入：
$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&0 \\ 0&0&{ - 1.367}&0 \\ 0&0&0&1 \\ 0&0&{15.95}&0 \end{array}} \right]$

$B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {1.628} \\ 0 \\ { - 2.3256} \end{array}} \right]$ ， $C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&0&1&0 \end{array}} \right]$ ， $D = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \end{array}} \right]$ ， $x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ {\dot x} \\ \theta \\ {\dot \theta } \end{array}} \right]$

建立了狀態(tài)空間模型，接下來(lái)就是系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)了，等下回再更。

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一階倒立擺系統(tǒng)

一階倒立擺系統(tǒng)

前言

控制目標(biāo)