這是我2019 年在中國(guó)科學(xué)院暑假學(xué)校的講義. 注意, 是小知識(shí), 不是冷知識(shí). 我們只提及(我們認(rèn)為) 最要緊的內(nèi)容. 另外, 這是講義, 不是教科書, 所以充斥著大量口水話. 教科書嘛, 好書太多了, 我也沒那本事能寫得比別人好. 講義的畫風(fēng)也不是很穩(wěn)定, 時(shí)深時(shí)淺, 時(shí)快時(shí)慢, 時(shí)而逗比, 時(shí)而嚴(yán)肅. 表示論的小知識(shí)如同大雁般在天空飛過, 時(shí)而排成S 形, 時(shí)而排成B 形, 這也可以理解.

講義大致分為兩部分, 第一部分是有限群表示, 第二部分主要是緊群的表示. 在教學(xué)實(shí)踐中我們用了七次課講有限群, 四次課講緊群, 最后一次課陳述SL2(R) 表示的基本結(jié)果. 詳細(xì)的課程進(jìn)度我們之后有記錄.

有限群的部分我們主要討論了半單性, 正則表示的分解(即有限群的Peter–Weyl 定理) 和誘導(dǎo)表示的構(gòu)造. 這些內(nèi)容都是標(biāo)準(zhǔn)的. 作為應(yīng)用, 我們研究了有限域上二階矩陣群的表示. 最后我們討論了淡中忠郎重構(gòu)定理, 即用表示范疇反過來(lái)構(gòu)造出群. 雖然定理的證明很簡(jiǎn)單, 但這里的思想方法是學(xué)生不熟悉的, 所以在教學(xué)中我們重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)定理到底說(shuō)了什么, 而不是定理怎么證明. 整個(gè)第一部分內(nèi)容可以作為本科生學(xué)完了基本的抽象代數(shù)之后的一門短課或者是讀書班的材料. 在這里我們力求敘述簡(jiǎn)明扼要, 用最短的篇幅和最直接的邏輯路線講述有限群表示的基本內(nèi)容.

緊群的部分我們以Peter–Weyl 定理為中心. 由于學(xué)生對(duì)拓?fù)淙罕容^陌生, 這一部分的敘述風(fēng)格較第一部分有些許不同. 我們依然力求簡(jiǎn)明, 但在最求簡(jiǎn)明的同時(shí)我們也盡量加上一些討(fèi) 論(huà), 以求幫助大家理解. 我們也更強(qiáng)調(diào)例子, 有些地方我們甚至直接講例子而對(duì)一般的理論避而不談. 首先我們復(fù)習(xí)Fourier 級(jí)數(shù)的相關(guān)理論, 并解釋為什么它就是S1 的表示論. 接下來(lái)是兩節(jié)一般理論, 主要是證明Peter-Weyl 定理和討論抽象緊群上的Fourier 級(jí)數(shù)理論. 接下來(lái)我們又回到例子, 用具體的群SU(2) 理解和深化之前講的定理. 我們最后討論了緊群的淡中忠郎重構(gòu)定理作為有限群同名定理的呼應(yīng), 但在教學(xué)實(shí)踐中我們并沒有講授這個(gè)定理的證明.作為課程的結(jié)尾, 我們陳述了SL2(R) 表示的分類. 大部分的結(jié)論都沒有證明(也不可能在這么短的一門課里證明). 我們希望大家以此作為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的開端.

最后一節(jié)我們匯集了一些相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn)的材料, 這些材料都被包裝成了習(xí)題. 這些習(xí)題都是大家能用在課上學(xué)過的知識(shí)看懂的, 絕大部分也能用上課學(xué)過的知識(shí)做出來(lái). 當(dāng)然了, 做不出來(lái)也不要緊, 本來(lái)就難嘛. 留著慢慢想也不錯(cuò).

