原碼反碼補(bǔ)碼
/*最近在重新學(xué)習(xí)一遍C語言，以更加深入的理解C語言，為C++打下比較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。此次學(xué)習(xí)主要依據(jù)的書籍依然為《c primer plus》中文版 第五版。至此，我創(chuàng)建了C/C++這一個(gè)分類，用以記錄學(xué)習(xí)C/C++的過程，不斷提高自己。*/
在前面的兩章的學(xué)習(xí)中，并未遇到很大的問題。其中的一個(gè)就是關(guān)于變量，變量名，聲明，定義，初始化等的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，這點(diǎn)會(huì)在下一篇的文章中進(jìn)行講解。目前遇到的問題是有關(guān)數(shù)據(jù)類型，數(shù)據(jù)表示，計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)的問題。這里涉及到有關(guān)原碼，反碼，補(bǔ)碼的基礎(chǔ)知識(shí)，在網(wǎng)上查閱資料，發(fā)現(xiàn)一篇講的很不錯(cuò)的文章?！疚恼麻_頭給出鏈接】：
?? https://www.imooc.com/article/16813?block_id=tuijian_wz????????????????? //原作者保留權(quán)利
以下是文章內(nèi)容：
本文從原碼講起。通過簡(jiǎn)述原碼，反碼和補(bǔ)碼存在的作用，加深對(duì)補(bǔ)碼的認(rèn)識(shí)。力爭(zhēng)讓你對(duì)補(bǔ)碼的概念不再局限于：負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于反碼加一。
接觸過計(jì)算機(jī)或電子信息相關(guān)課程的同學(xué)，應(yīng)該都或多或少看過補(bǔ)碼這哥仨。每次都是在課本的最前幾頁，來上這么一段：什么反碼是原碼除符號(hào)位，按位取反。補(bǔ)碼等于反碼加一。然后給整得莫名其妙，稀里糊涂地，接著就是翻頁，反正后面的內(nèi)容也跟三碼沒多大關(guān)系。
我原來也是看了好幾遍都沒看懂。古人云：事不過三。學(xué)C語言的時(shí)候，看過一次。不懂？看《計(jì)算機(jī)基本組成原理》的時(shí)候看過，還是不懂！到了大三，上《單片微機(jī)原理與接口技術(shù)》的時(shí)候仍舊是不懂。到了期末，復(fù)習(xí)的時(shí)候，和宿舍的人瞎聊。說講講這些碼呀，我說我也不是很清楚呀。然后就一邊說怎么求碼，一邊算。玩著玩著，突然就明白了。我說好，打住。不說了，放假我在好好整理下思路，于是就有了這篇額。。算討論帖吧。
好了，廢話不多說。開始我們的原碼，反碼，補(bǔ)碼之旅。
（一）預(yù)備知識(shí)
認(rèn)識(shí)二進(jìn)制，十六進(jìn)制。會(huì)二進(jìn)制與十進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)化運(yùn)算
由計(jì)算機(jī)的硬件決定，任何存儲(chǔ)于計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)，其本質(zhì)都是以二進(jìn)制碼存儲(chǔ)。
根據(jù)馮~諾依曼提出的經(jīng)典計(jì)算機(jī)體系結(jié)構(gòu)框架。一臺(tái)計(jì)算機(jī)由運(yùn)算器，控制器，存儲(chǔ)器，輸入和輸出設(shè)備組成。其中運(yùn)算器，只有加法運(yùn)算器，沒有減法運(yùn)算器（據(jù)說一開始是有的，后來由于減法器硬件開銷太大，被廢了 ）
所以，計(jì)算機(jī)中的沒法直接做減法的，它的減法是通過加法來實(shí)現(xiàn)的。你也許會(huì)說，現(xiàn)實(shí)世界中所有的減法也可以當(dāng)成加法的，減去一個(gè)數(shù)，可以看作加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。當(dāng)然沒錯(cuò)，但是前提是要先有負(fù)數(shù)的概念。這就為什么不得不引入一個(gè)該死的符號(hào)位。
