活動投票
一個創(chuàng)業(yè)公司組織周末活動，老板征求大家意見，去玩密室逃脫或者去吃某個新開的自助餐。老板做出決定很簡單，大家在群里投票，哪個票多就哪個。但有員工提出，最近某部才上映的電影也不錯，可以一起加入活動待選項，老板同意了。
假設(shè)現(xiàn)在公司就只有3位員工，每個員工有6票，他們的投票得出了如下的結(jié)果：
員工1 密室：3 | 自助：2 | 電影：1
員工2 自助：3 | 電影：2 | 密室：1
員工3 電影：3 | 密室：2 | 自助：1
這個時候老板頭疼了，因為結(jié)果中活動的總分都是一樣，選擇任何一個活動好像都不太合適。
通過這個例子可以看出，“尊重大多數(shù)”這種投票模式在一些的社會選擇問題中是有毛病的。接下來我們就來簡單聊聊社會選擇問題。聊這個之前，我們先來看看兩個定義，社會福利函數(shù)（social welfare function）和 社會選擇函數(shù)（social choice function）。
社會福利函數(shù)與社會選擇函數(shù)
我們經(jīng)?？梢钥吹缴鐣＠瘮?shù)和社會選擇函數(shù)，那么它們到底是什么意思，我們花個2分鐘來了解下。
社會福利函數(shù)的定義是 ：。其中
表示選項集合
(候選項) 的線性排序集合，
是參與投票人的數(shù)量。也就是說，社會福利函數(shù)是
到特定選項排序的線性映射。這么聽上去可能有點繞，我們可以理解為社會福利函數(shù)是一個獲取群體的偏好結(jié)果的函數(shù)，比如：
員工1= 密室：3 | 自助：2 | 電影：1
員工2= 密室：3 | 電影：2 | 自助：1
員工3= 電影：3 | 密室：2 | 自助：1
社會選擇函數(shù)的定義是：。社會選擇函數(shù)是
到選項集
的一個線性映射。我們可以把它看成是一個獲取最終選擇結(jié)果的函數(shù)，比如老板看了下投票，然后宣布：
走，去吃自助
策略操縱
搞清楚這兩個函數(shù)概念后，我們接著再看另一個公司投票的例子，現(xiàn)在公司有4個員工，每個員工有10票，現(xiàn)在每個員工投票的真實評分（投票）如下：
員工1= 密室：4 | 自助：3 | 電影：2 | 卡丁車：1
員工2= 密室：3 | 自助：4 | 電影：1 | 卡丁車：2
員工3= 密室：2 | 自助：3 | 電影：2 | 卡丁車：3
員工4= 密室：2 | 自助：2 | 電影：3 | 卡丁車：2
可以發(fā)現(xiàn)，密室和自助的得票數(shù)都是12票，但員工2是個吃貨，他太想去吃自助了。這個時候，他就動起了歪腦筋，為了保證密室的得票數(shù)低于自助，他在投票的的時候并沒有按照自己的真實偏好（自助>密室>卡丁車>電影），而是將自己的投票數(shù)變?yōu)榱耍?/p>
員工2= 密室：1 | 自助：4 | 電影：3 | 卡丁車：2
這樣，員工2就可以確保自助活動的票數(shù)最多,我們把這種投票方式稱為策略操縱（strategic manipulation)。策略操縱行為的原因是對選項的偏好（密室>電影）受到了選項 自助 的影響。如果社會福利函數(shù)中，投票者對選項的偏好不會受到影響，那么我們稱其社會福利函數(shù)滿足獨立性，定義如下：
獨立性：一個社會福利函數(shù)滿足獨立性，僅當(dāng)任意兩個選項a和選項b的社會偏好僅取決于a，b本身的時候。
也就說，滿足獨立性的社會福利函數(shù)沒有被策略操縱的空間。
獨裁者
在來看另一個公司投票例子，現(xiàn)在還是4個員工，每人10票對活動進行投票，投票結(jié)果如下：
員工1= 密室：4 | 自助：3 | 電影：2 | 卡丁車：1
員工2= 密室：1 | 自助：4 | 電影：2 | 卡丁車：2
員工3= 密室：2 | 自助：3 | 電影：2 | 卡丁車：3
員工4= 密室：2 | 自助：2 | 電影：3 | 卡丁車：2
奇怪的是，最后大家一致決定去玩密室逃脫。原因是員工1是公司一位漂亮的單身女員工，其他員工都想?yún)⒓铀钕矚g的那個活動。在這個例子中，這位漂亮的女員工就是“獨裁者”。在社會選擇中，獨裁者的定義如下：
獨裁者：如果不管其他人的偏好，最終結(jié)果都與投票人
的偏好一致，那么我們說投票人
中是一個獨裁者，并且社會福利函數(shù)為獨裁關(guān)系。
Arrow 定理 與 Gibbard-Satterthwaite定理
明白獨裁者和獨立性的概念后，我們就可以來看一個大名鼎鼎的Arrow定理：
超過3個候選項（
）的社會福利函數(shù)，如果滿足一致性和獨立性，那么該社會福利函數(shù)一定是獨裁關(guān)系的（有獨裁者存在）。
其中一致性的意思是，如果大家都有一致的偏好，那么社會偏好也應(yīng)當(dāng)和大家的偏好保持一致的。
其證明可以參考：https://www.rochester.edu/college/faculty/markfey/papers/ArrowProof3.pdf
這個定理的確讓人很失望，因為我們總是希望我們設(shè)計的產(chǎn)品機制沒有獨裁者，并且同時滿足獨立性和一致性。沒有關(guān)系，因為我們還有更絕望的Gibbard-Satterthwaite定理。
結(jié)合前面所說，如果一個投票者可以通過改變自己的投票行為來獲取想要的結(jié)果，我們就說社會選擇函數(shù) 可以被該投票者操縱。但如果一個社會選擇函數(shù)有如下性質(zhì)，那么投票人將沒有操縱的空間：
當(dāng)社會選擇函數(shù)
是單調(diào)的時候，那么投票人沒有辦法通過轉(zhuǎn)換其投票策略來獲取想要的結(jié)果。這種社會選擇函數(shù)被稱為是激勵相容（incentive compatible）的（可以把激勵理解為動機，也就是沒有操縱的動機）。
有了這個概念后，最后我們來看看令人絕望的 Gibberish-Satterthwaite定理：
Gibberish-Satterthwaite定理: 如果社會選擇函數(shù)
是激勵相容的，那么當(dāng)選項的個數(shù)大于3時（
Gibberish-Satterthwaite定理另人絕望的原因是，它告訴我們：如果選項大于3，設(shè)計出不會被操縱，沒有獨裁的選擇機制是不可能的。但是，我們真的就沒有辦法了嗎？ 也不是，在下幾篇內(nèi)容中，我們來看看還有什么騷操作。
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