我們的學(xué)生來(lái)自祖國(guó)大江南北, 大家為了一個(gè)共同的夢(mèng)想來(lái)到北京, 在漫漫長(zhǎng)夏享受著表示論的世界吹來(lái)的清風(fēng). 到了后來(lái), 北京越來(lái)越熱, 為了更涼快一點(diǎn), 大家天天上課坐飛機(jī)甚至坐火箭, 只為了讓風(fēng)更大一點(diǎn). 學(xué)生大部分大二或者大三, 一般來(lái)說(shuō)學(xué)過一點(diǎn)抽象代數(shù), 測(cè)度論, 復(fù)變函數(shù), 部分學(xué)生聽說(shuō)過一點(diǎn)群表示論和泛函分析的皮毛. 我們用到的結(jié)果基本就是群論線性代數(shù), 緊群的部分用到一些簡(jiǎn)單的泛函分析(也就是用來(lái)說(shuō)話方便). 只要大家學(xué)過群論和線性代數(shù), 我們都?xì)g迎來(lái)學(xué)習(xí)表示論. 這么多款表示論總有一款適合你.

最后我要提到一個(gè)值得警惕的現(xiàn)象. 學(xué)生們對(duì)我講表示論的干貨很多時(shí)候提不起興趣, 不愿意自己動(dòng)手做計(jì)算, 反而對(duì)抽象的沒有內(nèi)容的廢話熱情很高. 這要舉出一些典型的例子. 先講GL2(Fq) 的時(shí)候覺得太具體沒意思, 接著講淡中重構(gòu)定理的時(shí)候看到范疇論如何如何熱情來(lái)了.

再者講到群上做Fourier 分析, Plancherel 公式的時(shí)候覺得這純粹就是微積分沒啥意思, 結(jié)果提到個(gè)群代數(shù)是C*-代數(shù)的時(shí)候兩眼發(fā)光. 我并不是說(shuō)喜歡抽象的東西不好, 而是說(shuō)抽象的東西要用具體的實(shí)例來(lái)支撐. 抽象的工具要為具體的問題服務(wù). 我們現(xiàn)在看到的這些抽象的數(shù)學(xué), 它是好數(shù)學(xué)的原因不是因?yàn)樗鼜?fù)雜抽象結(jié)構(gòu)好看聽上去高大上, 而是因?yàn)樗軒椭覀兘鉀Q之前我們搞不定或者搞起來(lái)繁瑣不堪的問題, 或者是讓我們能在更高的層次上洞察問題的本質(zhì). 大家都很崇拜Grothendieck 大神, 他重寫了整個(gè)代數(shù)幾何的框架. 但我們一定要意識(shí)到, Grothendieck重新做抽象的框架是為了解決代數(shù)幾何中若干具體的問題, 特別的就是要跟Weil 猜想這個(gè)在理論和實(shí)踐上都有重大意義的問題剛正面. 所以大家要記住, 不能為抽象而抽象, 抽象一定要為具體的問題服務(wù).

我們每次課一個(gè)半小時(shí), 一周三次, 安排在周二四五上午, 下午有助教的輔導(dǎo)和教員的答疑.課時(shí)共計(jì)十八小時(shí). 學(xué)生極其優(yōu)秀的質(zhì)量和讓人嘆為觀止的勤奮刻苦精神使得課程的進(jìn)展非常順利. 我在Purdue University教書的時(shí)候有學(xué)生跟我說(shuō)You lecture like a rocket. 我想在這里我講課的進(jìn)度可能不只是火箭而是超級(jí)星際航行宇宙飛船吧. 我認(rèn)為, 在正常的教學(xué)實(shí)踐中, 速度大致放慢一半或者一多半是可行的. 再加入大量具體的例子操作給學(xué)生看那就是更好的. 某些(我們都假設(shè)學(xué)生知道的) 預(yù)備知識(shí)或者背景知識(shí)也應(yīng)該包含在正常的教學(xué)內(nèi)容當(dāng)中(代數(shù)上的模, 范疇論, 簡(jiǎn)單的泛函分析等等).?

