習(xí)題1.1

用向量法證明：三角形 ABC 的角平分線交于一點N ，并且對任意一點O有 $\vec{O N}=\frac{1}{a+b+c}(\vec{a O A}+b \vec{O B}+c \vec{O C})$ 其中a，b，c分別是A，B，C，所對的邊的邊長。
設(shè) $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 是正 $n$ 邊行的頂點， $O$ 是它的對稱中心，證 $\vec{O A_{1}}+\vec{O A_{2}}+\ldots+\vec{O A_{n}}=0$

習(xí)題1.3

5.. 證明：對任意向量 $\vec a,\vec b$ 都有 $|\vec{a}+\vec|^{2}+|\vec{a}-\vec|^{2}=2|\vec{a}|^{2}+2|\vec|^{2}$ 當(dāng) $\vec a,\vec b$ 不共線時，說明此不等式的意義。

證明：三角形三條中線的長度的平方和等于三邊長度的平方和的 $\frac{3}{4}$

習(xí)題1.4

12.設(shè) $\vec{a} \neq 0, \vec{O P}=\vec{x}$ 求滿足方程 $\vec{a} \times \vec{x}=\vec$ 的點 $P$ 的軌跡
13.設(shè) $\vec a,\vec b,\vec c$ 都不是0， $\vec{x} \cdot \vec{a}=h \neq 0, \vec{x} \times \vec=\vec{c}$ 求 $\vec x$
14.（1）已知 $|\vec{e}|=1, \vec{e} \perp \vec{r}$ ，將 $\vec r$ 繞 $\vec e$ 右旋角度 $\theta$ 得 $\vec r_1$ ，試用 $\vec e，\vec r，\theta$ 表示 $\vec r_1$ 。
（2）給定三點 $O，A，P，O\not= A$ ，將 $P$ 繞 $\vec {OA}$ 右旋角度 $\theta$ 得到 $P_1$ ，試用 $\vec{OA},\vec{OP},\theta$ 表示 $\vec {OP_1}$ 。

習(xí)題1.5

4.證明 $(\vec{a} \times \vec, \vec \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a})=(\vec{a}, \vec, \vec{c})^{2}$
12.設(shè) $\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}$ 不共面，證明：任一向量 $\vec{a}$ 可以表示成 $\vec{a}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{2}} \times \vec{e_{3}}}{\vec{e_{1}} \times \vec{e_{2}} \cdot \vec{e_{3}}} \vec{e_{1}}+\frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{3}} \times \vec{e_{1}}}{\vec{e_{1}} \times \vec{e_{2}} \cdot \vec{e_{3}}} \vec{e_{2}}+\frac{\vec{a} \cdot \vec{e_{1}} \times \vec{e_{2}}}{\vec{e_{1}} \times \vec{e_{2}} \cdot \vec{e_{3}}} \vec{e_{3}}$

習(xí)題2.1

5.坐標(biāo)滿足方程 $(A x+B y+C z+D)^{2}-(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta)^{2}=0$ 的點的軌跡是什么？
10.證明：任何一個經(jīng)過相交兩平面 $\pi_1$ 和 $\pi_2$ ： $A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}=0$ 和 $A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}=0$ 的交線的平面方程能寫成： $\lambda\left(A_{1} x+B_{1} y+C_{1} z+D_{1}\right)+\mu\left(A_{2} x+B_{2} y+C_{2} z+D_{2}\right)=0$ 其中， $\lambda$ 和 $\mu$ 是不全為零的實數(shù)

習(xí)題2.3

4.在給定的直角坐標(biāo)系中求下列直線在xoy平面上的投影。
(1) $\frac{x+1}{0}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{2}$
(2) $\left\{\begin{array}{c}{2 x+3 y+1=0} \\ {4 x+3 y+z-1=0}\end{array}\right.$

習(xí)題3.1

6.求過三點 $(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)$ 的圓的方程
8.證明：曲線 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{t}{1+t^{2}+t^{4}}} \\ {y=\frac{t^{2}}{1+t^{2}+t^{4}},(-\infty<t<+\infty)} \\ {z=\frac{t^{3}}{1+t^{2}+t^{4}}}\end{array}\right.$ 表示一條球面曲線，并且求它所在的球面
11．適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程。
（1）到兩定點距離之比等于常數(shù)的點的軌跡；
（2）到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡；
（3）到定平面和定點等距離的點的軌跡.

