讀完本文，你不僅學(xué)會(huì)了算法套路，還可以順便去 LeetCode 上拿下如下題目：
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上篇文章 手把手教你刷二叉樹（第一篇） 連刷了三道二叉樹題目，很多讀者直呼內(nèi)行。其實(shí)二叉樹相關(guān)的算法真的不難，本文再來三道，手把手帶你看看樹的算法到底怎么做。
先來復(fù)習(xí)一下，我們說過寫樹的算法，關(guān)鍵思路如下：
把題目的要求細(xì)化，搞清楚根節(jié)點(diǎn)應(yīng)該做什么，然后剩下的事情拋給前/中/后序的遍歷框架就行了，我們千萬不要跳進(jìn)遞歸的細(xì)節(jié)里，你的腦袋才能壓幾個(gè)棧呀。
也許你還不太理解這句話，我們下面來看例子。
PS：我認(rèn)真寫了 100 多篇原創(chuàng)，手把手刷 200 道力扣題目，全部發(fā)布在 labuladong的算法小抄，持續(xù)更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種算法套路后投再入題海就如魚得水了。
構(gòu)造最大二叉樹
先來道簡(jiǎn)單的，這是力扣第 654 題，題目如下：
函數(shù)簽名如下：
TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums);
按照我們剛才說的，先明確根節(jié)點(diǎn)做什么？對(duì)于構(gòu)造二叉樹的問題，根節(jié)點(diǎn)要做的就是把想辦法把自己構(gòu)造出來。
我們肯定要遍歷數(shù)組把找到最大值 maxVal，把根節(jié)點(diǎn) root 做出來，然后對(duì) maxVal 左邊的數(shù)組和右邊的數(shù)組進(jìn)行遞歸調(diào)用，作為 root 的左右子樹。
按照題目給出的例子，輸入的數(shù)組為 [3,2,1,6,0,5]，對(duì)于整棵樹的根節(jié)點(diǎn)來說，其實(shí)在做這件事：
TreeNode constructMaximumBinaryTree([3,2,1,6,0,5]) {
// 找到數(shù)組中的最大值
TreeNode root = new TreeNode(6);
// 遞歸調(diào)用構(gòu)造左右子樹
root.left = constructMaximumBinaryTree([3,2,1]);
root.right = constructMaximumBinaryTree([0,5]);
return root;
}
再詳細(xì)一點(diǎn)，就是如下偽碼：
TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums) {
if (nums is empty) return null;
// 找到數(shù)組中的最大值
int maxVal = Integer.MIN_VALUE;
int index = 0;
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (nums[i] > maxVal) {
maxVal = nums[i];
index = i;
}
}
TreeNode root = new TreeNode(maxVal);
// 遞歸調(diào)用構(gòu)造左右子樹
root.left = constructMaximumBinaryTree(nums[0..index-1]);
root.right = constructMaximumBinaryTree(nums[index+1..nums.length-1]);
return root;
}
看懂了嗎？對(duì)于每個(gè)根節(jié)點(diǎn)，只需要找到當(dāng)前 nums 中的最大值和對(duì)應(yīng)的索引，然后遞歸調(diào)用左右數(shù)組構(gòu)造左右子樹即可。
明確了思路，我們可以重新寫一個(gè)輔助函數(shù) build，來控制 nums 的索引：
/* 主函數(shù) */
TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums) {
return build(nums, 0, nums.length - 1);
}
/* 將 nums[lo..hi] 構(gòu)造成符合條件的樹，返回根節(jié)點(diǎn) */
TreeNode build(int[] nums, int lo, int hi) {
// base case
if (lo > hi) {
return null;
}
// 找到數(shù)組中的最大值和對(duì)應(yīng)的索引
int index = -1, maxVal = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = lo; i <= hi; i++) {
if (maxVal < nums[i]) {
index = i;
maxVal = nums[i];
}
}
TreeNode root = new TreeNode(maxVal);
// 遞歸調(diào)用構(gòu)造左右子樹
root.left = build(nums, lo, index - 1);
root.right = build(nums, index + 1, hi);
return root;
}
至此，這道題就做完了，還是挺簡(jiǎn)單的對(duì)吧，下面看兩道更困難一些的。
通過前序和中序遍歷結(jié)果構(gòu)造二叉樹
經(jīng)典問題了，面試/筆試中常考，力扣第 105 題就是這個(gè)問題：
函數(shù)簽名如下：
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder);
廢話不多說，直接來想思路，首先思考，根節(jié)點(diǎn)應(yīng)該做什么。
類似上一題，我們肯定要想辦法確定根節(jié)點(diǎn)的值，把根節(jié)點(diǎn)做出來，然后遞歸構(gòu)造左右子樹即可。
