? ? ? ? 數(shù)學(xué)，這個(gè)我們從小就學(xué)的學(xué)科。在90后的小學(xué)印象中，語(yǔ)文和數(shù)學(xué)是并重的學(xué)科。前者是生活必備的語(yǔ)言，后者是邏輯基礎(chǔ)的工具。

? ? ? ? 我們或許并不知道數(shù)的概念從什么時(shí)候開始的。我們甚至不知道數(shù)學(xué)起源于文明的崛起還是人類意識(shí)中感性經(jīng)驗(yàn)自帶的邏輯基礎(chǔ)。

? ? ? ? 結(jié)繩計(jì)數(shù)是考證最早人類有關(guān)數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用。這是一種多么簡(jiǎn)潔明了的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。

? ? ? ? 人類從一開始總是對(duì)自然世界抱有古樸的觀念。比如神造人，天圓地方，物質(zhì)可無(wú)限細(xì)分。這些古樸的思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上就是樸素整數(shù)觀。

? ? ? ? 古人更愿意相信整數(shù)可以代表自然界所有的事物。直到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)直角三角形的勾股定理后，人類對(duì)數(shù)字的認(rèn)識(shí)才第一次有顛覆性的變革。

? ? ? ? 對(duì)于一個(gè)直邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，它的斜邊長(zhǎng)就是根2，可是人們?cè)谟?jì)算根2的具體數(shù)值時(shí)卻狂躁了，發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)居然可以很長(zhǎng)很長(zhǎng)，不管你計(jì)算多久，它好像都沒完沒了了，這就是人類發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)無(wú)理數(shù)。

? ? ? ? 在畢達(dá)哥拉斯之前的古希臘哲學(xué)中，整數(shù)代表了自然的和諧整潔之美。根2的出現(xiàn)無(wú)疑讓自然的潔簡(jiǎn)之美破碎了。

? ? ? ? 古人開始研究起了無(wú)理數(shù)，不再局限于整數(shù)的桎梏。對(duì)無(wú)理數(shù)的研究也讓人類第一次思考無(wú)窮的概念。比如一條線段無(wú)限分，總有一段是無(wú)理數(shù)式的長(zhǎng)度。

? ? ? ? 在此期間，芝諾還提出來(lái)四大悖論，簡(jiǎn)稱芝諾悖論。

? ? ? 其中以芝諾的烏龜尤為著名。你不可能追上一只烏龜，即便你是博爾特也不行。因?yàn)槟阍谧窞觚數(shù)臅r(shí)候總是要先追上烏龜行進(jìn)路程的一半，當(dāng)你追上這一半時(shí)，烏龜又前進(jìn)了一部分，你又得追上新路程的一半，至此你將陷入到烏龜路程一半的漩渦中無(wú)法逃脫。

? ? ? ? 可是這樣的結(jié)果卻與事實(shí)大相徑庭。正是由于這樣的悖論存在，人類才不得不思考無(wú)窮的概念和意義。

? ? ? ? 現(xiàn)在我們一眼就看出芝諾悖論的弊端。對(duì)線段的無(wú)窮二分勢(shì)必需要無(wú)窮的時(shí)間，而運(yùn)動(dòng)員的時(shí)間是有限的，我們不能在有限的時(shí)間內(nèi)做出無(wú)限多的事情，那么在追擊烏龜時(shí)，就不會(huì)陷入到烏龜路程的一半的邏輯漏洞中。

? ? ? ? 對(duì)無(wú)理數(shù)和無(wú)窮概念的研究和拓展成功的化解了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，人類開始探究新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

? ? ? ? 就這樣整個(gè)數(shù)學(xué)基廈安穩(wěn)的度過了2000余年，直到牛頓。我們知道微積分是牛頓和萊布尼茨奠基起來(lái)的。有了微積分后，那時(shí)的人們可以解決許多前所未有的問題，比如精確測(cè)量邊界曲折的土地面積，也可以出測(cè)量一條曲線的長(zhǎng)度。

? ? ? ? 微積分的基礎(chǔ)思想就是無(wú)限細(xì)分再整合。微積分中總是出現(xiàn)無(wú)限逼近的概念。比如無(wú)限小和0的區(qū)別，當(dāng)時(shí)的人們?cè)谀撤N情況下直接將無(wú)限小當(dāng)做0來(lái)使用，但卻不知其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)意義。

? ? ? ? 牛頓時(shí)代的人們還不能徹底搞清楚微分、積分、導(dǎo)數(shù)的內(nèi)在意義。

? ? ? ? 比如我們計(jì)算一條曲線的某點(diǎn)切線斜率，我們可以在這點(diǎn)附近取個(gè)邊長(zhǎng)都無(wú)限小的直角三角形等效替代，取而代之的是這個(gè)直角三角形的斜邊斜率。