這門課的內(nèi)容作為大三或者大四一學(xué)期三十六或者四十八小時(shí)的數(shù)學(xué)專業(yè)選修課是合理的. 總結(jié)一下, 講課的進(jìn)度大致如下:

1. 有限群表示的定義, 半單性, 正則表示定理的陳述.

2. 特征標(biāo)的定義, 正交性, 右正則表示的分解, 不可約表示維數(shù).

3. 矩陣系數(shù), 正則表示的分解; 兩個(gè)定理: 不可約表示維數(shù)整除群的階, Burnside 可解性定理.

4. 誘導(dǎo)表示, Frobenius 互反律, Mackey 子群定理.

5. GL2(Fq) 群的結(jié)構(gòu), 拋物誘導(dǎo)表示.

6. 尖表示, 用Weil 表示構(gòu)造尖表示(我們省略了分裂的情況, 也跳過了定理4.4.2 之后關(guān)于跡的計(jì)算).

7. 有限群的淡中忠郎定理.

8. Hilbert 空間, 圓圈的表示和Fourier 級(jí)數(shù).

9. 緊群表示的基本事實(shí), 不可約表示都是有限維的(我們跳過了證明), Peter–Weyl 定理(我們強(qiáng)調(diào)了定理的陳述并告訴學(xué)生如果沒學(xué)過緊算子這個(gè)證明可以跳過去). Peter–Weyl 定理的證明大致花了半個(gè)小時(shí).

10. 緊群上的調(diào)和分析. 我們重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)用Peter–Weyl 定理構(gòu)造L2(G) 的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

11. SU(2) 的表示和調(diào)和分析. 我們跳過了Weyl 積分公式的證明, 也沒有過多的討論軌道積分的性質(zhì). 也就是就事論事, 證出Plancherel 公式, 強(qiáng)調(diào)它的重要性, 結(jié)束.

12. SL2(R) 的離散序列表示和酉主序列表示的構(gòu)造, Plancherel 公式的陳述.

我們提一下關(guān)于學(xué)習(xí)的一些看法. 首先, 對(duì)于有志于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生, 到了一定的程度(取決于大家的天分, 但大致上以實(shí)變函數(shù)抽象代數(shù)為界), 再學(xué)新東西, 第一次就什么都弄明白是不太現(xiàn)實(shí)的. 其次, 也是恰恰到了這個(gè)階段, 對(duì)于學(xué)習(xí)的要求也大大提升了, 一般來(lái)說(shuō), 它要求我們?cè)诙虝r(shí)間之內(nèi)搞懂一門學(xué)問的核心內(nèi)容. 這很難, 對(duì)不對(duì)?

問題來(lái)了, 什么叫學(xué)懂了? 我想強(qiáng)調(diào)一點(diǎn), 至少是我認(rèn)為很重要的一點(diǎn), 把定理的證明都過一遍甚至記住它并不等價(jià)于真正意義上的懂. 我認(rèn)為, 學(xué)習(xí)最要緊的是建立正確的直觀, 正確直觀的建立是學(xué)懂的標(biāo)志. 什么是正確的直觀? 我覺得意思應(yīng)該是說(shuō)當(dāng)看到某個(gè)定義某個(gè)定理的時(shí)候, 腦袋里能本能地建立下面這些東西: 最具有代表性最能反映問題本質(zhì)的例子, 定義或者定理的合理性(為什么是這樣定義而不是那樣定義), 定義和定理的必要性(為什么要做這樣的定義或者是為什么要做這樣的定理), 這個(gè)定理為什么是對(duì)的(有沒有什么哲學(xué)上的原因能解釋這個(gè)定理) 等等.?