習(xí)題3.2

3.已知圓柱面的三條母線為： $x=y=z, x+1=y=z-1, x-1=y+1=z$ 求這個圓柱面的方程
5.求準(zhǔn)線為 $\left\{\begin{array}{c}{\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1} \\ {z=0}\end{array}\right.$ 的圓柱面方程，這樣的圓柱面有幾個
11.已知球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外切柱面的母線垂直于平面 $x+y-2 z-5=0$ ，求這個柱面方程。
12．證明：球面的外切柱面是圓柱面
13.過 $x$ 軸和 $y$ 軸分別作動平面，交角 $\alpha$ 是常數(shù)，求交線的軌跡方程，并且證明它是一個錐面。

習(xí)題3.3

4.求經(jīng)過兩條拋物線：
$\left\{\begin{array}{c}{x^{2}-6 y=0} \\ {z=0}\end{array}\right., \left\{\begin{array}{c}{z^{2}+4 y=0} \\ {x=0}\end{array}\right.$ 的二次曲面方程
6．適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程。
（1）當(dāng)兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡；
（2）到一定點和一定平面（定點不在定平面上）距離之比等于常數(shù)的點的軌跡；
（3）設(shè)有一個固定平面和垂直于它的一條定直線，求到定平面與到定直線的距離相等的點的軌跡
（4）求與兩給定直線等距離的點的軌跡，已知兩直線之間的距離為a，夾角為α 。
7．設(shè)一個定點與一條二次曲線不在同一平面上，證明：以定點為定點，以這條二次曲線為準(zhǔn)線的錐面是二次曲面。
8.有橢球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的中心 $O$ 任意引三條相互垂直的射線，與曲面分別交于 $P_1,P_2,P_3$ 設(shè) $\left|\vec{O P}_{i}\right|=r_{i}, i=1,2,3$ ，證明： $\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{3}^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$
9.證明：用通過坐標(biāo)軸的平面和橢球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,(a>b>c>0)$ 相截時，有且僅有兩條截口曲線是圓，并說明這兩張截面的位置。

習(xí)題3.4

3.求與下列三條直線同時共面的直線所產(chǎn)生的曲面 $l_{1} : \left\{\begin{array}{l}{x=1} \\ {y=z}\end{array}\right. \quad l_{2} : \left\{\begin{array}{l}{x=-1} \\ {y=-z}\end{array}\right. \quad l_{3} : \frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z+2}{5}$
6．證明：馬鞍面同族的所有直母線都平行于同一個平面，并且同族的任意兩條直母線異面。
7．證明：馬鞍面異族的任意兩條直母線必相交。
8．證明：單葉雙曲面同族中的任意三條直母線都不平行于同一平面。
9．證明：單葉雙曲面同族的兩條直母線異面
10．證明：單葉雙曲面異族的兩條直母線共面。
11．求馬鞍面的正交直母線的交點軌跡。
12.給定單葉雙曲面 $S$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad(a, b, c>0)$ 求經(jīng)過 $S$ 上一點 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 沿方向 $(X,Y,Z)$ 的直線是 $S$ 的直母線的條件；由此證明：經(jīng)過 $S$ 上每一點恰有兩條直母線
13．證明：單葉雙曲面的每條直母線都與腰橢圓相交。
14．設(shè) $l_1,l_2$ 是異面直線，它們都與 $xOy$ 面相交，證明：與 $l_1,l_2$ 都共面并且與 $xOy$ 面平行的直線所組成的曲面是馬鞍面
15.設(shè)三條直線 $l_1,l_2,l_3$ 兩兩異面，且平行與同一平面，證明：與 $l_1,l_2,l_3$ 都相交的直線所組成的曲面是馬鞍面