而且從硬件的角度上看，只有正數(shù)加負(fù)數(shù)才算減法。
正數(shù)與正數(shù)相加，負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相加，其實(shí)都可以通過加法器直接相加。
原碼，反碼，補(bǔ)碼的產(chǎn)生過程，就是為了解決，計(jì)算機(jī)做減法和引入符號(hào)位（正號(hào)和負(fù)號(hào)）的問題。
本文可能比較長(zhǎng)，沒必要一下子讀完。原碼，反碼，補(bǔ)碼，按章讀。
重點(diǎn)在于講補(bǔ)碼，到了補(bǔ)碼可能有些繞，建議帶著筆，寫出二進(jìn)制數(shù)一起算。
表達(dá)可能不夠清楚嚴(yán)謹(jǐn)，望見諒。
（二）原碼
原碼：是最簡(jiǎn)單的機(jī)器數(shù)表示法。用最高位表示符號(hào)位，‘1’表示負(fù)號(hào)，‘0’表示正號(hào)。其他位存放該數(shù)的二進(jìn)制的絕對(duì)值。
若以帶符號(hào)位的四位二進(jìn)值數(shù)為例
1010? ： 最高位為‘1’,表示這是一個(gè)負(fù)數(shù)，其他三位為‘010’，
? ? ? 即（0*2^2）+（1*2^1）+（0*2^0）=2（‘^’表示冪運(yùn)算符）
? ? ? 所以1010表示十進(jìn)制數(shù)（-2）。
下圖給出部份正負(fù)數(shù)數(shù)的二進(jìn)制原碼表示法
OK，原碼表示法很簡(jiǎn)單有沒有，雖然出現(xiàn)了+0和-0，但是直觀易懂。
于是，我們高興的開始運(yùn)算。
0001+0010=0011? ? （1+2=3）OK
0000+1000=1000? ? （+0+（-0）=-0） 額，問題不大
0001+1001=1010? ? （1+（-1）=-2）
噢，1+（-1）=-2，這仿佛是在逗我呢。
于是我們可以看到其實(shí)正數(shù)之間的加法通常是不會(huì)出錯(cuò)的，因?yàn)樗褪且粋€(gè)很簡(jiǎn)單的二進(jìn)制加法。
而正數(shù)與負(fù)數(shù)相加，或負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相加，就要引起莫名其妙的結(jié)果，這都是該死的符號(hào)位引起的。0分為+0和-0也是因他而起。
所以原碼，雖然直觀易懂，易于正值轉(zhuǎn)換。但用來實(shí)現(xiàn)加減法的話，運(yùn)算規(guī)則總歸是太復(fù)雜。于是反碼來了。
（三）反碼
我們知道，原碼最大的問題就在于一個(gè)數(shù)加上他的相反數(shù)不等于零。
例如：0001+1001=1010 (1+(-1)=-2)?0010+1010=1100 (2+(-2)=-4)
于是反碼的設(shè)計(jì)思想就是沖著解決這一點(diǎn)，既然一個(gè)負(fù)數(shù)是一個(gè)正數(shù)的相反數(shù)，那我們干脆用一個(gè)正數(shù)按位取反來表示負(fù)數(shù)試試。
反碼：正數(shù)的反碼還是等于原碼
負(fù)數(shù)的反碼就是他的原碼除符號(hào)位外，按位取反。
若以帶符號(hào)位的四位二進(jìn)制數(shù)為例：
3是正數(shù)，反碼與原碼相同，則可以表示為0011
-3的原碼是1011，符號(hào)位保持不變，低三位（011）按位取反得（100）
所以-3的反碼為1100
下圖給出部分正負(fù)數(shù)的二進(jìn)制數(shù)反碼表示法
對(duì)著上圖，我們?cè)僭囍梅创a的方式解決一下原碼的問題
0001+1110=1111 （1+（-1）= - 0）
互為相反數(shù)相加等于0，解決。雖然是得到的結(jié)果是1111也就是-0
好，我們?cè)僭囍鲆幌聝蓚€(gè)負(fù)數(shù)相加
1110（-1）+1101（-2）=1011（-4）
噢，好像又出現(xiàn)了新問題
（-1）+（-2）=（-4）?