舉個(gè)小例子. 我們看到定理“函數(shù)Riemann 可積分當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)的間斷點(diǎn)集是零測(cè)集” 的時(shí)候會(huì)想到什么? 下面是幾個(gè)重要的方面:(1) 零測(cè)集的意思是說(shuō)集合里的點(diǎn)不太多, 但這個(gè)條件又比可數(shù)稍微弱一點(diǎn); (2) Riemann 可積分說(shuō)明函數(shù)連續(xù)性不能太差, 這個(gè)定理給出了“不能太差” 的準(zhǔn)確意義, 所以它應(yīng)該是對(duì)的; (3) Riemann 函數(shù)是一個(gè)在所有有理數(shù)點(diǎn)處間斷無(wú)理數(shù)點(diǎn)連續(xù)的函數(shù), 所以它是可以積分的. 你也許還能想到別的很多東西, 但我想說(shuō)的是, 相對(duì)于這幾樣?xùn)|西, 定理本身的證明并沒有那么要緊.要建立正確的直觀無(wú)疑是有難度的. 而克服這些困難最終完成正確直觀的建立需要的是大量的積累. 積累的不僅僅是知識(shí), 還有例子. 在某種意義上, 例子就等價(jià)于直觀, 直觀是例子的內(nèi)在本質(zhì), 例子是直觀的外在表象. 在我們腦子里例子不足的時(shí)候, 建立直觀是困難的. 所以我們要反復(fù)學(xué)習(xí), 反復(fù)自己研究例子. 大家一定要親自動(dòng)手算例子, 看別人算例子那永遠(yuǎn)是別人的例子不是自己的. 這個(gè)就像看別人游泳自己永遠(yuǎn)也學(xué)不會(huì). 只有自己下水撲騰或者喝幾口水之后才可能學(xué)會(huì)游泳. 第一次學(xué)不懂算不出來(lái)不要緊, 甚至前幾次學(xué)不懂算不出來(lái)也不要緊. 大家千萬(wàn)不要懷疑自己, 大家欠缺的僅僅是例子和經(jīng)驗(yàn)的積累而已. 例子當(dāng)然也是相對(duì)的. 今天抽象的內(nèi)容明天就成了更抽象的內(nèi)容的例子. 就如同矩陣可以作為線性方程組的抽象, 而矩陣本身又是更一般算子的具體例子. 有個(gè)很玄學(xué)的東西叫做數(shù)學(xué)成熟度. 我想, 腦子里的例子的豐富程度也算是數(shù)學(xué)成熟度的重要方面吧.

我們學(xué)習(xí)的過程中, 往往是靠著例子向前推進(jìn)的. 碰到一個(gè)定義或者定理, 先舉個(gè)例子給自己看看, 看看自己能不能舉一個(gè)不那么平凡的例子. 正面的反面的例子都需要. 例子算多了自然就有了感覺. 比方說(shuō), 學(xué)習(xí)群, 我們首先問自己, 我們腦袋里有多個(gè)具體的群的例子? 我們對(duì)這些例子到底了解到什么程度? 比方說(shuō)我們會(huì)碰到一個(gè)經(jīng)典的結(jié)果: 最小的非交換單群是A5. 我們第一反應(yīng), 為啥? 先試試咯, 拿幾個(gè)階數(shù)比60 小的群來(lái)試試. 然后我們發(fā)現(xiàn), 隨便試個(gè)什么例子, 總有這樣那樣的原因使得它不是非交換單群. 在試錯(cuò)的過程中你會(huì)碰到Sylow 定理, 會(huì)碰到關(guān)于p-群的結(jié)果, 會(huì)碰到其他各種各樣的小結(jié)論. 當(dāng)你試了足夠多的例子你覺得自己心理上已經(jīng)能接受“最小單群是A5” 的時(shí)候, 雖然你沒看證明, 其實(shí)你已經(jīng)基本上“懂” 這個(gè)結(jié)論了, 因?yàn)槟愦篌w上已經(jīng)知道別的群為什么不行. 又比方說(shuō), 學(xué)習(xí)Galois 理論, 我們先看到了Galois 理論的主定理. 這個(gè)時(shí)候就自己來(lái)試試手唄. 我們自己拿個(gè)方程來(lái)算算Galois 群(比方說(shuō)x3 + x + 1的Galois 群你會(huì)算嗎?), 或者隨便寫個(gè)域擴(kuò)張問問是不是Galois 擴(kuò)張? 能不能寫下所有的中間域??