我們先來回顧一下，前序遍歷和中序遍歷的結(jié)果有什么特點(diǎn)？
void traverse(TreeNode root) {
// 前序遍歷
preorder.add(root.val);
traverse(root.left);
traverse(root.right);
}
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left);
// 中序遍歷
inorder.add(root.val);
traverse(root.right);
}
前文 二叉樹就那幾個(gè)框架 寫過，這樣的遍歷順序差異，導(dǎo)致了 preorder 和 inorder 數(shù)組中的元素分布有如下特點(diǎn)：
找到根節(jié)點(diǎn)是很簡(jiǎn)單的，前序遍歷的第一個(gè)值 preorder[0] 就是根節(jié)點(diǎn)的值，關(guān)鍵在于如何通過根節(jié)點(diǎn)的值，將 preorder 和 postorder 數(shù)組劃分成兩半，構(gòu)造根節(jié)點(diǎn)的左右子樹？
PS：我認(rèn)真寫了 100 多篇原創(chuàng)，手把手刷 200 道力扣題目，全部發(fā)布在 labuladong的算法小抄，持續(xù)更新。建議收藏，按照我的文章順序刷題，掌握各種算法套路后投再入題海就如魚得水了。
換句話說，對(duì)于以下代碼中的 ? 部分應(yīng)該填入什么：
/* 主函數(shù) */
TreeNode buildTree(int[] preorder, int[] inorder) {
return build(preorder, 0, preorder.length - 1,
inorder, 0, inorder.length - 1);
}
/*
若前序遍歷數(shù)組為 preorder[preStart..preEnd]，
后續(xù)遍歷數(shù)組為 postorder[postStart..postEnd]，
構(gòu)造二叉樹，返回該二叉樹的根節(jié)點(diǎn)
*/
TreeNode build(int[] preorder, int preStart, int preEnd,
int[] inorder, int inStart, int inEnd) {
// root 節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值就是前序遍歷數(shù)組的第一個(gè)元素
int rootVal = preorder[preStart];
// rootVal 在中序遍歷數(shù)組中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 遞歸構(gòu)造左右子樹
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
return root;
}
對(duì)于代碼中的 rootVal 和 index 變量，就是下圖這種情況：
現(xiàn)在我們來看圖做填空題，下面這幾個(gè)問號(hào)處應(yīng)該填什么：
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
對(duì)于左右子樹對(duì)應(yīng)的 inorder 數(shù)組的起始索引和終止索引比較容易確定：
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, index + 1, inEnd);
對(duì)于 preorder 數(shù)組呢？如何確定左右數(shù)組對(duì)應(yīng)的起始索引和終止索引？
這個(gè)可以通過左子樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)推導(dǎo)出來，假設(shè)左子樹的節(jié)點(diǎn)數(shù)為 leftSize，那么 preorder 數(shù)組上的索引情況是這樣的：
看著這個(gè)圖就可以把 preorder 對(duì)應(yīng)的索引寫進(jìn)去了：
int leftSize = index - inStart;
root.left = build(preorder, preStart + 1, preStart + leftSize,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, preStart + leftSize + 1, preEnd,
inorder, index + 1, inEnd);
至此，整個(gè)算法思路就完成了，我們?cè)傺a(bǔ)一補(bǔ) base case 即可寫出解法代碼：
TreeNode build(int[] preorder, int preStart, int preEnd,
int[] inorder, int inStart, int inEnd) {
if (preStart > preEnd) {
return null;
}
// root 節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值就是前序遍歷數(shù)組的第一個(gè)元素
int rootVal = preorder[preStart];
// rootVal 在中序遍歷數(shù)組中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
int leftSize = index - inStart;
// 先構(gòu)造出當(dāng)前根節(jié)點(diǎn)
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 遞歸構(gòu)造左右子樹
root.left = build(preorder, preStart + 1, preStart + leftSize,
inorder, inStart, index - 1);
root.right = build(preorder, preStart + leftSize + 1, preEnd,