不過好像問題不大，因?yàn)?011（是-4的反碼，但是從原碼來看，他其實(shí)是-3。巧合嗎？）
我們?cè)倏磦€(gè)例子吧
1110（-1）+1100（-3）=1010（-5）
確實(shí)是巧合，看來相反數(shù)問題是解決了，但是卻讓兩個(gè)負(fù)數(shù)相加的出錯(cuò)了。
但是實(shí)際上，兩個(gè)負(fù)數(shù)相加出錯(cuò)其實(shí)問題不大。我們回頭想想我們的目的是什么？是解決做減法的問題，把減法當(dāng)成加法來算。
兩個(gè)正數(shù)相加和兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，其實(shí)都是一個(gè)加法問題，只是有無符號(hào)位罷了。而正數(shù)+負(fù)數(shù)才是真正的減法問題。
也就是說只要正數(shù)+負(fù)數(shù)不會(huì)出錯(cuò)，那么就沒問題了。負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)出錯(cuò)沒關(guān)系的，負(fù)數(shù)的本質(zhì)就是正數(shù)加上一個(gè)符號(hào)位而已。
在原碼表示法中兩個(gè)負(fù)數(shù)相加，其實(shí)在不溢出的情況下結(jié)果就只有符號(hào)位出錯(cuò)而已（1001+1010=0011）
反碼的負(fù)數(shù)相加出錯(cuò)，其實(shí)問題不大。我們只需要加實(shí)現(xiàn)兩個(gè)負(fù)數(shù)加法時(shí)，將兩個(gè)負(fù)數(shù)反碼包括符號(hào)位全部按位取反相加，然后再給他的符號(hào)位強(qiáng)行置‘1’就可以了。
所以反碼表示法其實(shí)已經(jīng)解決了減法的問題，他不僅不會(huì)像原碼那樣出現(xiàn)兩個(gè)相反數(shù)相加不為零的情況，而且對(duì)于任意的一個(gè)正數(shù)加負(fù)數(shù)，如：
0001（1）+1101（-2）=1110（-1）?計(jì)算結(jié)果是正確的。所以反碼與原碼比較，最大的優(yōu)點(diǎn)，就在于解決了減法的問題。
但是我們還是不滿足為什么?0001+1110=1111 （1+（-1）=-0）?為什么是-0呢
而且雖然說兩個(gè)負(fù)數(shù)相加問題不大，但是問題不大，也是問題呀。好吧，處女座。接下來就介紹我們的大boss補(bǔ)碼。
（四）補(bǔ)碼
補(bǔ)碼：正數(shù)的補(bǔ)碼等于他的原碼
負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于反碼+1。
（這只是一種算補(bǔ)碼的方式，多數(shù)書對(duì)于補(bǔ)碼就是這句話）
在《計(jì)算機(jī)組成原理中》，補(bǔ)碼的另外一種算法?是
負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于他的原碼自低位向高位，尾數(shù)的第一個(gè)‘1’及其右邊的‘0’保持不變，左邊的各位按位取反，符號(hào)位不變。
OK，補(bǔ)碼就講完了。再見??！
還是莫名其妙有沒有，為什么補(bǔ)碼等于反碼加1，為什么自低位向高位取反...................?