古人云: 書讀百遍, 其義自見. 但那是古人的書,《古文觀止》不知道會(huì)不會(huì)讀上百遍就能秒懂.?

學(xué)數(shù)學(xué)光讀書百遍或許就沒什么用了, 但例子算百遍絕對(duì)是有益的.

另一方面, 我們說(shuō)了要快速抓住一門學(xué)問的核心內(nèi)容. 怎么能快速的抓住一門學(xué)問的核心內(nèi)容? 最簡(jiǎn)單的答案: 讓懂行的人給你講. 從別人那學(xué)習(xí), 尤其是學(xué)習(xí)骨干內(nèi)容, 是效率最高的方法.對(duì)于這門課, 我盡我最大的努力去做那個(gè)懂行的人, 去給大家用盡可能簡(jiǎn)潔直接的方法描述表示論(我認(rèn)為) 最要緊的內(nèi)容. 稍微復(fù)雜一點(diǎn)的答案: 把書讀薄. 華羅庚告訴過我們, 讀書要先讀厚,再讀薄. 我想, 讀厚的過程是算例子建立直觀的過程, 讀薄的過程是抓住主干內(nèi)容的過程. 我們前面說(shuō)的都是把書讀厚的過程. 怎么把書讀薄? 一個(gè)簡(jiǎn)單的練習(xí)是, 給你一個(gè)小時(shí)的時(shí)間, 講講一門學(xué)問最主要的內(nèi)容. 最重要的研究對(duì)象是什么? 最要緊最本質(zhì)的定理是什么? 這個(gè)定理為什么是對(duì)的(注意這不是證明而是哲學(xué))? 這時(shí)候我們就要去粗取精, 直搗黃龍, 一切問題只為核心服務(wù). 我沒有辦法幫大家把書讀厚, 如前所述, 那需要大家自己瘋狂的努力. 我希望這門課能為把書讀薄的過程做一點(diǎn)小小的貢獻(xiàn).

我離一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師都還差得很遠(yuǎn)(這里要隆重請(qǐng)出我的老師和各位師兄弟們, 我水平有限常常有愧對(duì)師門的感覺), 這讓我對(duì)很多問題的認(rèn)知或許不是最優(yōu)的. 我的文學(xué)修養(yǎng)也十分有限, 寫下的東西可能言不及義, 可能沒法表達(dá)出我心里最本質(zhì)的想法.?

簡(jiǎn)言之,就是語(yǔ)文和數(shù)學(xué)都沒怎么學(xué)好. 不過不要緊, 這個(gè)世界上有學(xué)問和修養(yǎng)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于我的人, 他們寫過很多值得一讀的東西. 這里強(qiáng)力推送兩本書的前言:

1. Polya, Szego, 分析中的問題與定理. 這是經(jīng)典中的經(jīng)典. 習(xí)題恒久遠(yuǎn), 一本永流傳. 書的前言讀起來(lái)讓人爽得欲仙欲死.

2. 伍洪熙, 黎曼幾何初步. 我不是幾何學(xué)家無(wú)法評(píng)價(jià)這本書的內(nèi)容, 但前言卻讓我讀過不下十遍. 在我極其有限的閱讀范圍之內(nèi)這是最優(yōu)秀的中文數(shù)學(xué)書前言.

作為結(jié)尾, 我請(qǐng)出兩本表示論教材.

1. Serre. 有限群表示.

2. Fulton, Harris. 表示論.

這兩本書真是把書讀厚和把書讀薄的經(jīng)典教案. Serre 的書就是薄, 言簡(jiǎn)意賅, 三言兩語(yǔ)直指核心. 我最崇拜Serre 寫書, 簡(jiǎn)直要想把膝蓋直接送給他老人家了. Serre 寫書證定理如砍瓜切菜, 邏輯結(jié)構(gòu)包裝得精美絕倫, 各種困難仿佛瞬間灰飛煙滅. 當(dāng)然這書太干了讀快了容易噎.Fulton 和Harris 的書就是厚, 沒有什么內(nèi)容的厚, 羅哩叭嗦婆婆媽媽說(shuō)了一大堆廢話. 這是把書讀厚的經(jīng)典: 里面全是例子! 全是例子! 全是例子! 例子帶你爽到起飛!