? ? ? ? 而當(dāng)時(shí)的人們總是心里有道杠，人們認(rèn)為即便直角的邊長(zhǎng)再怎么小，它們的比值也不過是這個(gè)直角三角形斜邊的斜率。怎么能把這條斜邊的斜率直接等同于曲線這點(diǎn)的切線斜率呢？理論上曲線某點(diǎn)的切線不是這個(gè)直角三角形的斜邊，所以不能劃等號(hào)！

? ? ? ? 其實(shí)牛頓時(shí)代的人們搞混了導(dǎo)數(shù)和微分的區(qū)別。曲線a點(diǎn)周圍的直角三角型(直角邊無(wú)限小)斜邊的斜率只是無(wú)限逼近a點(diǎn)切線的斜率。就相當(dāng)無(wú)窮小無(wú)限逼近0，我們要的不是不窮小，我們要的是0。同樣地，我們要的不是這個(gè)直角三角形斜邊無(wú)限逼近某數(shù)值的斜率，我們要的是a點(diǎn)切線的斜率。而我們明知道直角三角形的斜邊上限或下限無(wú)限逼近數(shù)值b，而直角三角形的斜邊也同樣上限或下限無(wú)限逼近曲線a點(diǎn)切線的斜率。那么我們就可以認(rèn)定：曲線a點(diǎn)的切線斜率就是直角三角形斜邊無(wú)限逼近的那個(gè)數(shù)值，也就是b。

? ? ? ? 舉個(gè)很簡(jiǎn)單的例子，現(xiàn)在有兩個(gè)土豪分別是土豪甲和土豪乙。

? ? ? ? 我們能知道土豪乙的資產(chǎn)數(shù)量，但是卻不知道土豪甲的資產(chǎn)。而土豪甲說：土豪乙的資產(chǎn)總是無(wú)限逼近我，而不能達(dá)到我的資產(chǎn)。

? ? ? ? 而土豪乙說，我的資產(chǎn)很難計(jì)算，大概是9999萬(wàn)99999999......元，反正就是無(wú)限逼近一億。那么我們可以直接得出：土豪甲的資產(chǎn)就是一億。

? ? ? ? 而第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，就在于對(duì)微積分理解的偏差上。

? ? ? ? 第二次數(shù)學(xué)到第三次數(shù)學(xué)危機(jī)相隔也就200余年。

? ? ? ? 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是人們對(duì)集合論的懷疑，起始于1897福爾蒂發(fā)現(xiàn)的集合論悖論，再到康托發(fā)現(xiàn)第二個(gè)悖論，直到羅素提出了“羅素悖論”，才將對(duì)集合論的質(zhì)疑發(fā)展到了極致。

? ? ? ? 也以羅素悖論最為出名。在羅素悖論中，一個(gè)牛逼哄哄的理發(fā)師在門店前寫了一句廣告詞：“自己技術(shù)精湛，會(huì)給所有不能給自己理發(fā)的人理發(fā)，滿足各種挑剔的需求，大家都來(lái)我這理發(fā)吧！”。

? ? ? ? 那么問題來(lái)了，這個(gè)理發(fā)師會(huì)給自己理發(fā)嗎？如果理了，那么就不是宣傳的那樣：只給不能給自己理發(fā)的人理發(fā)了。如果理發(fā)師不給自己理發(fā)，那么他又違背了廣告詞：只給不能自己理發(fā)的人理發(fā)。

羅素

? ? ? ? 很多人說羅素悖論只是對(duì)集合定義的一種詭辯而已?？墒堑浆F(xiàn)在都沒有人能完美解決這一所謂的詭辯。

? ? ? ? 羅素悖論更像是哲學(xué)的本體論，從而劃分出來(lái)了唯心和唯物主義。我們從本體論的角度側(cè)面解讀一下羅素悖論。

? ? ? ? 如果我是主觀唯心主義，我說世界只是我的表象，大千世界只是我意識(shí)幻想出來(lái)供我享樂的“虛假場(chǎng)所”。

? ? ? ? 那么問題來(lái)了，“我”的概念也是意識(shí)幻想出來(lái)的假象嗎？如果是，那么“我對(duì)“我”的概念質(zhì)疑的思想”也是意識(shí)幻想出來(lái)的嗎？如果還是，那么“我對(duì)“我疑我的思想”的質(zhì)疑”也是意識(shí)幻想的了......如果還是，那么我的意識(shí)主動(dòng)性還存在嗎？意識(shí)本體在哪里？難不成我的前一秒意識(shí)幻想出我的后一秒意識(shí)嗎？好像我一思考自己的意識(shí)，意識(shí)本體就在自動(dòng)后退，從而完美規(guī)避了我的意識(shí)被自己意識(shí)。那么你的意識(shí)到底是什么，它還存在嗎？如果你的意識(shí)存在，請(qǐng)你解釋剛才的矛盾。如果你的意識(shí)不存在，那么世界就不是你宣稱的唯心主義了，這不和你起初自稱唯心的口號(hào)矛盾了。

? ? ? 羅素悖論，就很像這個(gè)問題，總是首先把自己置身事外，而換個(gè)角度看自己又處于事物之中。那么自己到底在事物之中還是事物之外呢？