其實(shí)上面那兩段話，都只是補(bǔ)碼的求法，而不是補(bǔ)碼的定義。很多人以為求補(bǔ)碼就要先求反碼，其實(shí)并不是。
那些雞賊的計(jì)算機(jī)學(xué)家，并不會(huì)心血來潮的把反碼+1就定義為補(bǔ)碼。只不過是補(bǔ)碼正好就等于反碼加1罷了。
所以，忘記那些書上那句負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于它的反碼+1。就這句話把我們帶入了理解的誤區(qū)。
這就是后來我明白為什么我看的那本《計(jì)算機(jī)組成原理》，要特意先講補(bǔ)碼，再講反碼。
然后說負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼等于他的原碼自低位向高位，尾數(shù)的第一個(gè)‘1’及其右邊的‘0’保持不變，左邊的各位按位取反，符號(hào)位不變。
但是上面這句話，同樣不是補(bǔ)碼的定義，它只是補(bǔ)碼的另外一種求法。它的存在，告訴我們忘記那句該死的‘反碼+1’它并不是必須的。
如果你有興趣了解，補(bǔ)碼的嚴(yán)格說法，我建議你可以看一下《計(jì)算機(jī)組成原理》。它會(huì)用‘模’和‘同余’的概念，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟忉屟a(bǔ)碼。
接下來我只想聊聊補(bǔ)碼的思想。
(五)補(bǔ)碼的思想
補(bǔ)碼的思想，第一次見可能會(huì)覺得很繞，但是如果你肯停下來仔細(xì)想想，絕對(duì)會(huì)覺得非常美妙。
補(bǔ)碼的思想其實(shí)就來自于生活，只是我們沒注意到而已。時(shí)鐘，經(jīng)緯度，《易經(jīng)》里的八卦。
補(bǔ)碼的思想其實(shí)就類似于生活中的時(shí)鐘
好吧，我其實(shí)不想用類似，好像這種詞，因?yàn)轭惐鹊?，終究不是事物本身。而且不嚴(yán)謹(jǐn)會(huì)讓我懷疑我不是工科僧，說得好像我嚴(yán)謹(jǐn)過似的，哈哈
如果說現(xiàn)在時(shí)針現(xiàn)在停在10點(diǎn)鐘，那么什么時(shí)候時(shí)針會(huì)停在八點(diǎn)鐘呢？
簡(jiǎn)單，過去隔兩個(gè)小時(shí)的時(shí)候，是八點(diǎn)鐘。未來過十個(gè)小時(shí)的時(shí)候也是八點(diǎn)鐘
也就是說時(shí)間正撥10小時(shí)，或是倒撥2小時(shí)都是八點(diǎn)鐘。
也就是10-2=8，而且 10+10=8（10+10=10+2+8=12+8=8）
這個(gè)時(shí)候滿12說明時(shí)針在走第二圈了，又走了8小時(shí)，所以時(shí)針正好又停在八點(diǎn)鐘。
所以12在時(shí)鐘運(yùn)算中，稱之為模，超過了12就會(huì)重新從1開始算了。
也就是說， 10-2和10+10從另一個(gè)角度來看是等效的，它都使時(shí)針指向了八點(diǎn)鐘。
既然是等效的，那在時(shí)鐘運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)，其實(shí)就相當(dāng)于加上另外一個(gè)數(shù)（這個(gè)數(shù)與減數(shù)相加正好等于12，也稱為同余數(shù)）
這就是補(bǔ)碼所謂模運(yùn)算思想的生活例子
在這里，我們?cè)俅螐?qiáng)調(diào)原碼，反碼，補(bǔ)碼的引入是為了解決做減法的問題。在原碼，反碼表示法中，我們把減法化為加法的思維是減去一個(gè)數(shù)，等于加上一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)引入了符號(hào)位，卻因?yàn)榉?hào)位造成了各種意向不到的問題。
但是從上面的例子中，我們可以看到其實(shí)減去一個(gè)數(shù)，對(duì)于數(shù)值有限制，有溢出的運(yùn)算（模運(yùn)算）來說，其實(shí)也相當(dāng)于加上這個(gè)數(shù)的同余數(shù)。