很多同學(xué)都在問學(xué)完了這個(gè)課之后接下來(lái)學(xué)點(diǎn)什么. 這當(dāng)然取決于你接下來(lái)想干什么. 不過總而言之言而總之, 有一些東西還是標(biāo)準(zhǔn)材料, 值得每個(gè)數(shù)學(xué)工作者掌握. 這方面最主要的恐怕就是兩個(gè): 緊李群的最高權(quán)表示理論和復(fù)半單李代數(shù)的分類及表示. 大家可以參考的讀物有：

1. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. 言簡(jiǎn)意賅.

2. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction. 內(nèi)容翔(luō) 實(shí)(suō), 寫得也很清楚.

3. Sepanski, Compact Lie Groups. 內(nèi)容很初等, 作為教材很不錯(cuò).

非緊李群表示的入門也可以看看Knapp 的書Representation Theory of Semisimple Groups:

An Overview Based on Examples. 這書接近八百頁(yè), 內(nèi)容包羅萬(wàn)象, 當(dāng)然也就只是入了個(gè)門. 這方面內(nèi)容已經(jīng)是現(xiàn)在研究的熱門方向了, 建議大家在有了基本的感覺之后直接看論文找題目做.

兩橫一豎就是干!

對(duì)數(shù)論學(xué)家來(lái)說(shuō), p-adic 群的表示也很重要. 基本的內(nèi)容大多是從GL2 開始學(xué)習(xí). 標(biāo)準(zhǔn)教科書要么是Jacquet–Langlands, 要么是Bump. 當(dāng)然了, 更一般更深刻教材是Bernstein 大師1992 年在Harvard 的講稿.

1. Jacquet, Langlands, Automorphic forms on GL(2). 這書或者說(shuō)它的作者太過于出名, 以至于大家都管這書叫Jacquet–Langlands.

2. Bump, Automorphic Forms and Representations. 這書是標(biāo)準(zhǔn)教材. 一般被稱為Bump.這個(gè)書錯(cuò)誤頗多, 勉強(qiáng)能忍.

3. Bernstein, Notes of lectures on Representations of p-adic Groups, 在Bernstein 的主頁(yè)上可以找到. 我們說(shuō)過要向大師學(xué)習(xí), 這就是大師. Bernstein 大師的東西都很值得學(xué)習(xí).Jacquet–Langlands 和Bump 都是自守表示的教材. 這當(dāng)然是數(shù)論中最要緊的部分之一. 學(xué)

自守表示的話讀一本即可. 另外可以參考的是

1. Godement, Notes on Jacquet–Langlands Theory. 這個(gè)之前沒有出版, 只是在IAS 內(nèi)部印刷, 最近終于由高教社正式出版. 它比Jacquet–Langlands 原書內(nèi)容少一些, 也更好讀一些.

2. Gelbart, Automorphic Forms on Adele Groups. 這書在很長(zhǎng)一段時(shí)間都是自守表示的標(biāo)準(zhǔn)教材, 流傳甚廣. 但是小錯(cuò)誤極多, 排版印刷質(zhì)量也很堪憂, 讀起來(lái)非常酸爽(至少我當(dāng)年學(xué)的時(shí)候是這感覺).

表示論是一門很大很大的學(xué)問, 我只能提及一些我相對(duì)熟悉的部分. 更多的還有比方說(shuō)幾何表示論, 量子群, 范疇化等等. 表示論也與幾何拓?fù)鋵W(xué), 數(shù)學(xué)物理等方向聯(lián)系緊密. 這些都是我不了解的, 也沒有能力向大家深入地解釋. 想了解表示論概觀, 大家可以仔細(xì)看看表示論大師中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)院院長(zhǎng)席南華院士在暑假學(xué)校做的高屋建瓴的報(bào)告: 表示, 無(wú)處不在.

一點(diǎn)廢話，以上。