inorder, index + 1, inEnd);
return root;
}
我們的主函數(shù)只要調(diào)用 build 函數(shù)即可，你看著函數(shù)這么多參數(shù)，解法這么多代碼，似乎比我們上面講的那道題難很多，讓人望而生畏，實(shí)際上呢，這些參數(shù)無非就是控制數(shù)組起止位置的，畫個(gè)圖就能解決了。
通過后序和中序遍歷結(jié)果構(gòu)造二叉樹
類似上一題，這次我們利用后序和中序遍歷的結(jié)果數(shù)組來還原二叉樹，這是力扣第 106 題：
函數(shù)簽名如下：
TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder);
類似的，看下后序和中序遍歷的特點(diǎn)：
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left);
traverse(root.right);
// 前序遍歷
postorder.add(root.val);
}
void traverse(TreeNode root) {
traverse(root.left);
// 中序遍歷
inorder.add(root.val);
traverse(root.right);
}
這樣的遍歷順序差異，導(dǎo)致了 preorder 和 inorder 數(shù)組中的元素分布有如下特點(diǎn)：
這道題和上一題的關(guān)鍵區(qū)別是，后序遍歷和前序遍歷相反，根節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值為 postorder 的最后一個(gè)元素。
整體的算法框架和上一題非常類似，我們依然寫一個(gè)輔助函數(shù) build：
TreeNode buildTree(int[] inorder, int[] postorder) {
return build(inorder, 0, inorder.length - 1,
postorder, 0, postorder.length - 1);
}
TreeNode build(int[] inorder, int inStart, int inEnd,
int[] postorder, int postStart, int postEnd) {
// root 節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值就是后序遍歷數(shù)組的最后一個(gè)元素
int rootVal = postorder[postEnd];
// rootVal 在中序遍歷數(shù)組中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 遞歸構(gòu)造左右子樹
root.left = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
root.right = build(preorder, ?, ?,
inorder, ?, ?);
return root;
}
現(xiàn)在 postoder 和 inorder 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)如下：
我們可以按照上圖將問號(hào)處的索引正確填入：
int leftSize = index - inStart;
root.left = build(inorder, inStart, index - 1,
postorder, postStart, postStart + leftSize - 1);
root.right = build(inorder, index + 1, inEnd,
postorder, postStart + leftSize, postEnd - 1);
綜上，可以寫出完整的解法代碼：
TreeNode build(int[] inorder, int inStart, int inEnd,
int[] postorder, int postStart, int postEnd) {
if (inStart > inEnd) {
return null;
}
// root 節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值就是后序遍歷數(shù)組的最后一個(gè)元素
int rootVal = postorder[postEnd];
// rootVal 在中序遍歷數(shù)組中的索引
int index = 0;
for (int i = inStart; i <= inEnd; i++) {
if (inorder[i] == rootVal) {
index = i;
break;
}
}
// 左子樹的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)
int leftSize = index - inStart;
TreeNode root = new TreeNode(rootVal);
// 遞歸構(gòu)造左右子樹
root.left = build(inorder, inStart, index - 1,
postorder, postStart, postStart + leftSize - 1);
root.right = build(inorder, index + 1, inEnd,
postorder, postStart + leftSize, postEnd - 1);
return root;
}
有了前一題的鋪墊，這道題很快就解決了，無非就是 rootVal 變成了最后一個(gè)元素，再改改遞歸函數(shù)的參數(shù)而已，只要明白二叉樹的特性，也不難寫出來。
最后呼應(yīng)下前文，做二叉樹的問題，關(guān)鍵是把題目的要求細(xì)化，搞清楚根節(jié)點(diǎn)應(yīng)該做什么，然后剩下的事情拋給前/中/后序的遍歷框架就行了。
現(xiàn)在你是否明白其中的玄妙了呢？
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