也就是說，我們不引入負(fù)數(shù)的概念，就可以把減法當(dāng)成加法來算。所以接下來我們聊4位二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算，也不必急于引入符號(hào)位。因?yàn)檠a(bǔ)碼的思想，把減法當(dāng)成加法時(shí)并不是必須要引入符號(hào)位的。
而且我們可以通過下面的例子，也許能回答另一個(gè)問題，為什么負(fù)數(shù)的符號(hào)位是‘1’，而不是正數(shù)的符號(hào)位是‘1’。
(六)補(bǔ)碼實(shí)例
好吧，接下來我們就做一做四位二進(jìn)制數(shù)的減法吧（先不引入符號(hào)位）
0110（6）-0010（2）【6-2=4，但是由于計(jì)算機(jī)中沒有減法器，我們沒法算】
這個(gè)時(shí)候，我們想想時(shí)鐘運(yùn)算中，減去一個(gè)數(shù)，是可以等同于加上另外一個(gè)正數(shù)（同余數(shù)）
那么這個(gè)數(shù)是什么呢？從時(shí)鐘運(yùn)算中我們可以看出這個(gè)數(shù)與減數(shù)相加正好等于模。
那么四位二進(jìn)制數(shù)的模是多少呢？也就是說四位二進(jìn)制數(shù)最大容量是多少？其實(shí)就是2^4=16=10000B
那么2的同余數(shù)，就等于10000-0010=1110（14）
既然如此
0110（6）-0010（2）=0110（6）+1110（14)=10100（20=16+4）
OK，我們看到按照這種算法得出的結(jié)果是10100，但是對(duì)于四位二進(jìn)制數(shù)，最大只能存放4位（硬件決定了），如果我們低四位，正好是0100（4），正好是我們想要的結(jié)果，至于最高位的‘1’，計(jì)算機(jī)會(huì)把他放入psw寄存器進(jìn)位位中。8位機(jī)則會(huì)放在cy中，x86會(huì)放在cf中（這個(gè)我們不作討論）
這個(gè)時(shí)候，我們?cè)傧胂朐谒奈欢M(jìn)制數(shù)中，減去2，就相當(dāng)于加上它的同余數(shù)14（至于它們?yōu)槭裁赐?，還是建議看《計(jì)算機(jī)組成原理》）
但是減去2，從另外一個(gè)角度來說，也是加上（-2）。即加上（-2）和加上14其實(shí)得到的二進(jìn)制結(jié)果除了進(jìn)位位，結(jié)果是一樣的。
如果我們把1110（14）的最高位看作符號(hào)位后就是（-2）的補(bǔ)碼，這可能也是為什么負(fù)數(shù)的符號(hào)位是‘1’而不是‘0’，
而且在有符號(hào)位的四位二進(jìn)制數(shù)中，能表示的只有‘-8~7’，而無符號(hào)位數(shù)（14）的作用和有符號(hào)數(shù)（-2）的作用效果其實(shí)是一樣的。
那正數(shù)的補(bǔ)碼呢？加上一個(gè)正數(shù)，加法器就直接可以實(shí)現(xiàn)。所以它的補(bǔ)碼就還是它本身。
下圖給出帶符號(hào)位四位二進(jìn)制的補(bǔ)碼表示法
到這里，我們發(fā)現(xiàn)原碼，反碼的問題，補(bǔ)碼基本解決了。
在補(bǔ)碼中也不存在負(fù)零了，因?yàn)?000表示-8
這是因?yàn)楦鶕?jù)上面的補(bǔ)碼圖，做減法時(shí)，0001（1）+1111（-1）=0000
我們?cè)僖膊恍枰粋€(gè)1000來表示負(fù)0了，就把它規(guī)定為-8
負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相加的問題也解決了1111（-1）+1110（-2）=1101(-3)
可能說得有點(diǎn)繞，但是實(shí)在是沒辦法。其實(shí)我覺得補(bǔ)碼還可以這樣畫。
很優(yōu)美有沒有，如果你想想地理課本，0不就相當(dāng)于本初子午線，-8不就是180°，而正數(shù)相當(dāng)于西經(jīng)，負(fù)數(shù)相當(dāng)于東經(jīng)。
(七)為何這樣求補(bǔ)碼
然后我們?cè)賮砜纯礊槭裁簇?fù)數(shù)的補(bǔ)碼的求法為什么是反碼+1
因?yàn)樨?fù)數(shù)的反碼加上這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值正好等于1111，再加1，就是1000，也就是四位二進(jìn)數(shù)的模
而負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是它的絕對(duì)值的同余數(shù)，可以通過模減去負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，得到他的補(bǔ)碼。
所以 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼就是它的補(bǔ)碼+1。
有點(diǎn)繞吧，只能說很難算清楚，你們還是自己算算吧。還有上面我提到的另外一種算法。
接下來，我要說一下我自己算補(bǔ)碼的小技巧。
看上面那個(gè)圖。
如果我們把-8當(dāng)成負(fù)數(shù)的原點(diǎn)。那么-5的補(bǔ)碼是多少呢？
-5=-8+3
-5的補(bǔ)碼就是-8的補(bǔ)碼加3
1000（-8） +0011（3）=1011(-5)
所以完全可以口算出-5的補(bǔ)碼是1011
當(dāng)然，也可以記住-1的補(bǔ)碼是1111口算減法得出
對(duì)于八位加法器的話，可以把-128當(dāng)補(bǔ)碼原點(diǎn)。十六位可以把-32768當(dāng)補(bǔ)碼原點(diǎn)。
是的，128是256（八位二進(jìn)制數(shù)的模）的一半，32768是65536（十六位二進(jìn)數(shù)的模）的一半
也很方便有沒有，而且簡(jiǎn)單的是
補(bǔ)碼原點(diǎn)總是最高位是‘1’，其他位是‘0’
所以做加法總是簡(jiǎn)單得可以口算。
OK，原碼，反碼，補(bǔ)碼之旅就到這里結(jié)束。補(bǔ)碼第一次看總會(huì)覺得很繞，想言簡(jiǎn)意賅，就怕哪里遺漏了。講得細(xì)致，又不免連自己都覺得啰里啰嗦。謝觀！
在這篇文章和網(wǎng)上其他學(xué)習(xí)資料的參考中，較好的明白原碼，反碼，補(bǔ)碼的原理與應(yīng)用。應(yīng)該注意的是，《計(jì)算機(jī)組成原理》這本書籍里面有更加權(quán)威的講解，但可能比較難懂。
下一篇文章將會(huì)講解：關(guān)于變量，變量名，聲明，定義，初始化，賦值以及編譯器等的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)。
相關(guān)閱讀
最近花了點(diǎn)時(shí)間對(duì)計(jì)算機(jī)的原碼，反碼和補(bǔ)碼進(jìn)行了研究，對(duì)為什么要有反碼和補(bǔ)碼以及他們這么設(shè)計(jì)的原因有了一定的理解 機(jī)器數(shù) 一個(gè)
整數(shù)補(bǔ)碼——如何定義相反數(shù)。 出現(xiàn)的原因 想要表示3+5，可以轉(zhuǎn)化為8位2進(jìn)制：0000 0011+0000 0101=0000 1001。結(jié)合二進(jìn)制加法，這是
這之前，遇到什么原碼，反碼，補(bǔ)碼，就頭疼，其實(shí)遇到一個(gè)自己怕的問題，就一定要解決它，吃掉它，這樣心里的心結(jié)就解決了，不然等到以后，每次遇到都
原碼（1） 原碼：在數(shù)值前直接加一符號(hào)位的表示法。例如： 符號(hào)位 數(shù)值位byte的取值范圍[+7]原= 0 0000111 B[-7]原= 1 0000111 B注意：byte
重點(diǎn)關(guān)注紅色字體部分。 1. 為何補(bǔ)碼數(shù)值為原碼數(shù)值取反+1? 兩次加模， 如果數(shù)值位為n, 那么模為 2的n次方，兩次加模為 2 的 n+1 次
